天津市南开区2023-2024学年高一下学期阶段性质量监测 数学试题（含解析）

这是一份天津市南开区2023-2024学年高一下学期阶段性质量监测 数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟．
参考公式：
•球的体积公式，其中R表示球的半径．
•锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．
•如果事件A，B互斥，那么．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）．
A．正方形 B．菱形 C．梯形 D．平行四边形
2．复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B．-i C．2 D．-2i
3．为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为（ ）．
A．40％ B．50％ C．60％ D．65％
4．i为虚数单位，若（），则（ ）．
A．-1 B．1 C．2 D．3
5．给出下列命题：
①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台；
④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形．
其中正确命题是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
6．一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x＝（ ）．
A．58或64 B．58 C．59或64 D．59
7．已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（ ）．
A．1 B．2 C． D．5
8．利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（ ）．
A． B． C． D．
9．已知为单位向量，向量，且，则（ ）
4．135° B．60° C．45° D．30°
10．如图，在三棱柱中，，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）．
A．1∶2 B．4∶5 C．4∶9 D．5∶7
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．
11．A，B，C三所学校的高一学生共有800名，其中男、女生人数如下表：
现用分层随机抽样的方法从这三所学校的所有高一学生中抽取48人，则应从C校抽取的人数为________．
12．一个盒子中放有红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15％和45％，则盒子中白色球的个数可能是________个．
13．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在直线上，则实数a＝________．
14．长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为________．
15．边长为2的等边中，，，则的最小值为________．
三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分8分）
现有男生和女生各3人，从中任选2人参加一项测试，求：
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率．
17．（本小题满分10分）
设，是平面内两个不共线的向量．
（Ⅰ）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（Ⅱ）试确定实数k，使和共线；
（Ⅲ）若，，，求实数m的值．
18．（本小题满分12分）
已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，D是BC边上的一点，，．
（Ⅰ）求c的长；
（Ⅱ）求．
19．（本小题满分12分）
已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，，．
（Ⅰ）求角C的大小：
（Ⅱ）若，且，求c．
20．（本小题满分13分）
如图，四棱锥P-ABCD中，，，，E，F分别为线段AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
2023—2024学年度第二学期阶段性质量监测参考答案
高一年级 数学学科
一、选择题：
二、填空题：
11．18； 12．16； 13．-1； 14．； 15．．
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
16．解：从6人中任选2人共有15种情况．
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有9种，
这一事件的概率．
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生，所求事件的概率．
（Ⅲ）同理至多有一名参赛学生是男生的概率．
17．解：（Ⅰ）因为，，
所以．
又，所以．
所以，共线，
又因为它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
（Ⅱ）因为和共线，
所以存在实数，使，
即．
因为，是平面内两个不共线的向量，
所以，
所以，．
（Ⅲ）由题意可得，，
因为，
则，解得．
18．解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，
因为，所以，
在中，由正弦定理得，即，
解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以，，
所以
．
19．解：（Ⅰ），
在中，，，
所以，
所以，又，
所以，．
又因为，故．
（Ⅱ）因为，
由正弦定理得．
因为，
所以，
即，．
由余弦定理得，
所以，，所以．
20．证明：（Ⅰ）如图，设，连接OF，EC，
由于E为AD的中点，，，
所以，，
因此四边形ABCE为菱形，
所以O为AC的中点．
又F为PC的中点，
因此在中，可得，
又，，
所以．
（Ⅱ）由题意知，，
所以四边形BCDE为平行四边形，
因此．
又，
所以，因此．
因为四边形ABCE为菱形，
所以．
又，，
所以A校
B校
C校
男生
97
90
x
女生
153
160
y
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
B
A
C
B
C
D