四川省南充市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份四川省南充市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】“”否定为“”.
故选：A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由.
故选：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知一个扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设扇形的弧长为l，圆心角为，面积为S，由题意得，解得.
故选：C.
5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数在R上单调递减，则有，
函数在上单调递减，则有，
函数在上单调递增，则有，所以.
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. -1B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】由题意得，
所以.
故选：D.
7. 已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，易知，
当时，无意义，A错；
当时，，B错；
当时，，C错；
由，故，D对.
故选：D.
8. 设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】AB选项，画出和的函数图象，如下：
显然，，，
由于，故，
结合图象可知，，故，A错误；
由于，故，
结合图象可知，B正确；
C选项，，，
两式相减得，故，C错误；
D选项，由C知，，故，
又，在上单调递减，故，D错误.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的最小值为2
C. 函数（且）的图象恒过定点
D. 函数在区间上单调递减
【答案】ACD
【解析】A：由解析式知，可得，对；
B：当时，，显然最小值不为2，错；
C：由，即函数图象恒过定点，对；
D：由反比例函数性质知在区间上单调递减，对.
故选：ACD.
10. 已知角与角的顶点为原点，始边与x轴的非负半轴重合，为钝角，，角的终边与角终边关于x轴对称，则下列结论中正确的有（ ）
A. 角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】由，为钝角，则，，
故角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，A对；
角的终边与角终边关于x轴对称，即角为第三象限角，
则，，则，，B、C对；
易知，D错.
故选：ABC.
11. 已知函数，函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 是偶函数
B. 在区间上单调递增
C. 的最小值为0
D. 若函数有三个不同零点，，，则
【答案】ABD
【解析】由题设，定义域为R，
由，即为偶函数，A对；
由，
所以，且，
则，
根据解析式知：在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
在区间上单调递增，即在区间上单调递增，B对；
又，即，
根据易知的最小值为2，C错；
由C分析知，，且趋向于正负无穷时趋向于正无穷，
由有三个不同零点，，，即与有三个交点，
所以与有三个交点，而的大致图象如下，
所以，即，D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：__________．
【答案】3
【解析】.
13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时．
【答案】40
【解析】由题设，有，可得，
令，可得.
14. 已知函数是偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题设恒成立，可得，
所以，且，
令，则
，而，
所以，即上单调递增，
由偶函数易知在上单调递减，
所以，即，可得或，
故实数m的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合．
（1）求；
（2）若集合，若，求实数a的取值范围．
解：（1）由已知，即．
由得：或，
，
∴．
∴．
（2）∵，∴．
∴，解得：．
即a的取值范围为．
16. （1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：；
（2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）方法1：
，
∴；
方法2：∵，，，，
∴
，
当且仅当时，等号成立，
故.
（2）由恒成立，知，
∵，，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即，
∴，解得或，
故m的取值范围为.
17. 已知函数，不等式的解集为．
（1）若时，的最大值为6，求的解析式；
（2）若函数，解关于x的不等式．
解：（1）∵不等式的解集为，
∴，且1和3是方程的两根，
∴，，即，，
∴，
∵函数在上单调递减，在上单调递增，
∴时，，
∴，，，
故函数解析式为.
（2）由，得，即，
由得：或，
①当时，即，则或，
②当时，即，则或，
③当时，即，则或，
综上，当时，解集为或；
当时，解集为或；
当时，解集为或.
18. 已知函数（且），若函数与函数互为反函数，且函数的图象经过点．
（1）求函数与的解析式；
（2）若，求x的取值范围；
（3）若，，使成立，求实数k的取值范围．
解：（1）∵函数与函数（且）互为反函数，
∴．
又函数的图象经过点，∴，即．
∴，.
（2）由不等式得：，
∴，，∴，
∴．
故解集为.
（3）因为，，
使成立，
所以时的最大值大于时的最大值．
又时，的值域为，时，的值域为，
∴①当时，，，
，，
则，解得：．
②当时，，，
，，
则，此不等式组无解.
③当时，，，
，，
则，解得：，
综上，k的取值范围为．
19. 很多函数的图象是弯曲的，有些向上弯曲；有些向下弯曲．如图1的函数称为下凸函数，图2的函数称为上凸函数．设点与点是函数的图象上不同两点，取线段AB的中点，过点M作y轴的平行线与的图象交于点．在图1中，弦AB的中点M始终在点N的上方，于是我们可以得到下凸函数的定义：设的定义域为D，，时，，则叫做下凸函数．显然下凸函数有如下性质：设A，B是下凸函数图象上任意两点，则直线段AB（不含端点）始终在曲线段AB（不含端点）的上方．
（1）类比下凸函数的定义和性质，结合图2，写出上凸函数的定义及相应性质；
（2）设，．
①判断并用定义证明与是上凸函数还是下凸函数；
②证明：，不等式成立．
解：（1）上凸函数的定义：
设的定义域为D，，时，恒有，
则叫做上凸函数．
性质：设A，B是上凸函数图象上的任意两点，则直线段AB（不含端点）始终在曲线段AB（不含端点）的下方.
（2）①的定义域为R，设，时，
，
由知：．
∴，即.
∴是下凸函数．
的定义域为，设，时，
．
由，，知：，
∴，即，
∴是上凸函数.
②设，
∵，
，
∴，使，
∴与的图象存在一个交点．
又∵，
，
∴，使，
∴与的图象存在另一个交点．
设过A，B两点的一次函数的解析式为，
∵是下凸函数，是上凸函数，
∴由下凸函数及上凸函数的性质知：
时，．
∵，∴时，都有成立.