2024年安徽省部分学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体三视图可进行求解．
【详解】解：由图可知该几何体的主视图是 ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键．根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为，
故选：．
4. 如图，已知直线被一组平行线所截，交点分别为和，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5. 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意；
C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．
6. 如图，正六边形内接于，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边对等角，先根据正六边形的性质得到，，再由等边对等角得到，则，由此可得．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
8. 如图，在中，点是上的三等分点．连接并延长交于点，交的延长线于点．若，则（ ）
A 18B. 20C. 22D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线四边形的性质，相似三角形的性质与判定，先根据题意得到，再由平行四边形的性质得到，证明得到，则，再证明得到，设，则，可得，解得，则．
【详解】解：∵点是上的三等分点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象、一次函数、反比例函数的图象．由点，在同一个函数图象上，可得点与点关于轴对称；当时，随的增大而减小，即可求得答案．
【详解】解：∵点，在同一个函数图象上，
∴点与点关于轴对称；故A、C选项不符合题意，
∵在同一个函数图象上，
∴当时，随的增大而减小，故B选项符合题意，D选项不符合题意，
故选：B．
10. 如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 成语“水中捞月”所描述的事件是____________；（填“必然事件”、“随机事件”或“不可能事件”）
【答案】不可能事件
【解析】
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】解：成语“水中捞月”所描述的事件是不可能事件．
故答案为：不可能事件
12. 如图，中，，则________．

【答案】##
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一个角的正弦值，勾股定理，熟知正弦的定义是解题的关键．
13. 是以为直径的的一条弦，，，若的半径为，则阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式，以及圆周角定理，根据，推出，再根据阴影部分的面积扇形的面积，即可解题．
【详解】解，如图所示，连接、，

，，
，
又，
，
阴影部分的面积扇形的面积，
故答案为：．
14. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数经过点，且．
（1）______；
（2）连接，则______．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理：
（1）先求出，进而得到，过点A作于E，则是等腰直角三角形，可得，则，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】解：（1）∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
过点A作于E，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
把代入中得：，
故答案为：；
（2）由（1）得，，
∴
，
故答案为：4．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解；
16. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各儿何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问该问题中的门高多少尺？
【答案】该问题中的门高8尺
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，勾股定理的实际应用，设该问题中的门高x尺，则竿的长度为尺，则门宽为尺，根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：设该问题中的门高x尺，则竿的长度为尺，则门宽为尺，
由题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
答：该问题中的门高8尺．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）请画出关于轴对称的，点分别对应；
（2）将以为旋转中心，顺时针旋转，点分别对应，谋画出旋转后的图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和轴对称：
（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可；
（2）根据网格特点结合旋转方式，找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
18. 如图，一次函数和反比例函数图象交于 ，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：；
（2）或．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
（1）将点A，点B坐标代入反比例函数解析式可求n的值，用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据函数图象可求不等式的解集．
【小问1详解】
解：∵反比例函数图象点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵点A在反比例函数图象上，
∴，
∴点
根据题意得：，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
【小问2详解】
解：观察图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，即，
所以不等式的解集为：或．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆水平距离处，无人机垂直上升到处，此时测得点的俯角为点的仰角为，求旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于E，则四边形是矩形，可得，解得到，解得到，则．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：旗杆的高度约为．
20. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，点为直径上一点，且，延长父于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．（用含的代数式表示）
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，三线合一定理：
（1）由三线合一定理得到，由同弧所对的圆周角相等推出，再由三角形内角和定理可得，即；
（2）连接，由三线合一定理得到，求出，由勾股定理可得，据此可得．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
∴，
∴，
∴，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 为迎接全市“庆祝建党100周年朗诵比赛”，学校成立了由2名女生和3名男生共5人组成的朗诵课余兴趣小组．
（1）从这5人中选派1名同学参加个人朗诵比赛，则抽到女生的概率为_______；
（2）从这5人中选派2名同学参加集体朗诵比赛，求抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）；
（2）恰好抽到一男和一女的概率为．
【解析】
【分析】（1）画树状图即可求出抽到女生的概率；
（2）画树状图即可求出抽到1名男生和1名女生的概率；
【小问1详解】
解：画树状图分析：
∴抽到女生的概率为．
【小问2详解】
解：画树状图分析：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为．
点睛】本题考查画树状图或列表求概率，重点要掌握画树状图法方法和列表法求概率．
七、（本题满分12分）
22. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点分别是抛物线上第四象限、第二象限上的点，其中点的横坐标为，连接交轴于点，连接，设的面积为，且，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）点坐标为
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，抛物线与三角形面积综合，以及待定系数法求函数解析式，关键是待定系数法求出函数解析式．
（1）将A、B两点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式；
（2）根据点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，点坐标为，然后用待定系数法求直线的解析式，从而求出点坐标，再根据三角形的面积公式以及，求出点的横坐标，然后再代入二次函数解析式，从而得出结论．
【小问1详解】
解：将、点的坐标代入抛物线中，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，
点坐标为，
设直线的解析式为，
把，坐标代入得：，
解得，
直线与轴的交点的坐标为
，
，
的面积为，
，
，
解得，
把代入得，
点坐标为．
八、（本题满分14分）
23. 在正方形中，分别为上两点，连接，将沿翻折，得到，连接，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，对角线交于点，连接，若点落在上，求证：四边形为菱形；
（3）如图3，若点为的中点，连接交于点，连接，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可得，进而推出，证明，进而证明，即可证明；
（2）由折叠的性质可得，，，证明，得到；再证明，得到，进而得到，即可推出，则四边形为菱形；
（3）设交于J，正方形的边长为，则，由勾股定理得到；证明，得到；证明，得到，，推出，；求出，则．
【小问1详解】
证明：设交于O，
由折叠性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由折叠的性质可得，，，
又∵，
∴，
∴；
设交于O，
由正方形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
【小问3详解】
解：设交于J，正方形的边长为，
∵点为的中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，等角对等边等等，灵活运用所学知识是解题的关键．