四川省泸州市2023-2024学年高二下学期7月期末统一考试数学试题（解析版）

这是一份四川省泸州市2023-2024学年高二下学期7月期末统一考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．
3．填空题和解答题的作答；用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为，
直线可转化为,
故.
又因为,所以.
故选：C.
2. 已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ）
A. 11B. 12C. 12.5D. 13
【答案】A
【解析】，
因为经验回归方程经过样本中心，
所以，
解得.
故选：A.
3. 设随机变量ξ服从正态分布,若,则下列结论中正确的是（ ）
A. ，标准差B. ，标准差
C. ，标准差D. ，标准差
【答案】B
【解析】因为随机变量ξ服从正态分布，，
所以，，，
又，
所以，
故选：B
4. 已知空间向量,若共面,则实数 （ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】因为不共线，共面，
所以存在一对有序实数，使，
所以，
所以，解得，
故选：A
5. 的展开式中项的系数为（ ）
A. B. C. 10D. 80
【答案】D
【解析】，要得到展开式中项，只需要找出展开式的项即可.由通项公式规律，由于 ，可直接写出项．即为．则展开式中项为，系数为.
故选：D.
6.数列的前n项和满足,若,则的值是（ ）
A. B. C. 6D. 7
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
所以，
因为，，所以，得，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故选：B
7. 已知是双曲线右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】不妨过点Fc,0作渐近线，即的垂线垂足为，
由点到直线的距离公式可得，
如图，设的左焦点为为坐标原点，取的中点，连接，
因为，所以，所以，
则．又，
所以，
整理得，得，得．
故选：A
8. 若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. 0,+∞
C. D.
【答案】C
【解析】由，则，即，
故关于对称，又，
则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，
故对，有，即，
即，即，解得或，
即不等式的解集为.
故选：C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 直线过抛物线的焦点,且与交于M，N两点,则（ ）
A. B.
C. 的最小值为6D. 的最小值为12
【答案】BD
【解析】对于A，B，由直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确；
对于C，D，当直线垂直于轴，即时，MN取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确．
故选：BD．
10. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若为互斥事件，则
B. 若为互斥事件，则
C. 若相互独立，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若为互斥事件，则，即可得A错误；
对于B，由可得，
又为互斥事件，则，又，
即B正确；
对于C，若相互独立，则,
所以，即C正确；
对于D，若，所以；
可得，
所以，即D正确.
故选：BCD
11. 如图，在棱长为的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 直线与平面所成角为定值
C. 点P轨迹的周长为
D. 三棱锥体积的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，连接，因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，则，
因为，平面，所以平面，
平面，所以，同理可得，
因为，平面A1BC1，所以平面A1BC1，
因为平面A1BC1，所以，故A正确；
对于C， 由A选项知平面A1BC1，
设平面，
即平面A1BC1，平面A1BC1，
因为，，
所以三棱锥为正三棱锥，
因为平面A1BC1，
则与正的中心，
则，
所以，
因为，
所以，因为，
即，
即，
，
两边平方化简可得，
因为点到等边三角形A1BC1的边的距离为，
所以点的轨迹是在内，且以为圆心、半径为的圆，
所以点P的轨迹的周长为23π，故C错误；
对于B，由选项C可知，点的轨迹是在内，
且以为圆心、半径为的圆，，且，
平面A1BC1，所以就是直线与平面A1BC1所成角，
所以，因为，
所以直线与平面A1BC1所成角为定值，故B正确；
对于D，因为点到直线的距离为，
点到直线的最大距离为3+3=23，
故的面积的最大值为，
因为平面A1BC1，
则三棱锥体积的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题 共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．
（2）本部分共8个小题，共92分．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 某医院选派4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，则不同的选派方法有______种.
【答案】36
【解析】现将名医生分为组有种，
再将其分配给个乡镇有种.
故答案为：.
13. 已知函数在(-1,+∞)上是减函数，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】，
在(-1,+∞)上是减函数，
在(-1,+∞)上恒成立，又
即在(-1,+∞)上恒成立，
即在(-1,+∞)上恒成立，
令，当时，，
则.
故答案为：.
14. 人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设,,则A，B两点间的曼哈顿距离.,已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为______.
【答案】
【解析】由题意得，圆，圆心，半径，
设点Px0,y0，则，
故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，

则，，
则，即的最大值为.故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在数列中，
（1）求证数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）由，又，所以，
所以是公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，数列的首项为，公比为2，
， ，，
所以
两式相减，得，
所以．
16. 乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力.某校为了解学生对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2x2列联表．乒乓球运动总计
（1）先完成列联表，依据的独立性检验，能否认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联？
（2）为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加乒乓球动动集训，再从这6人中随机抽取3人参加乒乓球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：,其中.
解：（1）列联表：
零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无关联，则
，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联；
（2）喜欢乒乓球运动中，男生40人，女生80人，则男生人数与女生的人数之比为，
所以抽取的6人中，男生抽2人，女生抽4人，所以可能取1，2，3，
则，，
，
所以的分布列为：
.
17. 设，···，都在椭圆C：上，且构成一个公差为dd≠0的等差数列（其中O是坐标原点），记及
（1）若，求点的坐标（写出一个即可）：
（2）当公差d变化时，求的最小值.
解：（1）由，解得：，
因为所以，因为an为公差为的等差数列，
所以，所以，
可得，
由，可得，故点的坐标可以为.
（2）原点到二次曲线C: 上各点的最小距离为,最大距离为；
因为，故，且，
故，因为，
故在上递增，
故的最小值为.
当椭圆C：，则，
所以的最小值为.
18. 在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，点D满足，平面平面，
（1）求证；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为
（i）求平面与平面距离；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）如图所示，
为正三角形，为中点，，
又平面平面平面平面平面，
平面，又平面，
.
（2）（i），故．
如图过作于，
因为平面，又平面，所以，
又平面，则平面.
则，则.
由余弦定理得，
即，解得．
则平面与平面的距离.
（ii）由前面计算和证明可得，侧面为菱形，为正三角形，
则.
又平面，则如图所示可建立空间直角坐标系D-xyz.
则，
则
设平面的法向量为，
则，
设可求得平面法向量n=a,b,c，
则，
则.
则平面与平面夹角的余弦值为.
19. 设函数，
（1）求证：当时，函数没有零点；
（2）若曲线y=fx在点处的切线，也是曲线的切线，求a的值；
（3）对任意，关于x的不等式恒成立，求正数k的取值范围.
解：（1）由题设，
当x>0时，则，
所以在0,+∞单调递增，，
故时，没有零点，得证.
（2）由（1）知，，
曲线y=fx在点处的切线为 ,
由题设，则，
设 与相切于点，
则，
，则，
，则，
所以或
（3），
令，，
存在，使Fx在单调递增；
显然在恒成立，则.
当，，F(x)>0恒成立；
当，设，
所以单调递增，所以，
也成立，
所以.1
2
3
4
5
10
11
13
15
性别
乒乓球运动
总计
喜欢
不喜欢
男生
40
100
女生
20
总计
120
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
乒乓球运动
总计
喜欢
不喜欢
男生
40
60
100
女生
80
20
100
总计
120
80
200
1
2
3