四川省泸州市2023-2024学年高二(上)期末统一数学试卷（解析版）

这是一份四川省泸州市2023-2024学年高二(上)期末统一数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为，
则，，所以.
故选：B
2. 已知，则（ ）
A. 2iB. 4iC. 1D. 2
【答案】D
【解析】，
故．
故选：D．
3. 若直线与直线平行，则（ ）
A. 0B. C. 2D. 或2
【答案】B
【解析】根据题意可知，两直线斜率均存在，即；
由两直线平行可得，解得或；
经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去；
所以可得.
故选：B
4. 在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难：次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走的路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则此人（ ）
A. 第二天走的路程占全程的
B. 第三天走的路程为24里
C. 第一天走的路程比第四天走的路程多144里
D. 第五天和第六天共走路程18里
【答案】D
【解析】由题意可知，设每天所走路程为数列，数列为等比数列，其中，
，设首项为，
则，得，
则，，故A错误；
第三天走的路程，故B错误；
第四天走的路程，，故C错误；
第五天和第六天共走路程为，故D正确.
故选：D
5. 向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，，，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：A．
6. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A. 中位数B. 平均数
C. 方差D. 极差
【答案】A
【解析】设9位评委评分按从小到大排列为．
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，
中位数仍为，A正确．
②原始平均数，
后来平均数
平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确
③
由②易知，C不正确．
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．
7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.
8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，P为C左支上一点，与C的右支交于点Q，若，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由已知得，结合双曲线定义得，故，
又，
故，结合，
故由余弦定理得，
化简得，解得.故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互互斥事件
D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【答案】BD
【解析】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确
故选：BD
10. 已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为，，
所以，故A错误，B正确；
，故C正确；
因为，
，
所以，故D错误.故选：BC
11. 已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点到l的距离为1
B. 若，则的面积为1
C. 若l的倾斜角为30°，则其实轴长为
D. 若直线PA，PB的斜率分别为，则
【答案】ABD
【解析】A.设点，，其中，点到的距离，故A正确；
B.若，则，
则，其中，
则，得，
所以的面积为，故B正确；
C.若直线的倾斜角为，则，得，
则其实轴长为，故C错误；
D.设，，，
，故D正确.
故选：ABD
12. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若直线∥平面，则点P的轨迹长度为
B. 若，则点P的轨迹长度为
C. 过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形
D. 若点P在棱BC上（不含端点），则过E，F，P的平面截该正方体所得截面为六边形
【答案】ACD
【解析】对于A：连接，如图所示，

在正方体中，，可得四边形为平行四边形，
所以，
由平面，平面，所以平面，
同理可得平面， ，平面，
平面平面，
若直线平面，则点P的轨迹线段，长度为，故A正确；
对于B：取的中点，连接，
设交于点O，如图所示，

在正方形中，，，
所以，所以，即；
又分别中点，所以平面，
又平面，所以；
因为，平面，所以平面，
因为，所以点P的轨迹线段，其长度为2，故B不正确；
对于C：延长，利用延长线与的交点作出截面图，如图所示，

直线与直线分别交于点，连接与交于点，
连接与交于点，连接，
五边形即为过E，F，C的平面截该正方体所得截面，故C正确.
对于D：点P在棱BC上，过点作的平行线，与相交于点，
连接与相交于点，连接与相交于点，连接，如图所示，

六边形即为过E，F，P的平面截该正方体所得截面，故D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，，若，则实数______．
【答案】
【解析】由，可得，
所以，
解得.
故答案为：
14. 若圆被直线平分，则圆C的半径为______．
【答案】
【解析】若圆被直线平分，则直线过圆心，
圆的圆心为，
即，
解得：，
则圆，则圆的半径为．
故答案为：．
15. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式______．
【答案】
【解析】由题意,则，
又，
，
，
，，为等差数列，
，，
，，，
故答案为：
16. 过抛物线焦点作直线l与C交于A，B两点，已知点，若，则的值为______．
【答案】8
【解析】抛物线的焦点，显然的斜率不为0，设直线，
联立 ，得，，
，，
则，，
，，
，
解得：，所以，
.
故答案为：8
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数；
（2）为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．
解：（1）由题意可知，，得，
前3组的频率和为，
前4组的频率和为，
所以第85百分位数在第4组，设为，
则，解得：，
所以这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数为85；
（2）由于，和的频率之比为，
故抽取的5人中，和分别为1人，2人，2人，
记的1人为，的2人为，的2人为，
故随机抽取2人的所有样本点为，
，共包含10个样本点，
其中至少有1人每天阅读时间位于的样本点为，
，共包含7个样本点，
故至少有1人每天阅读时间位于概率.
18. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且．
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和．
解：（1）设等比数列的公比为（），
因为，，成等差数列，所以，
因为，所以，得，
所以，得，
所以，
所以，，整理得，
解得或（舍去），得，
所以；
（2）因为，
所以，
所以
.
19. 已知圆过点，且与直线相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆与圆的公共弦长．
解：（1）由题意设圆的圆心为，已知圆过点，且与直线相切于点，
所以圆心在直线即直线上，
所以，
又，
所以解得，
所以圆的标准方程.
（2）由（1）得圆的标准方程.
又圆，两圆方程相减得公共弦方程为，
所以圆心到公共弦的距离为，
而圆的半径为，
所以圆与圆的公共弦长为.
20. 抛物线上的点到C的准线的距离为5．
（1）求C的方程；
（2）已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值．
解：（1）根据题意利用抛物线定义可知，解得；
所以抛物线C的方程为；
（2）如下图所示：
设直线l的方程为，与抛物线方程联立整理可得，
设，则可得；
由于，所以可得，即，
可得，解得或（舍）；
又，所以可得直线的方程为，
联立，可得点D的坐标为；
又，所以可得
即的长度为定值2.
21. 在正方体中，E为的中点，F为直线上的动点．
（1）若，求平面AEF与平面的夹角的正切值；
（2）若，P为底面ABCD的中心，当点P到平面AEF的距离为时，求线段CF的长．
解：（1）如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设棱长为2，且为的中点，
，，，，
，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，，
所以平面的法向量，
设平面的法向量为，
设平面AEF与平面的夹角为，
则，，则，
所以平面AEF与平面的夹角的正切值为；
（2）设
，，，，
，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，，
所以平面的法向量，
点到平面的距离，
解得：，
所以的长为或.
22. 已知为平面直角坐标系上的动点，记其轨迹为曲线．
（1）请从以下两个条件中选择一个，求对应曲线的方程．
①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为：
②已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点；
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．
（2）延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于两点，求面积的最大值．
解：（1）若选①，设，且动点到直线的距离为，
结合题意可得：，整理得，
所以曲线的方程为：.
若选②, 由圆，可得圆心，半径，
因为点与点关于原点对称，所以，
因为线段的垂直平分线与线段交于点，
所以，而，
所以,
故点是以中心在原点，长轴长为4，焦距为2的椭圆,
结合椭圆的定义可知：解得
故曲线的方程为：.

（2）结合上问可知曲线的方程为：.
设，，由，得，即
即，因为点在曲线上，
所以，
整理得，所以曲线的方程为.
当直线的斜率不存在时，此时，故此时直线为，
联立，可得，
此时，
当直线的斜率存在时，设直线为，设,
联立，可得，
因为
所以，
所以，
点到直线的距离为，
所以面积，
即，
因为点在曲线上，所以直线与曲线有公共点，
联立，
可得，
因为
所以，所以，
令，则，
则,
结合复合函数的单调性可知. 在单调递增；
所以当时，面积有最大值，
因为，所以.
综上所述：面积的最大值为.