吉林省松原市宁江区2024-2025学年九年级下学期第一次模拟测试数学试卷（解析版）

这是一份吉林省松原市宁江区2024-2025学年九年级下学期第一次模拟测试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共18分）
1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得：
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴顶点坐标是．
故选：B．
3. 如图是正方体的表面展开图，每个面都标注了汉字，若“长”字在前面，则后面是（ ）
A. 我B. 在C. 等D. 你
【答案】C
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可知与“长”相对的面是“等”．
故选：C．
4. 台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打（ ）折销售
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】设最多可打折，由题意，得：，
解得：；
∴最多打折出售；
故选：C．
5. 如图，菱形的顶点A，B，C都在上，点为上一点，且点在优弧上，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，
∵菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故选B．
6. 如图，在中，中线交于点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的面积与四边形的面积比为
【答案】D
【解析】∵是的中线，
∴点D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，故A正确，
∴，故B正确；
∵，
∴
∴，故C正确；
∴
∴的面积与四边形的面积比为，故D错误，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7. 已知α是锐角，如果，那么α＝___．
【答案】
【解析】∵是锐角，，∴，
故答案为：．
8. 若将方程化为，则______．
【答案】1
【解析】，
∴，，
原方程化为，
∴，，
故答案为：1．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为_____．

【答案】
【解析】如图，过点作轴于点，

，，，
由旋转的性质可知，，，
∵轴，，，
在和中，，
，
，
，
则点的坐标为．
10. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________．
【答案】
【解析】由题知，（），
∵点，分别是，的中点，
∴（），
∴（），
∴花窗的面积为
故答案为：．
11. 如图，抛物线的顶点在线段上移动，与x轴交于C、D两点，若，当四边形是矩形时，此时抛物线的解析式是 _____．

【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
又∵C、D两点在x轴，
∴轴，轴，轴，
∴，
设抛物线解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴顶点坐标为，
将点代入，得
∴，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：．
三、解答题（12-14题每小题6分，15-17题每小题7分，18-19题每小题8分，20-21题每小题10分，22题12分，共87分）
12. 计算：．
解：原式．
13. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是______；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
解：（1）有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况，
则“学生甲分到A班”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况，
∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．
14. 阅读材料，并回答问题：
佳佳解一元二次方程的过程如下：
解：
①
②
③
，④
（1）上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号）；
（2）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
解：（1）从②开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9；
故答案为：②；
（2）移项得：，
配方得：，即，
，
或，
，．
15. 如图，在的正方形网格中，A、B、C均为小正方形的顶点，请用无刻度的直尺按下列要求画图．

（1）如图①，在上画一点D，使；
（2）如图②，过点C画的平行线；
（3）如图③，画线段，使．
解：（1）如图，

根据网格特点得，则，
∵，，
∴．
（2）如图，

根据网格的特点得，，则．
（3）如图，

根据网格的特点得，则，
由（1）知，则，
那么，．
16. 小明和小强决定利用所的知识测量本校综合楼上安装的电信信号塔的高度，在操场上选取一点，测得信号塔顶点的仰角为，测得这栋楼的顶部的仰角为，又知，，三点在一条直线上，水平距离为，，，，三点在一条直线上且，，求信号塔本身的高（结果保留整数）．
解：由题意得，，，，
在中，，
解得，
，
在中，，
，
解得，
．
信号塔本身的高为．
17. 如图，直线与双曲线的一个分支交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）点在轴上，若，求点的坐标．
解：（1）把点代入直线得：，
解得：，，
设双曲线的解析式为：，
把代入双曲线解析式得：，，
双曲线的解析式为；
（2）在中，令，则，解得：，，
设点的坐标为，则，
，，即，
解得：或，
点的坐标为或．
18. 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
记两列车离A站的路程为s（千米）从上午开始计时，时长记为t分钟（如：上午，则），S与t的函数关系如下图所示：
（1）次列车从A站到B站行驶了m分钟，________．A站到B站距离________千米；
（2）在次列车行驶过程中求s与t的函数关系式；
（3）在次列车的行驶过程中，若两车间距离为60千米，直接写出t的值．
解：（1）由表格可知：D1001次列车从A站出发，到达B站，行驶了分钟，即，
根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，从A站到C站的距离是千米；
A站到B站距离（千米）；
（2）设次列车行驶过程中 s与t的函数关系式为；
当时，，当时，，
∴，解得：，
次列车行驶过程中的 s与t的函数关系式为.
（3）次列车的速度为（千米/分钟），，
次列车的速度为（千米/分钟）．
A与B站之间的路程为360千米．（分），
当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时， D1001次列车在前， ，（分钟）；
ⅱ．当时，D1001次列车在前，
，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，D1001次列车在后，
，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，D1001次列车在后，
，（分钟）．
综上所述，当或125时，两车间距离60千米．
19. 【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，，求的值；
【应用】（1）如图②，在中，，点为边的中点，连结，过点作于点，交边于点D．若，则的值为 ；
（2）如图③，在，点为的中点，连结，过点作于点，交边于点F，若，则的值为 ．
【探究】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
【应用】解：（1），
设，，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图，
作于，
设，，则，，
，
，
由（1）知：，
，
设，，
，
，
，
由得，
，
，
，
．
20. 如图，在矩形中，，．动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为．
（1）当点P与点B重合时，x的值为______．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度．
解：（1）当点P与点B重合时，即，∴．
（2）分类讨论：当时，如图，
∴，
∴；
当时，如图，
∴，的高即为长，
∴；
当时，如图，
∴，，，
∴．
综上可知；
（3）由题意可知当点P在上运动或点Q在上运动时长度一定发生变化，
∴讨论即可，此时点P在上运动，点Q在上运动，如图，过点P作于E．
∴，，，
∴，
∴，
∴当长度不变时，，且．
21. 【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．
如图①，点、、、均为上的点，，则有______°；
【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．
下面是小初的证明过程：
证明：延长至点使，连接．
缺失（1）
在与中，，
∴．
∴，
，，
又，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______．
解：问题背景：∵点、、、均为上的点，，
∴．
故答案为：；
问题探究：证明：延长至点使，连接．
∵四边形为的内接四边形，
∴，
又∵，
∴．
在与中，，
∴．
∴，
∵，，，
∴，∴，
∴为等边三角形，∴，
∵
∴，
∵，，
∴．
结论应用：延长至点使，连接，．
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴是直径，
∴，
∴．
∵四边形的周长，
∴要使四边形的周长最大，则需取得最大值，即取得最大值，
∴当过圆心时，取得最大值，的最大值为，
∴四边形周长的最大为：．
故答案为：．
22. 在平面直角坐标系中，点M和点N都在抛物线上，且点N关于点M的对称点恰好落在y轴上，设点M的横坐标为m．
（1）当时，求点N的纵坐标；
（2）若点N的纵坐标为2，求m的值；
（3）当N在抛物线对称轴左侧，点N不在y轴上时，过点N作轴于点H．
①抛物线在内部（包括边界）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值；
②直线MN交x轴于A，点B是点A关于y轴的对称点，若的周长是周长的3倍，直接写出m的值．
解：（1）当时，
点的纵坐标为，
点N关于点M的对称点恰好落在y轴上，
的横坐标为，
将代入，，
故点N的纵坐标为．
（2）点N的纵坐标为2，，
解得，
点N关于点M的对称点恰好落在y轴上，
点M的横坐标是 点N横坐标的，
或；
（3）①当在轴左侧，
设的横坐标为，，，，
解得，
，，
当轴右侧，
设的横坐标为，，，
，解得，，
综上，或；
②当在轴左侧，在中点，，
，，
，
设横坐标为，，，
，
；
当在轴右侧，
，
，
设横坐标为，，，
①，
②，
，
，
，
综上，答案为：或．车次
A站
B站
C站
发车时刻
到站时刻
发车时刻
到站时刻
途经B站，不停车