湖北省省直辖县级行政单位13校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省省直辖县级行政单位13校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分：120分，考试时间：120分钟）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为( ).
A. 4cmB. 4cm或C. D. 不存在
4. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
7. 如图，一棵大树在一次强风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底面B的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A. B. C. D.
8. 若线段，，能组成，则它们比可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
10. 如图，认真观察作图的过程，点M表示的实数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11 化简：______．
12. 已知，则________．
13. 等边△ABC中，BC=2,则△ABC的面积为_________；
14. 如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为_____．
15. 如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，如果，，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算
（1）；
（2）．
17. 已知，，分别求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
18. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点．
（1）直接写出格点A，B，C三点坐标．
（2）求的周长．
19. 如图，的三边分别是，并且满足，．
（1）请你判断的形状，并说明理由．
（2）请求出最长边上的高．
20. 小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
请根据表格信息，解答下列问题．（，）
（1）求旗杆的高度的长．
（2）由于实际需要，现在要把旗杆增高，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）．
21. 我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空：
（1）勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数）
（2）勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数）
（3）勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数）
22. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：
．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
23. 如图，在四边形中，，，，．
（1）求的长．
（2）求四边形的面积．
24. 将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题：
（1）如图1，等腰直角中，，，D为边上的一点，，作，且（即旋转至），连接，，请证明：；
（2）如图2，四边形中，，，若，则四边形的面积为_____；
（3）如图3，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，求的长．
2024-2025学年度下学期八年级三月联考
数学试卷
（总分：120分，考试时间：120分钟）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】A．不是最简二次根式，此项不符合题意；
B．是三次根式，此项不符题意；
C．，不是最简二次根式，此项不符题意；
D．是最简二次根式，此项符合题意；
故选：D．
2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式即可得出答案，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选：D．
3. 在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为( ).
A. 4cmB. 4cm或C. D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】在直角三角形中，利用勾股定理即可求出另一条直角边．
【详解】∵一个直角三角形中，斜边长为5cm，一条直角边的长为3cm，∴根据勾股定理得：另一条直角边为4cm．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
4. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由勾股定理求出三角形的边长的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．
【详解】解：A、三角形的三边的平方分别为，，25，，则这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
B、三角形的三边的平方为，，，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；
C、三角形的三边的平方为，，，，则这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
D、三角形的三边是平方为，，，，这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
故选：B．
5. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解答本题的关键．先把二次根式依次化简，根据同类二次根式的定义作判断．
【详解】解：∵，，，
∴能与合并．
故选A．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘、除运算法则是解题的关键．根据算术平方根的含义，二次根式的乘、除运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，故该选项不符合题意；
B． ，故该选项符合题意；
C． ，故该选项不符合题意；
D． ，故该选项不符合题意；
故选：B．
7. 如图，一棵大树在一次强风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底面B的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．树垂直于地面，形成，因此用勾股定理结合已知条件求出长度，再用长度加上长度即为大树的高度．
【详解】解：∵树折断部分与未断部分和地面构成了直角三角形，且，，
∴，
∴这棵树原来的高度为，
故选C．
8. 若线段，，能组成，则它们的比可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形．根据勾股定理的逆定理得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方．
【详解】解：A．，故不能构成直角三角形，此项不符合题意；
B．，故能构成直角三角形，此项符合题意；
C．，故不能构成直角三角形，此项不符合题意；
D．，故不能构成直角三角形，此项不符合题意．
故选：B．
9. 如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知，米，米，米，根据勾股定理可分别求出、的长，再求出的长即梯子顶端下落的距离．
【详解】解：由题意可知，，米，米，米，
（米），
在中，（米），
在中，（米），
（米），
即梯子顶端下落了米．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题关键是注意梯子的长度不变，利用勾股定理求出、的长．
10. 如图，认真观察作图的过程，点M表示的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．根据勾股定理可求得的长为，再根据点M在原点的右侧，从而得出点M所表示的数．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
∵点M在原点的右侧，
∴点M在数轴上表示的实数是，故C正确．
故选：C．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 化简：______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查二次根式化简．根据题意直接计算即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
故答案为：3．
12. 已知，则________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，根据可得，，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
13. 等边△ABC中，BC=2,则△ABC的面积为_________；
【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形的边长即可求得AD的值，根据BC、AD的值即可求△ABC的面积，即可解题．
【详解】解：AD为BC边上的高，等边三角形三线合一，
∴BD=DC=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
则AD==，
故等边△ABC的面积S=×BC×AD=×2×=.
故答案为.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质.
14. 如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先证明，设，可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：长方形纸片沿折叠，
∴，
∵在长方形纸片中，，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案：3．
15. 如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，如果，，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积是解题的关键．
根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，求出，代入即可求解．
【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形的面积减去大半圆的面积，
∵在中，，，，，
∴，即
∴（负值舍去）
∴阴影部分的面积等于
．
故答案为：6．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）先化最简二次根式，再计算加减即可；
（2）根据二次根式乘除混合运算，即可求解．
【小问1详解】
解：原式
=
【小问2详解】
解：原式
17. 已知，，分别求下列代数式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键；
（1）先将式子整理成，再将，代入求解即可；
（2）先将式子整理成，再将，代入求解即可；
【小问1详解】
解：原式
=
=
【小问2详解】
解：原式=
18. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点．
（1）直接写出格点A，B，C三点的坐标．
（2）求的周长．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是写出坐标系内点的坐标，勾股定理的应用；
（1）根据点的位置可得其坐标；
（2）利用勾股定理分别求解三角形的三边，从而可得答案；
【小问1详解】
解：由题意可得：
；；；
【小问2详解】
解：由题意可得：
，，，
∴的周长为：．
19. 如图，的三边分别是，并且满足，．
（1）请你判断的形状，并说明理由．
（2）请求出最长边上的高．
【答案】（1）直角三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，因式分解的应用，利用了非负数的和为零得出的值是解题关键．
（1）根据完全平方公式，可得非负数的和为零，可得每个非负数为零，可得的值，然后根据勾股定理逆定理，可得判断的形状；
（2）利用面积法即可求出最长边上高．
【小问1详解】
结论：是直角三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【小问2详解】
∵是直角三角形为上的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
请根据表格信息，解答下列问题．（，）
（1）求旗杆的高度的长．
（2）由于实际需要，现在要把旗杆增高，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；
（1）设，则，根据勾股定理建立方程求解即可；
（2）由（1）得，延长至点，使，连接，可得，求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，，
设，则，
又，
在中，，
∴，
解得，
答：旗杆的长为．
【小问2详解】
解：由（1）得，延长至点，使，连接
则
在中，，
则绳子至少要加长：，
答：绳子至少要加长．
21. 我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空：
（1）勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数）
（2）勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数）
（3）勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数）
【答案】（1）12，16，20；，，
（2）9，40，41；，，
（3）10，24，26；，，
【解析】
【分析】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．
（1）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可；
（2）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可；
（3）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可；
【小问1详解】
解：由题意可得：
勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数）
【小问2详解】
解：由题意可得：
勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数）
【小问3详解】
解：由题意可得：
勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：，，．（，且n为正整数）
22. 阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：
．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行分母有理化；
（2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可；
（3）先分母有理化，可得，可得，然后再进行代值求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
23. 如图，在四边形中，，，，．
（1）求的长．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理，含角直角三角形的性质，割补法求解三角形面积，
（1）延长，交于点E，首先求出，勾股定理求出，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求解即可；
（2）首先勾股定理求出，然后利用代数求解即可．
【小问1详解】
解：延长，交于点E
∵，，
∴
∴在中，
∴
又∵，
∴，
在中，
∴
∴；
【小问2详解】
在中，
∴

．
24. 将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题：
（1）如图1，等腰直角中，，，D为边上的一点，，作，且（即旋转至），连接，，请证明：；
（2）如图2，四边形中，，，若，则四边形的面积为_____；
（3）如图3，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和勾股定理；
（1）利用和得则有，从而得，，进而可得，然后根据勾股定理进行计算即可；
（2）先构造出，进而判断出是直角三角形，四边形的面积等于的面积，由此即可求解；
（3）以为边在的右侧作等边，连接，是等边三角形即可证明，从而可得，然后再求出，在中，利用勾股定理求出，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，延长至，使，连接，
在四边形中，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
∴．
【小问3详解】
解：以为边在的右侧作等边三角形，连接，如图：
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴长为4．
课题
利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度
模型抽象
测绘数据
①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为．
②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即．
说明
点A，B，D在同一平面上．
课题
利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度
模型抽象
测绘数据
①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为．
②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即．
说明
点A，B，D在同一平面上．