2022-2023学年天津市南开区高二上学期1月阶段性质量监测数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市南开区高二上学期1月阶段性质量监测数学试题

一、单选题

1．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据图象得倾斜角范围以及大小关系，再根据斜率与倾斜角关系确定斜率大小.

【详解】令直线，，的倾斜角分别为，，，

由图像可得，

所以，即．

所以

故选：A.

2．是首项和公比均为3的等比数列，如果，则n等于（    ）．

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】D

【分析】根据题意求出通项公式即可得出答案.

【详解】根据题意可知的通项公式为，当时，

故选：D

3．椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出、的值，可得出椭圆的离心率的值.

【详解】在椭圆中，，，则，

因此，椭圆的离心率为.

故选：B.

4．在等差数列中，，则（    ）．

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质即可确定答案.

【详解】由等差数列的性质知：.

故选：C.

5．已知点，，则直线的倾斜角为（    ）

A．30 B．60 C．120 D．150

【答案】B

【分析】求出直线的斜率即得解.

【详解】解：由题得直线的斜率，

设直线的倾斜角为，

所以.

故选：B

6．双曲线的渐近线方程是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的标准方程可直接得出该双曲线的渐近线方程.

【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.

故选：C.

7．在数列中，，（，），则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值

【详解】，，，

可得数列是以3为周期的周期数列，，

故选：A

8．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【详解】试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.

【解析】本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.

点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.

9．如图，在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱上，且满足，设，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】因为点为棱的中点，且，

所以

.

故选：.

10．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求解F1到渐近线的距离，结合OA∥F2M，可得∠F1MF2为直角，结合勾股定理可得解

【详解】由题意,F1(−c,0),F2(c,0)，

设一条渐近线方程为y=x,则F1到渐近线的距离为.

设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴|MF1|=2b,

A为F1M的中点，又O是F1F2的中点,

∴OA∥F2M,∴∠F1MF2为直角，

∴△MF1F2为直角三角形，

∴由勾股定理得4c2=c2+4b2

∴3c2=4(c2−a2),∴c2=4a2，

∴c=2a，∴e=2.

故选：C

二、填空题

11．已知直线与平行，则的值为__________.

【答案】

【分析】根据给定条件利用两直线平行是性质列式计算即可.

【详解】因为直线与平行，

所以当时，两条直线不平行，不符合题意；

当时，，解得.

故答案为：.

12．已知圆与相交于A，B两点，则直线的方程是__________．

【答案】

【分析】根据两相交圆与公共弦关系，两相交圆方程相减所得方程即是公共弦方程．

【详解】两圆方程相减，得

故答案为：

13．数列的前项和，则_____.

【答案】

【分析】根据来求得数列的通项公式.

【详解】当时，，

当时，.

当时上式也符合，

所以.

故答案为：

14．等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则________．

【答案】2

【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值．

【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，

则由题意可得，且．

，．

又由等比数列的性质可得，．

故答案为：2．

15．已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为_____________.

【答案】5

【分析】运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可.

【详解】如图，圆是圆关于直线 的对称圆，

所以圆的方程为，圆心为 ，且由图知，

五点共线时， 有最小值，

此时，

所以的最小值为5.

故答案为：5.

三、解答题

16．已知等差数列满足，其前项和；数列是单调递增的等比数列，且满足，.

(1)求数列和的通项公式．

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出等差数列的通项公式，根据等比数列的单调性与基本性质可求得、的值，可求得等比数列的公比，进而可得出数列的通项公式；

（2）利用等比数列的求和公式可求得.

【详解】（1）解：设数列的公差为，由已知可得，解得，

所以，．

因为数列是单调递增的等比数列，由已知可得，解得，

所以，数列的公比为，所以．

（2）解：.

17．已知圆，直线．

(1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；

(2)设直线与圆交于A、两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长．

【答案】(1)圆心，半径，与圆相交；

(2)﹒

【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C和半径r，求出直线l经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l与圆的位置关系；

（2）求出圆心到直线的距离d，根据即可求弦长．

【详解】（1）由题设知圆：，

∴圆的圆心坐标为C，半径为r＝．

又直线可变形为：，则直线恒过定点，

∵，

∴点在圆内，故直线必定与圆相交．

（2）由题意知，

∴直线l的斜率，

∴圆心到直线：的距离，

∴．

18．已如数列的前项和为，，当时，．

(1)证明数列为等差数列，并求；

(2)求数列的前项和为．

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）由可得，即可证明数列是以为首项，为公差的等差数列，从而求出；

（2）由（1）知，利用错位相减法计算可得.

【详解】（1）解：当时，由，得，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

所以，即．

（2）解：由（1）知，

所以，①

所以，②

①②得

，

所以．

19．如图，在直三棱柱中，，，．

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用坐标法证明即可；

（2）根据空间向量坐标法求解即可；

（3）根据空间向量坐标法求解即可；

【详解】（1）解：依题意，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则．

，

因为，

所以．

（2）解：结合（1）得，

设平面的法向量为，

则

令，得．

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

（3）解：结合（1），

设平面的法向量为，

则

令，则，

由（2）知平面的法向量为

设平面和平面的夹角为，

则．

所以，平面与平面的夹角余弦值为.

20．已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4．经过点且不经过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于点E，直线与直线交于点N．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：的面积为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据焦点坐标得出，根据椭圆的定义得出，根据的关系得出，即可得出椭圆方程；

（2）直线方程为，点，，联立方程根据韦达定理得出，，设直线的方程为，得出点的坐标，即可得出直线的方程，得出点的纵坐标，即可得出，即可得出答案.

【详解】（1）由焦点坐标可知，

因为任意一点到两个焦点的距离的和为4，

所以，可得，

又，可得，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）由题意知直线斜率一定存在，设直线方程为，点，，

联立方程，消去得，

则，，

设直线的方程为，则，即，

所以直线的方程为，

可得，

．

所以．