天津市南开中学2024−2025学年高一下学期质量监测（一） 数学试卷（含解析）

这是一份天津市南开中学2024−2025学年高一下学期质量监测（一） 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列各式能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若复数满足（是虚数单位），则下列说法不正确的是（ ）
A．复数在复平面内对应点在第一象限B．的模为
C．的共轭复数为D．复数的虚部为
3．在中，，则最大角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2，4，4，那么该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，下列命题不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则有两解
6．已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，且，则
7．如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．B．
C．D．
8．有下列四个结论：
①已知，则不能作为平面内所有向量的一个基底；
②若平面向量，则在上的投影向量是；
③两个非零向量，若，则与垂直；
④已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
9．设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列命题正确的个数为（ ）
①； ②的外接圆的面积是；
③的面积的最大值是； ④的取值范围是．
A．4B．3C．2D．1
10．如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知i是虚数单位，则复数 ．
12．已知向量、满足，，，则与的夹角等于
13．如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：
①；②平面ADE；③平面平面AFN；④是异面直线．其中判断正确的序号是 ．
14．一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了2km到达地，然后由地向南偏东方向骑行了2km到达地，再从地向北偏东方向骑行了8km到达地，则A，D两地的距离为 km．
15．在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为 ； .
16．如图，在中，，点是的中点，点在边上，交于点，设，则 ；点是线段上的一个动点，则的最大值为 ．

三、解答题
17．在中，角所对的边分别为．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
18．如图所示，在三棱柱中，分别是的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）平面将三棱柱分割成两部分，两部分几何体的体积分别为，求的值．
19．在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点．
（1）若，求；
（2）若平分，求AD的取值范围；
（3）若，令，试求的最大值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】对A：，故A错误；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误；
故选C.
2．【答案】D
【详解】由复数满足，所以复数的实部为1，虚部也为1，
所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；
，故B正确；
的共轭复数为，故C正确；
复数的虚部为1，故D错误.
故选D.
3．【答案】A
【详解】在中，，
∴角A即为的最大角.
由正弦定理可得，
不妨设，
由余弦定理可得.
故选A.
4．【答案】C
【详解】由题意可知三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a，b，c，则，
解得，，
设该三棱锥外接球的半径为，则，
所以．
故选C．
5．【答案】B
【详解】对于：若，则，所以，
所以，故正确；
对于：，则或，
即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于：，则，
所以角为钝角，所以为钝角三角形，故正确；
对于：，
因为，，所以角可能是锐角，也可能是钝角，
故有两解，故正确.
故选.
6．【答案】C
【详解】对于A，若，则或异面或相交，故A错误；
对于B，，则或异面，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，且，则或，故D错误.
故选C.
7．【答案】D
【详解】如图所示，分别取的中点，连接，
由且，得是平行四边形，则，
又且，得是平行四边形，得，
所以，则共面，
故平面截该正方体所得的截面为.
又正方体的棱长为1，，，，，
故的面积为.
故选D.
8．【答案】A
【详解】对于①，向量，故平行，不能作为平面内所有向量的一组基底，故①正确；
对于②，若平面向量，
则在上的投影向量为，故②正确；
对于③，两个非零向量，，两边平方得
，解得，则与垂直，故③正确；
对于④，，若与的夹角是锐角，
故且与不同向共线，即且，
解得且，故④错误.
故选A
9．【答案】B
【详解】对于①，因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，，又因为，，故①正确；
对于②，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
解得，则的外接圆的面积是，故②正确；
对于③，由余弦定理得，整理得，
即，当且仅当时等号成立，
所以的面积为，当且仅当时等号成立，
即的面积的最大值是，故③正确；
对于④，由正弦定理得，
则，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，
可得，，所以，
所以，即的取值范围是，故④错误.
故选B.
10．【答案】A
【分析】先找到三棱锥与三棱锥的公共部分，设DE，交于点F，AC，BD交于点G，连接FG，则三棱锥就是三棱锥与三棱锥的公共部分．再推出点F到平面ABCD的距离是点到平面ABCD距离的，然后根据棱锥的体积公式可得结果.
【详解】如图，设DE，交于点F，AC，BD交于点G，连接FG，则三棱锥就是三棱锥与三棱锥的公共部分．
因为，所以，所以，
设点到平面ABCD距离为，则点F到平面ABCD的距离是，
又，所以三棱锥的体积为.
故选A．
11．【答案】
【详解】依题意，.
12．【答案】
【详解】因为，
可得，
因为，故，即与的夹角为.
13．【答案】②③④
【详解】将平面展开图还原成正方体后，CN与DE是异面直线，而不是平行关系．因为在正方体中，CN与DE既不相交也不平行，所以①错误．
将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，②正确．
将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，，平面BDM，平面BDM，故平面BDM．同理平面BDM,根据平面与平面平行的判定定理,所以平面平面AFN，③正确．
将平面展开图还原成正方体．在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，所以DM，BF是异面直线，④正确．
14．【答案】
【详解】由题可知，，
所以，，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
即两地的距离为.
15．【答案】
【详解】
由题意得，,,
由分别为线段、的中点，知，，
因此，
；
延长、交一点,由,，，,且.
,
又，,,，则
.
16．【答案】/
【详解】
设，
由题意可知，，
则，
因为不共线，所以有，
此时；
可设，
则，
当重合时取得等号.
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，，，
由余弦定理可得，整理得，
解得.
（2）因为，，所以，
由正弦定理，可得，
解得.
（3）（法一）由（2）得，，
，
，
所以，
所以．
（法二）由余弦定理可得，
∴，
∴
.
18．【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）.
【详解】（1）分别是的中点，
，
又平面，平面，
所以平面．
（2）分别为中点，
故，
又，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面
又由（1）知平面，且平面，，
平面平面．
（3）设三棱柱的底面积为，高为，则其体积为，
平面将三棱柱分割成三棱台和多面体两部分，
设三棱台的体积为，多面体的体积为，
因为分别为中点，所以，
则，
，
又，所以，，
故．
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得，整理得，
又，所以，则，
所以，所以，
由余弦定理，
又，所以；
（2）因为，即，
所以，
由余弦定理，
所以，
所以，
因为，且，所以，当且仅当时取等号，则
所以，令，则，
所以，
因为在上单调递增，
当时，当时，
所以，即AD的取值范围为．

（3）由余弦定理，，
所以，
所以
，
，
所以．当且仅当，
即时，．