吉林省松原市宁江区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份吉林省松原市宁江区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、方程中，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、方程是一元二次方程，符合题意；
C、方程中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2. 一元二次方程的根是（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】∵，
∴
∴，
∴或，
解得，
故选C．
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
∴顶点坐标为，
故选：A．
4. 若二次函数（）的图像开口向下，且过原点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵二次函数（）的图像开口向下，且过原点
∴，
∴将代入，则，
故选：B．
5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选：A．
6. 二次函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴为直线B. 最大值为4
C. 与y轴交点为D. 图像过点
【答案】B
【解析】，
∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意
∵，
∴函数的最大值为，故B正确，符合题意；
对于，当，
∴与y轴交点为，故C错误，不符合题意；
当时，，
则图像不经过点，故D错误，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
7. 一元二次方程中，二次项系数是______，常数项是______．
【答案】①. 2 ②. 1
【解析】一元二次方程中，二次项系数是2，常数项是1，
故答案为：2，1．
8. 将二次函数化为的形式，结果为y=_______________．
【答案】
【解析】y=x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5．
故答案为：（x+2）2-5．
9. 若是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为______．
【答案】
【解析】∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴关于的一元二次方程为，
∴，
∴或，
∴或，
∴该方程的另一个根是，
故答案为：．
10. 二次函数的图像，当x______时，y随x的增大而增大．
【答案】
【解析】∵二次函数解析式为，且，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
故答案为：．
11. 若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______．
【答案】或
【解析】∵二次函数的图像与y轴的交点坐标为，
∴，
∴解析式为，
当时，，
解得或，
∴该函数图像与x轴的交点坐标为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共11小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
12. 解方程：．
解：，
，
,
,
或，
解得，．
13. 解方程：（用公式法）
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
14. 已知二次函数，求：
（1）当时，函数值；
（2）该函数图像的对称轴．
（1）解：在中，当时，，
∴当时，函数的值为；
（2）解：∵二次函数解析式，
∴该函数的对称轴为直线．
15. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴这个一元二次方程根的判别式，
解得．
∴这个一元二次方程为，即，
∴方程根为．
16. 画出二次函数的图像（要求：写出顶点坐标、与坐标轴的交点坐标，画出大致图像）．
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为；
在中，当时，，当时，解得或，
∴二次函数与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为，
列表如下：
函数图像如下所示：
17. 某商场销售一批服装，每件成本为50元，若按每件80元销售，每月可卖出300件．经市场调查发现，每件服装每降价1元，每月可多卖出20件．设每件服装降价x元，每月的销售利润为y元，求：
（1）y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当时，每月的销售利润为多少元？
（1）解：由题意得：；
（2）解：当时，
则（元）
答：当时，每月的销售利润为元．
18. 已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向．
解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴该函数图像的开口向下．
19. 已知二次函数，求：
（1）函数图像的顶点坐标及最大值；
（2）函数图像与x轴的交点坐标；
（3）当时，x的取值范围．
（1）解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数的顶点坐标为，且函数开口向下，
∴函数的最大值为4；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴二次函数与x轴的交点坐标为和；
（3）解：∵二次函数顶点坐标为，
∴二次函数的顶点在x轴上方，
∵二次函数开口向下，且与x轴的交点坐标为和，
∴当时，．
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
证明：x2-（2k+1）x+k2+k=0，
a=1，b=-（2k+1），c= k2+k，
∵Δ=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0，
∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．
21. 已知二次函数的图像经过点，与y轴交于点C，求：
（1）该二次函数的解析式；
（2）点C的坐标及的面积．
（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 某工厂计划利用一块长为10米、宽为6米的矩形空地搭建一个矩形蔬菜大棚，大棚一边靠墙（墙足够长，可利用的墙长不超过8米），另外三边用篱笆围成，篱笆总长为16米．设大棚垂直于墙的一边长为x米，大棚的面积为S平方米，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
解：设大棚垂直于墙的一边长为x米，
由题意得：，
∴S与x之间的函数关系式为，
由题意得：，
解得，
∴自变量取值范围是．

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