2022-2023学年吉林省松原市宁江区中考数学一模试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省松原市宁江区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )

 

A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱

3.  如图，数轴上点表示的数是，将点向右移动个单位长度，得到点，则点表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离长是(    )

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

6.  如图所示，若是的直径，是的弦，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  计算：______．

8.  计算：______．

9.  某种桔子的售价是每千克元，用面值为元的人民币购买了千克，应找回______元．

10.  若关于的一元方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是______．

11.  甲、乙两种车辆运土，已知辆甲车和四辆乙车一次可运土立方米，辆甲车和辆乙车一次可运土立方米，若每辆甲车每次运土立方米，每辆乙车每次运土立方米，则可列方程组______．

12.  已知，一个含有角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若，则______度．

13.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等腰直角三角形的边在轴的正半轴上，，点在点的右侧，点在第一象限．将绕点逆时针旋转，如果点的对应点恰好落在轴的正半轴上，那么边的长为______．

14.  如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为米，某车在标有处的弯道上从点行驶了米到达点，则线段______米．

 

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

15.  某校把一块沿河的三角形废地如图开辟为生物园，已知，，米．为便于浇灌，学校在点处建了一个蓄水池，利用管道从河中取水．已知每铺设米管道费用为元，求铺设管道的最低费用精确到元
 

四、解答题（本大题共11小题，共77.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知：如图，，，点、分别在、上．
求证：．

17.  本小题分
如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为的小长方形铁片．
求剩余部分的面积；
求出当，时剩余部分的面积．

18.  本小题分
年某省开始实施“”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目必考，物理和历史两个科目中任选门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选门，共计门科目，总分分假设小丽在选择科目时不考虑主观性请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选门选到化学、生物的概率．

19.  本小题分
如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
在图中，画一个正方形，使它的面积是．

 

20.  本小题分
京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工作效率的倍，若用一台机器人分栋件货物，比原先名工人分拣这些货物要少小时求一台机器人一小时可分拣多少件货物？

21.  本小题分
如图，根据小孔成像的科学原理，当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高单位：是物距小孔到蜡烛的距离单位：的反比例函数，当时，．
求关于的函数解析式．
若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．

 

22.  本小题分
为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度，某校开展了一次网上问卷调查随机拉取部分学生，按四个类别统计，其中表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不高欢”，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图各类学生人数扇形统计图．

请根据图中提供的信息，解决下列问题：
这次共抽取______ 名学生进行统计调查，扇形统计图中类所在扇形的圆心角度数为______ ；
条形统计图中对应的人数为______ ；
若该校共有名学生，估计该校表示“喜欢”的类学生大约有多少人．

23.  本小题分
，两地相距，甲、乙二人分别骑自行车和摩托车沿相同路线匀速行驶，由地到达地他们行驶的路程与甲出发后的时间之间的函数图象如图所示．
乙比甲晚出发几小时？乙比甲早到几小时？
分别写出甲、乙行驶的路程与甲出发后的时间之间的函数关系式不写自变量的取值范围；
乙在甲出发后______ 小时追上甲．

24.  本小题分
小明学习了特殊的四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______ ．
性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积与两条对角线、之间的数量关系：______ ．
问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外做正方形和正方形，连结、交于点，交于点，连结．
求证：四边形为垂美四边形；
已知，，则四边形的面积为______ ．

25.  本小题分
如图所示，是▱的对角线，，，，动点，分别从，同时出发，点沿折线向终点运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动连接以，为邻边作▱，设点的运动时间为．
当点在边上时，用含的代数式表示点到的距离；
当点落在边上时，求的值；
设▱与▱重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和．
求的值，并用含的代数式表示．
当时，
求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．
当时，求的最大值和最小值．
若线段的端点、的坐标分别为、，此二次函数的图象与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：的相反数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱，
故选：．
根据由两个圆和一个长方形可以围成圆柱得出结论即可．
本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：数轴上的点表示的数是，将点向右移动个单位长度，得到点，
点表示的数是：．
故选：．
根据数轴从左到右表示的数越来越大，可知向右平移则原数就加上平移的单位长度就得平移后的数，从而可以解答本题．
本题考查数轴，解题的关键是明确数轴从左到右表示的数越来越大．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，由题意可知，海里，．
，
．
在中，，，海里，
海里．
故选C．
首先由方向角的定义及已知条件得出，海里，，再由，根据平行线的性质得出然后解，得出海里．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式合并同类二次根式即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据同底数幂的除法，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，千克桔子售价为元，所以应找回元．
故答案为：．
单价重量应付的钱；剩余的钱即为应找回的钱．
此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的范围是：．
故答案为：．
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得．
 

11.【答案】 

【解析】解：设甲种车辆一次运土立方米，乙车辆一次运土立方米，
由题意得，，
故答案为：．
设甲种车辆一次运土立方米，乙车辆一次运土立方米，根据“辆甲车和四辆乙车一次可运土立方米，辆甲车和辆乙车一次可运土立方米“得出方程组即可．
此题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，仔细审题，根据题意的等量关系得出方程是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，
过直角顶点作，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
先利用平行线的性质得出，，最后利用直角三角形的性质即可．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题可知，，，，，
在中，，，，
，
．
在中，．
故答案为：．
依据旋转的性质，即可得到，再根据，，，即可得出，最后在中，可得到．
本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
 

14.【答案】 

【解析】解：设线段对应的圆心角度数为，

，
，
又，
是等边三角形，
米，
故答案为：．
根据弧长公式求出的度数，根据等边三角形的性质即可求解．
本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，根据弧长公式求得的度数是解题的关键．
 

15.【答案】解：作于，
由，，得，
又，得米．分
在中，
，
米．
铺设管道的最低费用元． 

【解析】作高，在直角中可以求出，再在中根据三角函数就可以求出的长．
此题主要题考查了解直角三角形，三角函数的性质，解题关键是把实际问题转化成数学问题．
 

16.【答案】证明：在和中，
，
又，，
≌；
． 

【解析】由已知条件，利用，证得≌，再由全等三角形对应角相等，即可证得．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，是一道较为简单的题目．
 

17.【答案】解：

；
当，时，
原式

． 

【解析】根据大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可；
将，代入代数式求值即可．
本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
 

18.【答案】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中任选门选到化学、生物的结果数为，
所以任选门选到化学、生物的概率． 

【解析】画树状图展示所有种等可能的结果，再找出任选门选到化学、生物的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

19.【答案】解：如图中，即为所求作答案不唯一．
如图中，正方形即为所求作．
 

【解析】根据要求画出图形即可．答案不唯一
作边长为的正方形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：设一台机器人一小时可分拣件货物，则一名分拣工人一小时可分拣件货物，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：一台机器人一小时可分拣件货物． 

【解析】设一台机器人一小时可分拣件货物，则一名分拣工人一小时可分拣件货物，利用工作时间工作总量工作效率，结合“若用一台机器人分栋件货物，比原先名工人分拣这些货物要少小时”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意设：，
把，代入，得，
关于的函数解析式为：；
把代入，得，，
小孔到蜡烛的距离为． 

【解析】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答．
根据待定系数法得出反比例函数的解析式即可；
根据解析式代入数值解答即可．
 

22.【答案】     

【解析】解：抽取的学生总数：人，
，
故答案为：；；
类学生人数：人，
故答案为：；
人，
答：该校表示“喜欢”的类学生大约有人．
利用类人数除以所占百分比可得抽取总人数，用乘以类所占的百分比，计算即可得解；
根据总数计算出类的人数，然后再补图即可；
利用样本估计总体的方法计算即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】 

【解析】解：由图象可知，乙比甲晚出发小时，乙比甲早到，
答：乙比甲晚出发小时，乙比甲早到小时．
设甲行驶的路程与甲出发后的时间的函数关系式为，
将代入得：，解得，
甲行驶的路程与甲出发后的时间的函数关系式为．
设乙行驶的路程与甲出发后的时间的函数关系式为，
将、代入得，解得．
乙行驶的路程与甲出发后的时间的函数关系式为．
由题意得，解得．
乙再甲出发小时后追上甲．
故答案为：．
观察图象可直接得出答案．
分别设甲行驶的路程与甲出发后的时间的函数关系式为、乙行驶的路程与甲出发后的时间的函数关系式为，再将对应点代入解析式得到方程组即可得出结论．
根据题意联立方程组即可得出结论．
本题考查一次函数的应用，从图象上获取信息，灵活使用待定系数法求函数解析式是解题关键．
 

24.【答案】菱形和正方形   

【解析】解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
解：如图所示：


四边形的面积的面积的面积；
故答案为：；
证明：连接、，如图所示：


四边形和四边形是正方形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌ ，
，，
，，
十，
，
，
四边形为垂美四边形；
解：，，，
，
，
在中，
，
，
四边形为垂美四边形，
四边形的面积，
故答案为：．
由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
四边形的面积的面积的面积；
连接、，证出，由证明≌，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可；
根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合的结论计算即可．
本题考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，过点作于点，则，

由题意得，，，，
，
，
点到的距离为；
如图，过点作于点，则，

，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
当点落在上时，则点在边上，且，
，
当点与点重合时，则，
，
，
，
；
当时，如图，；
当时，如图，作于点，于点，则，

，
，
，
，
，
：：：：：：，
，
，
，
，
；
当时，如图，作于点，设交于点，

，
∽，
，
，
，
，
综上所述，． 

【解析】作于点，则是等腰直角三角形，由可求得要求的结果；
过点作于点，则是等腰直角三角形，由可得，于是，由勾股定理可求得，则；当点落中上时，则点在边上，且，由平行线分线段成比例定理列方程即可求出此时的值；
分为、、三种情况，其中这种情况较为复杂，作于点，于点，先通过计算证明：：：：，再求出与的比即可求得关于的表达式，再求出关于的函数表达式．
此题考查四边形的综合应用，掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形、动点问题的求解等知识与方法是解题的关键．
 

26.【答案】解：把代入，得．
把代入，得，
．
当时，此函数表达式为．
，
当时，随的增大而增大．
，
当时，的最小值为．
当时，的最大值为．
当时，若抛物线与线段只有一个公共点如图，
，当时，，
则抛物线上的点在点的上方，

．
解得．
；
当时，若抛物线的顶点在线段上，
则抛物线与线段只有一个公共点，
即．
解得舍去或舍去．
综上，的取值范围是． 

【解析】把、的坐标分别代入解析式即可求解；
把解析式化成顶点式即可求得结论；根据图象上点的坐标特征即可求得；
当时，若抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线上的点在点的上方，即可求解；当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．