数学（三）-2025年中考考前20天终极冲刺攻略（全国通用）（原卷版+解析版）

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几何图形的初步认识…………………………………………………………………………01
三角形…………………………………………………………………………………………11
四边形…………………………………………………………………………………………23
圆………………………………………………………………………………………………35
尺规作图………………………………………………………………………………………52
01几何图形的初步认识
考查分值：分值在3-9分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：几何初步知识是中考数学的基础考点，年年都会考查，预计 2025 年及今后各地中考仍会出现。
知识点1：几何体的展开图
几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形.
立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.
平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.
正方体展开图（共计11种）：
口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意,
2）“三个二”成阶梯,
3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如.
几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
4）体：几何体也简称体.
组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体.
知识点2：直线﹑射线和线段
重点：1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
知识点3：平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补..
平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简称：同位角相等，两直线平行.
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简称：内错角相等，两直线平行.
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简称：同旁内角互补，两直线平行.
判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行．
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合.
平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.
性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等；
2）平行线间的距离处处相等.
知识点4：角
1.角的分类：
2.角的表示方法：
3.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制.
度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（13600）°
1周角=2平角=4直角=360°.
角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置；
2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较.
4.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.
【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
②角平分线上的点到角两边的距离相等．
5.余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角.
6.补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角.
【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等.
真题1（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
真题2（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A=110°，则∠D的度数是（ ）
A．40∘B．36∘C．35°D．30∘
真题3（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
真题4（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
真题5（2024·江西·中考真题）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
真题6（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块．
真题7（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
(1)直接写出ADAB的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
预测1（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线BF与一束经过光心O的光线CD相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若∠ABF=145°，∠COE=30°，则∠DPF的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
预测2（2025·陕西商洛·一模）若∠A的度数为27°23'，则∠A的补角的度数为（ ）
A．152°37'B．152°77'C．62°37'D．62°77'
预测3（2025·河北石家庄·一模）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的度数是（ ）
A．35°B．50°C．85°D．90°
预测4（2025·山东菏泽·一模）一副三角板按如图方式摆放，∠A=∠B=45°，∠C=60°，∠D=30°，若AB∥OD，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
预测5（2025·山东临沂·一模）抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为F1和F2，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若∠1=20°,∠2=130°，则∠3的度数为（ ）
A．70°B．85°C．90°D．80°
预测6（2025·河北唐山·一模）如图，正方体展开图的每个面上都有一个汉字，则原正方体的表面上，“心”字对面的字是（ ）
A．数B．学C．素D．养
预测7（2025·江西景德镇·一模）将边长为4的正方形做成如图1所示的七巧板，将图1中的七巧板拼成如图2所示的“天鹅”，则图2中AB的长为 ．

押题1如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A',D'对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．72°
押题2淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西70°方向B．南偏东20°方向
C．北偏西20°方向D．北偏东70°方向
押题3下图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD的长度，其依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
押题4如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“国”相对的面上的汉字是（ ）
A．诚B．信C．友D．善
押题5如图，CD是∠ECB的平分线，且CD ∥ AB，∠B=40∘，则∠ECD的度数为（ ）
A．30∘B．40∘C．50∘D．60∘
押题6如图所示，∠AOD=∠BOC，若∠AOB=100°，∠COD=40°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．40°C．30°D．25°
押题7如图是8：00时的时针及分针的位置，则此时分针与时针所成的∠α= °．
押题8七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，且边长为4，那么阴影部分面积为 ．

02 三角形
考查分值：三角形相关内容的分值大约在 15-25 分左右，占总分的 12.5%-20.8%。。
考查形式：选择题:通常有1-2道题考查三角形，每题分值3-4分，共3-8分。
填空题:可能有1-2道题与三角形有关，每题分值3-4分，共3-8分。
解答题:会有1-2道大题涉及三角形，分值一般在8-12 分左右。如果是综合性很强的压轴题分值可能会更高。
命题趋势：更加注重与实际生活的联系，以实际问题为背景，考查学生运用三角形知识解决实际问题的能力；强调知识的综合运用，将三角形与其他数学知识，如函数、方程、圆等进行深度融合，考查学生的综合分析和解决问题的能力；对学生的逻辑推理能力要求提高，在证明军答题中，需要学生具备严谨的逻辑思维，能够清晰地写出推理过程和证明步骤。
知识点1：三角形的性质
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
三角形三边关系定理及推论的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
知识点2：三角形的重要线段
知识点2：全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等.
2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
3）全等三角形的周长相等、面积相等．
全等三角形的判定
1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
常见的全等三角形模型（基础）
真题1（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为（ ）
A．1.5B．3C．4D．6
真题2（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（ ）
A．100°B．115°C．130°D．145°
真题3（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．45°B．39°C．29°D．21°
真题5（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．92C．9D．62
真题5（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF的长为 ．
真题6（2024·山东德州·中考真题）如图，C是AB的中点，CD=BE，请添加一个条件 ，使△ACD≌△CBE．
真题7（2024·江苏镇江·中考真题）如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB．

(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=__________°．
真题8（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3．
(1)问题发现
如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是______，AD与BE的位置关系是______；
(2)类比探究
将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用
如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．
预测1（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、BF，若DE=3，则BF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
预测2（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，若BE=22，则AE=（ ）
A．22B．23-2C．4D．23
预测3（2025·福建·一模）如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BD的中点，连接CE，若S△BCE=2，则S△ABD= ．
预测4（2025·吉林四平·二模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交AB，BC边于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D，若AB=12，AE=6，则△ADE的周长为 ．
预测5（2025·湖南岳阳·一模）如图，一根竖直的木杆在离地面1m的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为α，若α=30°，则木杆折断之前高度为 m．
预测6（2025·江苏常州·一模）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知AB=DE，BF=EC，∠B=∠E．
(1)求证：AC=DF；
(2)分别连接AE、BD，则AE与BD的关系为________．
预测7（2025·江苏无锡·二模）如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=62°，求∠ACE的度数．
预测8（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题：
【思维指引】（1）如图1等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数.
解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，连接P'P，借助旋转的性质可以推导出△PAP'是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=______∘；
【知识迁移】（2）如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，请判断EF，BE，FC的数量关系，并证明你的结论.
【方法推广】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，直接写出PA+2PB+PC的最小值.
押题1如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且CQ=PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1B．32C．2D．52
押题2如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5．则EP+FP这个最小值是（ ）
A．9B．10C．53D．35
押题3如图，在△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE= ．

押题4如图△ABC≌△DEF，EF=BC，AB=DE，AD=20，FC=10，则AF=
押题5如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米．
押题6如图，A、E、B、D在同直线上，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，AC∥DF.
求证：△ABC≌△DEF
押题7（1）如图1，△ABC中，点D是边BC的中点，若AB=6，AC=4，求中线AD的取值范围．
解：∵点D是边BC的中点，∴BD=CD，
将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD，
即得△ACD≌△EBD，且A，D，E三点共线，
在△ABE中，可得AE的取值范围是：
6-4