吉林省松原市宁江区2024-2025学年九年级下学期期中教学质量监测数学试卷（解析版）

这是一份吉林省松原市宁江区2024-2025学年九年级下学期期中教学质量监测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 将下列几何体如图放置，其主视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、主视图为长方形，故选项错误，不符合题意；
B、主视图为长方形，故选项错误，不符合题意；
C、主视图为三角形，故选项正确，符合题意；
D、主视图为长方形，故选项错误，不符合题意．
故选C．
2. 公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】设M表示的数为x，
由数轴可知：，
所以点M所表示的数可能是．
故选：B．
3. 下列运算中，正确的有（ ）
①．②．③．④．
A. ①③B. ②④C. ①②D. ③④
【答案】A
【解析】①，故①正确，符合题意；
②，故②错误，不符合题意；
③，故③正确，符合题意；
④，故④错误，不符合题意．
综上，正确的运算为①和③．
故选 A．
4. 下列各式中，化简后与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A，，为整数，不是二次根式，与不是同类二次根式；
B，，被开方数为5，与不同类二次根式；
C，，被开方数为2，与是同类二次根式；
D，，为整数，不是二次根式，与不是同类二次根式．
故选C．
5. 如图，在的内接中，．射线与交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴，
如图：连接，则，
∵，
∴．
故选B．
6. 在平面直角坐标系中，点A为轴正半轴上一点，．按下述步骤画图：①以点为中心，将逆时针旋转，得到线段；②分别以点A、点为圆心，以长为半径作弧，两弧在第一象限交于点．则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图：连接，过点C作轴于点D，
由作图过程可知，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7. 根据《吉林省年国民经济和社会发展统计公报》，截至年末，吉林省总人口约为人，若将这个数字用科学记数法表示，可写成，其中的值为___________．
【答案】7
【解析】，
又将这个数字用科学记数法表示，可写成，
，
故答案为：7．
8. 若一元二次方程无实数根，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】∵一元二次方程无实数根，
∴，解得：，
故答案为：．
9. 如图，将一副三角尺摆放在一起，含角的三角尺的斜边与含角的三角尺的较长直角边恰好重合，作于点，连结，则的大小为______ ．

【答案】
【解析】如图，过点作于，

则四边形是矩形，是等腰直角三角形，
设，则，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
∴，
故答案为：．
10. 如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为___________．
【答案】
【解析】∵为的平分线，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵， ，
，
则，
∵平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
，
，
故答案为：．
11. 一张圆心角为的扇形纸板可按如图方式剪下一个边长为1的正方形，则阴影部分图形的面积之和为___________．（结果保留）
【答案】
【解析】连接.
∵四边形是正方形，∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，∴，
在中, ，
∴阴影部分图形的面积之和为.
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
12. 先化简，再求值：，其中．
解：原式，
将代入，原式．
13. 在一次数学活动中，数学老师准备将全班同学随机分成甲、乙、丙三个小组，分别完成不同的任务．请你用画树状图（或列表）的方法，求龙龙和彤彤恰好分在一个小组的概率．
解：树状图如下：
由树状图可知共有种等可能的结果，龙龙和彤彤被分在同一小组的有种情况，
（龙龙和彤彤被分到同一个小组）．
14. 长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？
解：设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米．
根据题意，得，解得，
答：甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米．
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
15. 如图，图①、图②、图③均由正方形网格构成，每个小正方形的边长都为1．点均在格点上，在下图中，只用无刻度的直尺画图，适当保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中，画出一条射线，点在格点上，且．
（2）在图②中，在内部画出射线，点在格点上，且．
（3）在图③中，在外部画出射线，点在格点上，且．
解：（1）如图，共有种画法，
因为，，
所以根据等腰三角形三线合一有、、、、、均平分；
（2）如图，共有三种画法，
.
因为，，
所以根据等腰三角形三线合一有、、均符合；
（3）如图，共有三种画法，
由（2）可知平分，
又与关于直线对称，可知，
所以、、均符合．
16. 如图，某品牌的电水壶启动后需要6分钟将 的水加热到 ，然后水温逐渐降回，降温过程中的水温 y（）与水壶启动后用时x（分）成反比例关系、据研究，当水温降至 时，比较适宜饮用．
（1）求降温过程中的水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式．并写出自变量的取值范围．
（2）直接回答：一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？
解：（1）设，
当时，，，
解得：，，
当时，，解得：，
，
故水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式：（）；
（2）解：当时，，
解得：，
（分钟），
故一壶水烧开后，经过分钟时间适宜饮用．
17. 如图，某数学活动小组为测吉林广播电视塔的高度，在处测得最高点的仰角为，在处测得最高点的仰角为，点在同一条直线上．间的距离为米．
（1）试用含的代数式来表示吉林广播电视塔的高度．
（2）若．求的值．（精确到1米）
（参考数据：，）
解：（1），
，
中，．
，
在中，，
，
，
；
（2）当时，（米），
答：吉林广播电视塔的高度约为米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
18. 为了解学生体质状况，某校面向七年级的名学生开展了一次体能测试，满分为分．测试后，随机抽取了一个班的成绩作为样本，并将数据初步整理如下表：
（1）从表中的数据来看，抽取样本的容量是___________．
（2）求样本的平均数．
（3）学校决定利用第二课堂的时间对成绩低于7分的学生开展体能强化训练．若每位体育老师最多能带领名学生开展训练，请计算至少需要派出几位体育老师．
解：（1）；
（2）
（分）．
（3）开展体能强化训练的学生有（人）．
∵每位体育老师最多能带领名学生开展训练，
∴体育老师至少需要（位）．
故至少需要派出6位体育老师．
19. 定义：如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”．研究表明，一般情况下人的指距是身高的一次函数．
【收集数据】经过分组调查，得到下表中的一些测量数据（部分数据不完整）：
【关系探究】利用上表中的数据，求与之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
【数据推测】根据表中的数据及探究的结论，推测上表中的值为___________．
【估算应用】吉林省篮球名宿孙军的身高约为，估算他的指距是多少？（结果精确到）
解： [关系探究]
设：．
将，分别代入上式得，，解得．
与之间的函数关系式为；
[数据推测]
当时，，解得：；
故答案为：；
[估算应用]
当时， ，
答：孙军的指距约为．
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
20. 【方法感知】如图①，在正方形中，相交于点为上一点，以为斜边，向上作等腰，连接．求证：．解题思路：如图①，作，可证与相似，根据相似比可得点为中点，故为的垂直平分线，则．（无需证明）
【方法迁移】如图②，在正方形中，相交于点为上一点，以为斜边，向左作等腰，连接．
判断：【方法感知】中的结论“”是否仍成立，若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．
【结论应用】如图③，在正方形中，为上一点，以为斜边，向左作等腰Rt，连接．
直接写出：与之和的最小值为___________．
解：[方法迁移]过点作，则，
∵等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，对角线、交于点，
∴，，
，
，
，
，
又，
，点为的中点，
垂直平分，；
[结论应用] 连接，
由[方法迁移]可知，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
21. 如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为．
（1）直接写出线段长．（用含的代数式表示）
（2）求当点落在线段上时的值．
（3）设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式．
解：（1）∵是的中点，∴，
当时，．
当时，．
（2）当点落在线段上时，．
，解得；
（3）当时，如图，点在的左侧，
设与交于点，重叠部分是，
这时，
∵，
∴，
∴，
．
当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，则重叠部分为五边形，
这时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，交于点，则重叠部分为五边形，
则，
．
∴．
七、解答题
22. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中是常数）经过点和，抛物线顶点为．点是抛物线上的一个动点，且点在抛物线对称轴左侧．点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以为邻边构造矩形（如图①）．设点的横坐标为．
（1）求抛物线函数表达式和顶点坐标；
（2）如图②，当顶点在矩形的边上时，求的长；
（3）当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围．
（4）连结，当与互余时，直接写出的值．
解：（1）将，代入，
得，解得：，
∴抛物线函数表达式为，
∵，
∴抛物线的顶点的坐标为；
（2）∵点的横坐标为，
∴，
∵点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，
∴，，
∴，
当点落在边上时，
∵点的坐标为，
∴，解得：，（舍去），
∴；
（3）∵点的横坐标为，
∴，
∵点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，
∴，，
∴，
，
当点在抛物线上时，
，解得：，（舍去）；
当点为抛物线与轴左侧交点时，、重合，矩形不存在，
，解得：，（舍去），
∴；
，
当点为抛物线与轴交点时，、重合，矩形不存在，此时，
∴，
综上所述，或；
（4）连结，，，
∵，，
∴，，，
∴，
，，
∵点的横坐标为，
∴，
∵点在抛物线对称轴左侧，
∴，
∵点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，
∴，，
∴，
，
当与互余时，
∵四边形是矩形，
∴，
，
，
，
当时，
，解得：，（舍去）；
当时，，
，解得：，（舍去）；
综上所述，或．
分数
5
6
7
8
9
人数
7
9
8
3
1
指距
身高（平均值）