安徽省宁国市2024年中考一模数学试卷（解析版）

这是一份安徽省宁国市2024年中考一模数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 有理数2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】有理数2024的相反数是，
故选：B．
2. 2023年，安徽电动载人汽车，锂电池，太阳能电池等“新三样”合计出口390.6亿元，增长，数据“390.6亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】390.6亿，
故选：B．
3. 安徽大鼓是安徽省的一种传统戏曲剧种．如图，这是表演乐器之一鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】安徽大鼓的主视图是：
故选：D．
4. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.，故A选项错误；
B.，故B选项错误；
C.，故C选项错误；
D.，故D选项正确；
故选：D．
5. 向某容器中匀速注水，容器中水高度与时间的函数图象大致如图所示，则这个容器可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数图象可知，水面高度增加的速度逐渐变慢，只有C选项的容器满足，
故选：C．
6. 下列化简运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，故项计算正确，不符合题意；
，故B项计算错误，符合题意；
，故项计算正确，不符合题意；
，故项计算正确，不符合题意；
故选：B
7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心到的距离为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接交于点，
，
由题意得：，，，
，
∵圆心到的距离为，即
，
，
故选：C．
8. 从，，，1，2，4这6个数中任取一个数作为a的值，则抛物线的对称轴在y轴右侧的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的对称轴为，
若抛物线的对称轴在y轴右侧，
则，即，
∴从，，，1，2，4这6个数中任取一个数，共有6种等可能结果，其中使该二次函数的对称轴在y轴的右侧的有，这2种结果，
∴该二次函数的对称轴在y轴的右侧的概率为．
故答案为：C．
9. 一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距，
当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数图象在一，三象限，
，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交．
综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确，
故选：A．
10. 正方形的边长为，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在正方形中，
，，，
，
，
，
点P在以为直径的圆上．
如图，设的中点为，当点，，在同一条直线上时，有最小值．
，，
．
过点作于点，
，
，
，
，
，
故选：A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为____．
【答案】4
【解析】把代入，
得，
则，
则，
故答案为：4．
12. 已知关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∵方程的解是负数，
∴，
∴．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则的面积为_____．
【答案】16
【解析】将代入得，
解得：，
∴
将代入得，
∴反比例函数解析式为：，
∴，
解得：或
∴，
记直线与轴交于点，如图：
当，，
∴，
∴，
故答案为：16．
14. 如图，在矩形中，连接，点E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N，且．
（1）求______．
（2）若，，，则______．
【答案】135，
【解析】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：135；
（2）∵四边形是矩形，
∴，，，，，
在中，，，
．
，
∴，
，
．
在中，
，，
．
，
，
．
，
，
．
，
，
，
，．
，
∴，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
解：原式
．
16. 2023年，安徽科技“名场面”越来越多，一系列原创性，标志性科技成果令人振奋．为把科技融入课程，某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型号机器人模型的单价比B型号机器人模型的单价多200元，购买4台A型号机器人模型的费用比购买5台B型号机器人模型的费用多500元．现在需要购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台，问一共需要花费多少钱？
解：设A型号机器人模型的单价为x元，B型号机器人模型的单价为y元．
根据题意，得，
解得．
购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台需要花费（元）．
答：一共需要花费3500元．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）．
（1）将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出．
（2）请画一个格点，使，且．
（3）将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形．
解：（1）如图，即为所求作的三角形；
（2）如（1）中图，即为所求作的三角形；
（3）如（1）中图，四边形即为所求作的四边形．
根据平移可知：，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
18. 如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推．
（1）第5个图案中“●”的个数是________．
（2）请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数．
（3）请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数．
解：（1）观察图形：
第1个图案中“●”的个数是个，
第2个图案中“●”的个数是个，
第3个图案中“●”的个数是个，
第4个图案中“●”的个数是个，
∴第5个图案中“●”的个数是个，
故答案为：35；
（2），
，
，
，
，
……
由上规律知，第n个图案中“●”的个数为或；
（3）第1个图案中最长的线段上“●”的个数为2，
第2个图案中最长的线段上“●”的个数为3，
第3个图案中最长线段上“●”的个数为4，
……
∴第n个图案中最长的线段上“●”的个数为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．如图1，这是一辆自行车的实物图．图2是其平面示意图，测得一些数据，如表所示．
求车链横档的长．（结果保留整数．参考数据：，，）
解：如图，过点A作，垂足为H．
，
，
，
，
在中，，
在中，，
．
答：车链横档的长约为．
20. 如图，，是的切线，切点分别为A，B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D，．
（1）求的长．
（2）连接，求证：．
（1）解：连接，
，是的切线，
．
，，
是的垂直平分线，
，
是的直径，
，
．
（2）证明：是的切线，
．
是的直径，
∴，
，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
六、解答题（本题满分12分）
21. 2024年央视总台春晚以“龘（dá）”字为主视觉符号，体现了中国传统篆刻艺术．某校为了弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理，描述和分析（成绩得分用表示，其中A．；B．；C．；D．，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息．
七年级C组学生的分数分别为94，92，92，91．
八年级C组学生的分数分别为91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
（1）填空：________，________．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在以“传承文明”为主题的竞赛中，哪个年级的学生对“传承文明”的了解情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）该校现有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩为优秀的学生人数．
解：（1）中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在C组，
∴，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，，
故答案为：92，94；
（2）（答案不唯一）八年级的学生对“传承文明”的了解情况更好．理由如下：
选取的七年级的学生竞赛成绩优秀人数的百分比为；
选取的八年级的学生竞赛成绩优秀人数的百分比为．
，
八年级的学生对“传承文明”的了解情况更好；
（3）七年级优秀人数约为，
七年级竞赛成绩为优秀的学生人数约为720．
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图1，在中，，，DE是的中位线．将绕点A按顺时针方向旋转，射线BD与射线CE交于点P，如图2所示．
（1）求证：．
（2）在这个旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由．
（3）当时，求BP的长．
（1）证明：，，DE是的中位线，
，，
．
在和中，
．
（2）解：不变．
如图1，设AB与CP交于点G．
，
，
，
．
（3）解：如图2，在中，，，
．
，
，，
四边形是正方形，
，
．
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，抛物线与直线交于点，B，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点E，N是线段上一动点（不与点A，B重合），过点N的直线交抛物线于点M，且轴，连接，，，．
（1）求拋物线和直线的函数表达式．
（2）四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：．
（1）解：将点代入抛物线与直线中，
得，，
解得，，
抛物线和直线的函数表达式分别为，；
（2）解：存在．
对于，令，得，
点．
，解得或，
点，
∴．
设点N的横坐标为，则点，．
，，
，
当时，的值最大，最大值为．
的最大值为．
（3）证明：由点，，
，
，
是等腰三角形．
如图，过点A作，交于点D，过点B作，交于点F．
是等腰三角形，
是的平分线，
．
，
．
，，
．
，
，
．
目标
自行车
图形
测得数据
，，，
年级
平均数
中位数
众数
七
91
a
95
八
91
93
b