四川省南充高级中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

南充高中2022－2023学年度上期

高2022级期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】由特称命题的否定：将存在改任意，并否定原结论，即可得答案.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，

所以原命题的否定为，.

故选：B

2. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的韦恩图，求出阴影部分的集合表示，再用补集交集的运算作答.

【详解】由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为，

由得：或，而，

所以.

故选：B

3. 用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点     ，第二次应计算      ，以上横线应填的内容依次为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先应结合零点定理判断函数零点的所在区间，然后用二分法的思想将区间逐次减半．即可获得问题解答．

【详解】由题意可知：对函数，，，且函数在区间上连续，可得其中一个零点，使得，

根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算，

所以答案为：，．

故选：．

【点睛】本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．

4. 设m，n为实数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简和，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.

【详解】因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确，

故选：A.

5. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的奇偶性，利用基本不等式结合排除法可得出合适的选项.

【详解】，该函数的定义域为，

，则函数为奇函数，排除BD选项，

当时，，当且仅当时，等号成立，排除A选项.

故选：C.

6. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y()与时间t(h)成正比()；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为(a为常数，)，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5()以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前（    ）分钟进行消毒工作

A. 25 B. 30 C. 45 D. 60

【答案】C

【解析】

【分析】计算函数解析式，取计算得到答案.

【详解】∵函数图像过点，

∴，

当时，取，

解得小时分钟，

所以学校应安排工作人员至少提前45分钟进行消毒工作.

故选：C.

7. 已知，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 20 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式中“1”的妙用解之即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为4.

故选：D.

8. 已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知，、、同号，分、、和、、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.

【详解】且、、均为不等于的正实数，

则与同号，与同号，从而、、同号.

①若、、，则、、均为负数，

，可得，，可得，此时；

②若、、，则、、均为正数，

，可得，，可得，此时.

综上所述，.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.

【详解】由题意集合，，

因为，所以当时，，即 ；

当时，有 ，解得，

故,则M的一个真子集可以是或，

故选：BC.

10. 已知定义在R上的奇函数满足，下列结论正确的是（　　）

A.

B. 是函数的最小值

C.

D. 函数的图像的一个对称中心是点

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用赋值法可判断A，利用特值可判断B，根据函数的奇偶性结合条件可判断C，根据条件可得函数图象关于对称可判断D.

【详解】因为定义在R上奇函数满足，

所以，即，故A正确；

如图函数满足题意，而不是函数最小值，故B错误；

由题可得，故C正确；

由，可知函数的图像关于对称，即的图像的一个对称中心是点，故D正确.

故选：ACD

11. 下列命题是真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则的最大值为

C. 若，，则

D. 若，则的最小值为3

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据基本不等式、结合比较法逐一判断即可.

【详解】A：因为，

所以，即，所以本选项真命题；

B：因为，

所以，

当且仅当时，即时取等号，所以本选项是假命题；

C：因为，，

所以，

即，所以本选项是真命题；

D：由，

，

当且仅当时，即时取等号，因此本选项是真命题，

故选：ACD

【点睛】关键点睛：运用比较法、基本不等式是解题的关键.

12. 对，，若，使得，都有，则称在上相对于满足“-利普希兹”条件，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则在上相对于满足“2-利普希兹”条件

B. 若，在上相对于满足“-利普希兹”条件，则的最小值为

C. 若在上相对于满足“4-利普希兹”条件，则的最大值为

D. 若在非空数集上相对于满足“1-利普希兹”条件，则

【答案】BC

【解析】

【分析】利用特例可判断A，利用参变分离法求函数最值可判断BC，由题可得为增函数，利用复合函数单调性判断D.

【详解】对于A，∵的定义域为，

令，则，

又，

∴，即在上相对于不满足“2-利普希兹”条件，故A错误；

对于B，由题知，均有成立，

当时显然成立，

不妨设，则，

又，，

∴，，

故，故B正确；

对于C，由题知，均有成立，

即，

当时显然成立，

当时，则恒成立，又，，

∴，即，所以的最大值为，故C正确；

对于D，由题可得在非空数集上恒成立，

当时显然成立，

不妨设，则，

∴成立，

令，则函数在非空数集上单调递增，

∵，

当时，，单调递增，单调递减，又单调递增，所以在上单调递减，故D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为恒成立问题，通过分离常数法，再求函数值域即可.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 幂函数在上单调递增，则的图像过定点__________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据幂函数的定义和性质求出m的值，再结合即可求出函数过定点的坐标．

【详解】由幂函数在上单调递增，所以，

解得，所以，

故令得，所以，所以的图像过定点.

故答案为：

14. 已知函数，则________.

【答案】

【解析】

【分析】先采用换元法求解出的解析式，然后用代换即可求解出的解析式.

【详解】令，所以，所以，所以，

所以，所以，所以，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：已知的解析式（为一次函数类型），求解解析式的步骤：

（1）令，将表示为关于的函数形式；

（2）根据（1）得到的表达式；

（3）根据（2）可直接得到的解析式.

15. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】先作出函数的图象，利用二次函数的对称性得到，由对数的运算以及函数图象可得，求解即可．

【详解】函数

作出函数图象如图所示，

因为互不相等的实数，，满足，

不妨设，

当时，，图象的对称轴为，所以，

当时，，令，解得，

由图象可知，

所以的取值范围是．

故答案为：．

16. 正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】将不等式变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，从而得到不等式，求出实数m的取值范围.

【详解】，变形为，

其中，则，

故，

当且仅当，即时，等号成立，

其中，

故，

所以，解得：.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解．

(2)利用对数的运算性质求解．

【小问1详解】

原式.

【小问2详解】

原式.

18. 定义在上的函数，满足，，当时，

（1）求的值；

（2）证明在上单调递减；

（3）解关于的不等式.

【答案】（1）0    （2）证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）取，计算即可.

（2）取任意且，则，得到，得到证明.

（3）计算，不等式转化为，根据函数的单调性结合定义域得到答案.

【小问1详解】

当时，，则.

【小问2详解】

取任意且，则，则

所以.

又因为时，所以，

所以在上单调递减.

【小问3详解】

因为，又，故，

.

不等式可化为，

即，

因为是上的减函数，故，解得，

故不等式的解集为.

19. 某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产台该设备另需投入成本元，且，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完.

（1）求厂商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）

（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得月利润最大？并求出最大月利润.

【答案】（1）   

（2）当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元

【解析】

【分析】（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；

（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.

【小问1详解】

当时，；

当时，．

【小问2详解】

当时，，

当时，．

当时，，

当且仅当，即时，．

当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元

20. 已知关于的不等式的解集为，：不等式的解集，：，且是的一个必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】根据不等式的解集，三个二次之间的关系结合韦达定理先求出，然后先求出命题的不等式的解集，由必要条件转化为集合的包含关系求参数.

【详解】∵不等式的解集为，

∴和是方程的解，且，

由根与系数的关系知，

解得、

∴不等式可化为，解得，

∴该不等式的解集为

设的解集为，由题意可知

由，得，

当时，可得，满足条件；

当时，可得，则，∴；

当时，可得，则，∴

综上，实数的取值范围为.

21. 已知函数为奇函数

（1）求实数的值及函数的值域；

（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），值域为   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；

（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.

【小问1详解】

函数为奇函数，定义域为，

则，所以，经检验知符合题意；

因为，则

所以函数的值域为.

【小问2详解】

由题知：当恒成立；

则；

令，

所以；

又，当且仅当时等号成立，

而，所以，

则.

22. 已知函数，.

（1）若，

①求证；

②求的值；

（2）令，则，已知函数在区间有零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）①证明见解析；②1011   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算即可求证，利用倒序相加即可求值；

（2）由已知可得，令，函数等价为在上有零点，参变分离即得解

【小问1详解】

因为，，则，

①则，

②设，

则，

两式相加得，

即则，

故.

【小问2详解】

因为，所以，

所以，设，

当，则，

则函数等价为，

若函数在区间有零点，则等价为在上有零点，

即在上有解，

即在上有解，

即在上成立，

设，则，则，

根据对勾函数的性质，在上递增，

当时，，

当时，，

∴，即，

即实数的取值范围是.