四川省泸州市合江县2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试卷（解析版）

这是一份四川省泸州市合江县2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 已知数列的前n项和为，则， 下列命题中，真命题的是， 已知在处有极值，则， 的展开式中的系数为， 已知，，，则， 直线，下列图象中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.
3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.
第一卷 选择题（58分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. （ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】，故选：C.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于选项A：，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B不正确；
对于选项C：，故选项C不正确；
对于选项D：，故选项D不正确，
故选：A
3. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可知圆心为，
又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
由点斜式得直线，
化简得直线的方程是．
故选：D．
4. 已知数列的前n项和为，则（ ）
A. 81B. 162C. 243D. 486
【答案】B
【解析】数列的前n项和为，所以.
故选：B
5. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
B. 若回归方程为，则变量y与x正相关
C. 甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为
D. 在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
【答案】A
【解析】①若样本数据的方差为2，
则数据的方差为，故A项为真命题；
②由，可知，则变量y与x负相关，B项为假命题；
③根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关，
某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，
则甲被抽到的概率为，故C项为假命题；
④在线性回归分析中相关指数越接近于1，
则模型的拟合效果越好，故D项为假命题.
故选：A.
6. 已知在处有极值，则（ ）
A. 11或4B. -4或-11C. 11D. 4
【答案】C
【解析】根据题意，
函数在处有极值0
且
或
时恒成立，此时函数无极值点
.
故选：C.
7. 的展开式中的系数为（ ）
A. 55B. C. 65D.
【答案】D
【解析】含的项为，
所以展开式中的系数为．
故选：
8. 已知，，，则（参考数据：）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为， ，
考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，
所以，即，
又，
所以，故，
故选：B.
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 直线，下列图象中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】直线，
A选项，由图可知：，所以A选项错误.
B选项，由图可知：，所以B选项正确.
C选项，由图可知：，所以C选项正确.
D选项，由图可知：，所以D选项错误.
故选：BC
10. 甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，
则，A不正确；
在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，
则，B正确；
因，，，
则，C正确；
因，，
则，D正确.
故选：BCD
11. 已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为16
D. 当最小时，直线的斜率不存在
【答案】AD
【解析】A选项，若一条直线斜率不存在时，则另一条直线斜率为0，
此时与抛物线只有1个交点，不合要求，
故两直线斜率均存在且不为0，
由题意得，设直线方程为，
联立与得，，
易知，设，则，
则，，
则，A正确；
B选项，在A选项基础上得到，
由于两直线均过焦点且垂直，可得，
故，B错误；
C选项，由B选项可知，
，
当且仅当，
即时，等号成立，
故的最小值为16，C错误；
D选项，由A选项可知，点横坐标为，
故，所以，
由于两直线均过焦点且垂直，可得，
则
，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
当时，取得最小值，此时，
故当最小时，直线的斜率不存在，D正确.
故选：AD.
第二卷非选择题（92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
12. 近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
【答案】348
【解析】由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，所以共有种，
第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种，
第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有种，
由分类计数原理可得：店主共有种选择方式，
故答案为：.
13. 若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是____.
【答案】(4，5)
【解析】函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，
令，，，
在递减，在递增，而，，，
所以.
故答案：.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________.
【答案】
【解析】由题意，不妨设点P在第一象限，如图.
因为，则，，.
因为，则，可知，
则，即，整理得.
由得，解得或（舍去），
所以C的离心率为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）设等差数列的公差为，又，，
所以，解得，，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
.
16. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
解：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
.
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：
，
方案二中取到红球的概率为：
，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大.
17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F为线段，的中点．
（1）证明：EF⊥平面；
（2）若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面的距离．
解：（1）取中点，连结，
∵在中，、分别为、的中点，∴且，
又在直三棱柱中，E是的中心，
∴且，∴且，
∴四边形BEFM为平行四边形，∴，
∵在中，M为AC的中点，且，
∴，且，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，∴平面；
（2）由（1）知，，，
因为直线与平面所成的角大小为，，
因为中，，，
，，
，
设点到平面的距离为，
，，
即，解得.
18. 已知函数（ 为常数，是自然对数底数），曲线在点处的切线与轴平行.
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）设,其中 为的导函数.证明：对任意 .
解：（1）由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
（2）由(1)得f′(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0.
又ex＞0，所以x∈ (0,1)时，f′(x)＞0；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)
（3）因为g(x)＝xf′(x)，
所以g(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
由(2)得，h(x)＝1－x－xln x，
求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e-2)．
所以当x∈(0，e-2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；
当x∈(e-2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．
所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e-2)＝1＋e-2.
又当x∈(0，＋∞)时，0＜＜1，
所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)＜1＋e-2，即g(x)＜1＋e-2.
综上所述结论成立
19. 已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程．
（2）已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解：（1）依题意，设动圆的圆心为，半径为r，
因为该动圆与圆外切，与圆内切，
此处要特别注意圆在圆的内部与圆相切，否则圆无法与圆外切，
所以，，
所以，
由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
所以2a＝4，2c＝6，即a＝2，c＝3，
所以b2＝c2－a2＝1，
所以曲线C的方程为.
（2）选择①②⇒③：
设直线l：y＝kx＋m，A，B，
联立，消去，得x2－16mkx－8m2－8＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为，k1＋k2＝0，所以＋＝0，
即＋＝0，
即2kx1x2＋－8＝0，
所以2k×＋－8＝0，
化简得8k2＋2k－1＋m＝0，即＝0，
所以或m＝1－4k，
当m＝1－4k时，直线l：y＝kx＋m＝k＋1过点P，不满足题意，舍去；
当时，由于曲线是双曲线的右支，易知，
又由x2－16mkx－8m2－8＝0得，
此时，则，解得，故，
即时，满足题意，综上：，所以③成立.选择①③⇒②：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，
联立，消去，得，
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，
由第1种选择可知且，此处不再详细说明，
所以k1＋k2＝＋＝＋
＝－1＋＋＝－1＋
＝－1＋＝0，
所以②成立.
选择②③⇒①：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，P(x0，y0)，
联立，消去，得，
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，
由第1种选择可知且，此处不再详细说明，
由k1＋k2＝＋＝＋＝0，
得＋＝0，
即－x1x2＋－2x0＝0，
所以－8m2－8＋8m×－2x0＝0，
故2m＋2x0y0－8＝0，
由于的任意性，所以，，解得，
又，所以，则，满足，
所以P，①成立.