2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解法得出集合,再利用交集的定义即可求解.

【详解】由，得，所以，

所以.

故选：A.

2．若幂函数 的图象经过点， 则（    ）

A．9 B．8 C．6 D．3

【答案】A

【分析】直接求出函数解析式，即可求出.

【详解】幂函数的图象经过点，

解得．

故选：．

3．已知函数则函数的图象是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】代入特殊值，逐一排除选项即可.

【详解】当x＝1时，y＝2，排除B；

当x＝0时，y＝1，排除C；

当x＝－1时，y＝0，排除D；

故选：A

【点睛】本题考查已知解析式判断函数图像问题，常用特殊值进行检验，简单快捷，考查分析理解的能力，属基础题.

4．下列各组函数表示不同的函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】D

【分析】根据函数相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数、的定义域为，且，

所以，A中的两个函数为同一函数；

对于B选项，函数、的定义域为，且两个函数的对应法则相同，

所以，B中的两个函数为同一函数；

对于C选项，函数、的定义域为，且，

所以，C中的两个函数为同一函数；

对于D选项，对于函数，，可得，

对于函数，，解得或，

所以，函数的定义域为，函数的定义域为，

两个函数的定义域不相同，D中的两个函数不是同一函数.

故选：D.

5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于选项A,变负为正,即得; 对于选项B C D分别作差即得.

【详解】  故A错误;

故B错误;

故C错误;

故D正确.

故选: D

6．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为（    ）

A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1}

C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2}

【答案】B

【分析】根据定义可得(x＋2)(x－1)<0，结合一元二次不等式的解法即可选出正确答案.

【详解】根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，

又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}．

故选:B.

7．已知 分别是定义在上的偶函数和奇函数， 且， 则（    ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性可知，代入解析式中即可.

【详解】

故选：C

8．已知函数的图象与x轴交于、两点，则不等式 的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用函数图象与的交点，可知的两个根分别为或，再利用根与系数的关系，转化为，，最后代入不等式，求解集.

【详解】由条件可知的两个根分别为或，

则，，得，，

，

整理为：，

解得：或，

所以不等式的解集是.

故选：D

【点睛】思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示，，再代入不等式化简后就容易求解.

二、多选题

9．以下四个选项表述正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对A，易知，对B，空集是任何集合的子集，对C任何集合是他自身的子集，对D，2表示的数，不是集合.

【详解】对于A ，， 所以原表述不正确；

对于B，空集是任何集合的子集， ， 表述正确；

对于C， ， 任何集合是他自身的子集， 所以表述正确；

对于D，2表示的是数，不是集合，不能用子集符号连接， 所以原式表述不正确，

故选：BC．

10．若 “ ” 为真命题， “” 为假命题， 则集合可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据且都为真命题求解.

【详解】解：由题意知： 且都为真命题，

结合选项可知，AD符合题意．

故选： AD．

11．已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（    ）

A．-2 B．1 C．2 D．3

【答案】CD

【分析】由求出的范围即可得解.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以，解得，

故选：CD

12．已知函数， 若对任意的， 不等式恒成立， 则整数的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】分别在和的情况下，根据二次函数性质可得到在上连续且单调递增，将恒成立的不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，结合恒成立思想可得，由此可构造不等式求得的范围.

【详解】当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递增，又，为上的连续函数且在上单调递增，

，，

，即对任意恒成立，

又，，解得：，

即实数的取值范围为，则整数的取值可以是或或.

故选：BCD.

三、填空题

13．“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____________.

【答案】

【分析】由题意可得是的真子集，求解即可.

【详解】因为“”是“”的必要非充分条件，

所以是的真子集，

所以．

故答案为：

14．函数的定义域是______．

【答案】

【分析】开平方时被开方数要非负，分母不为0，列不等式组求解.

【详解】使有意义应满足 ，故

故答案为：

15．设，函数在区间上的最小值为，在区间上的取小值为．若，则的值为__________．

【答案】4或16

【分析】利用均值不等式求出函数在上取得最小值的条件，再分段讨论并结合对勾函数的单调性求解作答.

【详解】，，当且仅当，即时取等号，

当时，则，有，而函数在上递减，，

于是得，解得或，则，

当时，则，有，而函数在上递增，，

于是得，解得或，则，

所以的值为4或16.

故答案为：4或16

16．已知 是上的奇函数， 且， 若对任意给定的实数， 均有恒成立， 则的解集为___________．

【答案】

【分析】根据函数单调性的性质，结合函数的偶函数的性质进行求解即可.

【详解】由 ， 均有恒成立，

得，

显然当时，有成立，

当时，有成立，

即是上的单增函数，是上奇函数，

令， 而， 故为偶函数，

当时，， 又奇函数在 R 上单调递增， 所以， 故， 则，所以在上递增， 根据偶函数对称性知：上递减，

由等价于， 亦即，所以得：， 故， 所以不等式解集为．

故答案为：

【点睛】关键点睛：判断函数的单调性，利用偶函数的性质是解题的关键.

四、解答题

17．已知集合 ， 集合．

(1)当 时， 求；

(2)若 ， 求实数的取值范围．

【答案】(1)或，；

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，由此求得.

（2）根据列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1），解得.

当时，，

所以或，.

（2）由于，所以，解得，所以的取值范围.

18．已知命题 ： “二次函数在上是单调函数” 为假命题； 命题： “幂函数在上是减函数” 为真命题． 求实数的取值范围．

【答案】

【分析】分别由命题p、q的真假，求出k的范围，列不等式组即可求得.

【详解】命题 为真，即 二次函数在上是单调函数，则对称轴或， 解得：或，所以为假命题时，.

命题真时： 幂函数在上是减函数，则， 解得：.

所以，所以.

综上所述：实数的取值范围为．

19．（1） 已知 ， 求函数的最大值．

（2） 已知 ， 求函数的最大值．

（3） 已知 ， 且， 求的最小值．

【答案】（1）；（2）1；（3）7．

【分析】（1）将目标函数化简为，再用基本不等式化简求解即可；（2）将目标函数化简为，再用基本不等式化简求解即可；（3）根据再用基本不等式化简求解即可.

【详解】（1）

当且仅当时，等号成立，

因为

所以函数的最大值为．

（2）因为，

所以

，

当且仅当时取等号，

故函数的最大值为 1．

（3） ，且，

所以

，

当且仅当时取等号，

所以，故的最小值为 7．

20．“活水围网” 养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的年平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位： 尾/立方米）的函数，当不超过尾/立方米时，的值恒为千克/年；当时，是的一次函数，当达到尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为千克/年．

(1)当时， 求每尾鱼的年平均生长速度关于养殖密度的函数表达式；

(2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.（鱼的年生长量每尾鱼的年平均生长速度年养殖密度）

【答案】(1)

(2)当养殖密度为尾/立方米时， 鱼的年生长量可以达到最大， 最大值为千克/立方米．

【分析】（1）分、两种情况讨论，分别求出关于的函数关系式，进而可得出当时关于的函数关系式；

（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，写出函数的解析式，分别求出函数在、上的最大值，比较大小后可得出结论.

【详解】（1）解：由题意：当时，；

当时，设，由已知得，解得， 此时.

因此，.

（2）解：设鱼的年生长量为千克/立方米，

 依题意并由 （1） 可得，

当时，为增函数， 故；

当时，，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

此时.

故当养殖密度为尾/立方米时， 鱼的年生长量可以达到最大， 最大值为千克/立方米．

21．定义： 函数 满足(为常数) 成立的取值范围所构成的集合称为函数的 “倍集合”．

(1)若 的 “ 1 倍集合” 为， 求实数的取值范围；

(2)若 ， 求函数的 “2 倍集合”．

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）根据的 “1 倍集合” 为，由对恒成立求解；

（2）根据 ，由，分，，分类求解.

【详解】（1）解：的 “1 倍集合” 为，

对恒成立，即对恒成立，

即：对恒成立

当时， 上式显然成立，

当时， 由题意得，

综上： 实数的取值范围为．

（2）由已知可得 ， 即，

所以，

所以，

因为，

所以当时，， 原不等式解集为或，

当时，， 原不等式解集为，

当时，， 原不等式解集为或，

综上所述： 当时， 原不等式解集为或，

当时， 原不等式解集为，

当时， 原不等式解集为或．

22．已知是定义在上的奇函数．

(1)判断在定义域上的单调性，并证明；

(2)解不等式：；

(3)若对成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递增，证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据奇函数的性质，求得参数，利用单调性定义，可得答案；

（2）利用奇函数的性质，整理不等式，根据函数单调性，建立不等式组，可得答案；

（3）根据不等式恒成立，求得的最小值，将问题等价转化为对恒成立，利用函数的最值，建立不等式组，可得答案.

【详解】（1）由已知是定义在上的奇函数，

，由，可得，解得，代入，解得，

，经检验，满足条件在定义域上单调递增，

证明如下：设，则，易知，，即，在上的单调递增.

（2）是定义在上的奇函数，，

在上单调递增，可得，整理可得，解得，

故原不等式的解集为．

（3）在上单调递增，，

对有成立，问题转化为对恒成立，即对恒成立，

设，是一次或常值函数，图像是一条线段，

必须，可得，整理可得，

，

综上，实数的取值范围是