2022-2023学年江西省上饶市鄱阳县八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省上饶市鄱阳县八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 要使二次根式 x+2有意义，则x必须满足的条件是( )
A. x≥2B. x>−2C. x≥−2D. x>2
2. 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是( )
A. a=2，b=4，c=5B. a= 3，b= 4，c= 5
C. a=3，b=4，c=5D. a=5，b=13，c=14
3. 下列式子计算结果正确的是( )
A. 2+ 6= 8B. 6 2− 2=6
C. 2 2×3 2=6 2D. 2 2÷ 2=2
4. 图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=2，且∠AOB=30°，则OC的长度为( )
A. 2 2B. 2 3C. 4D. 2 5
5. 已知 2x−4+|y−1|=0，则xy的值为( )
A. 土2B. ±4C. 2D. 4
6. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为( )
A. 31B. 63C. 65D. 67
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. (−9)2= ______ ．
8. 如图，在数轴上点A表示的实数是______ ．
9. 已知 12n是整数，则正整数n的最小值为______ ．
10. 电流通过导线时会产生热量，电流(单位：A)、导线电阻R(单位：Q)、通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足Q=I2Rt.已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，则I的值为______ A.
11. 如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为______ ．
12. 在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，BC=3，D是直线AC上的动点，若△ABD是等腰三角形，则AD的长度是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)计算： 18− 8− 2；
(2)计算：6 2× 3+3 30÷ 5．
14. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a2a−2−1a−2)÷a2−2a+1a−2，其中a= 3+1．
15. (本小题6.0分)
随着3月12日植树节的到来，某企业计划对一块四边形空地进行绿化.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=8米，AD=6米，CD=26米，BC=24米，若每平方米绿化的费用为60元，请预计绿化的费用．
16. (本小题6.0分)
如图，在由4×4的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点．
(1)在图1中，以A为顶点，作一个三边长分别为2， 5和 13的格点三角形．
(2)在图2中，以A为顶点，作一个面积为52的等腰直角三角形．
17. (本小题6.0分)
如图，长方形ABCD沿着对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC与AD相交于点E，若AB=3，AE=1，求BC的长．
18. (本小题8.0分)
如图1，在△ABC中，AC=BC=4，∠B=30°．
(1)求△ABC的面积．
(2)若P是边AB上的一点(不与点A，B重合)，过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，得到图2，移动点P的位置，PD+PE的值会变化吗？若不变，求出PD+PE的值；若变化，请说明理由．
19. (本小题8.0分)
下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：( 2+1)2− 412．
解：原式=2+2 2+1−4 12⋯第一步=3+2 2−2 2⋯第二步=3⋯第三步
任务一：以上步骤中，从第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ．
任务二：请写出正确的计算过程．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意
的事项给其他同学提一条建议．
20. (本小题8.0分)
“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”如图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处，DG⊥GB且DG=10米，CG=60米，CE⊥GB.(不考虑两人身高，点G、C、B在同一水平线上)
(1)求小明与小亮之间的距离CD(结果保留根号)．
(2)若风筝A在小明的北偏东45方向上，且高度AB为60米，AB⊥GB，求此时风筝A到小亮的距离AD．
21. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=4 2，点P沿着AB从点A向点B运动若运动速度为1个单位长度/秒，设点P的运动时间为t秒．
(1)若t=2，
①线段PA= ______ ，PB= ______ ．
②点P的坐标为______ ．
(2)连接OP，猜想PA2，PB2，OP2之间的数量关系，并证明．
22. (本小题9.0分)
阅读下面解题过程．
例：化简1 2+ 1．
解：1 2+ 1= 2− 1( 2+ 1)( 2− 1)= 2− 1( 2)2−( 1)2= 2− 11= 2−1．
请回答下列问题．
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①1 6+ 5= ______ ；②1 11− 10= ______ ．
(2)应用：化简1 3+ 2+1 4+ 3+1 5+ 4+⋯+1 2023+ 2022．
(3)拓展：1 3+ 1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 2n+1+ 2n−1= ______ .(用含n的式子表示，n为正整数)
23. (本小题12.0分)
课本再现：
(1)如图1，四个全等的直角三角形拼成−一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理.请证明：a2+b2=c2．
类比迁移
(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a=3，b=4，则空白部分的面积为______ ．
方法运用
(3)小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH=3，BH=4，请求出“帽子”外围轮廓(实线)的周长．
(4)如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC=S1，S△BCG=S2，S正方形BCIH=S3，则S1，S2，S3之间的关系为______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，x+2≥0，
解得，x≥−2，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、22+42=20≠52，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
B、( 3)2+( 4)2=7≠( 5)2，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
C、32+42=25=52，故线段a、b、c组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意；
D、52+132=194≠142，故线段a、b、c组成的三角形是不直角三角形，本选项符不合题意．
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解： 2+ 6不能合并，故选项A错误，不符合题意；
6 2− 2=5 2，故选项B错误，不符合题意；
2 2×3 2=12，故选项C错误，不符合题意；
2 2÷ 2=2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABO中，∠AOB=30°，
∴OB=2AB=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
OC= OB2+BC2= 42+22=2 5，
故选：D．
先根据含30°角的直角三角形的性质得出OB的长，再根据勾股定理求出OC的长即可．
本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解∵ 2x−4+|y−1|=0，
∴2x−4=0，y−1=0，
∴x=2，y=1，
∴xy=2×1
=2．
故选：C．
非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质即可解决问题．
本题考查非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，关键是掌握非负数的性质．
6.【答案】B
【解析】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3(个)，
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7(个)，
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15(个)，

∴第五代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25=63(个)，
故选：B．
由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数
本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
7.【答案】9
【解析】解：原式=|−9|=9．
故答案为9．
利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
8.【答案】 5−1
【解析】解：如图，根据勾股定理得：BD= 22+12= 5，
∴AB=BD= 5，
∴点A表示的实数为 5−1，
故答案为： 5−1．
根据勾股定理求得BD的长度，即可得到AB的长度，根据点B的位置即可得到点A表示的数．
本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
9.【答案】3
【解析】解：∵ 12n是整数，
则12n一定是一个完全平方数，
∵3×2×2=12，
∴当n=3时， 12n一个完全平方数．
∴正整数n的最小值为3．
故答案为：3．
根据 12n是整数可知，12n一定是一个完全平方数，即可求解．
本题主要考查了二次根式的化简，理解 12n是整数的条件是解决本题的关键．
10.【答案】3 22
【解析】解：∵Q=I2Rt.已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，
∴72=I2⋅8×2，
故I 2=92，
则I=3 22．
故答案为：3 22．
直接把已知数据代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
11.【答案】5cm
【解析】解：如图1，

AC= (3+1)2+32=5(cm)，
如图2，

AC= (3+3)2+12= 37(cm)，
答：需要爬行的最短距离为5cm，
故答案为：5cm．
求蚂蚁爬行的最短距离，需将正方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题考查了平面展开−最短路径问题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
12.【答案】3或3 3或9
【解析】解：∵∠A=30°，∠B=90°，BC=3，
∴AC=2BC=6，AB= 62−32=3 3，
分三种情况：
①如图1，当AD=AB时，AD=3 3，

②如图2，AB=BD，
过点B作BE⊥AC于E，

∴AE=DE，
Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3 3，
∴BE=12AB=3 32，
∴AE=3 32× 3=92，
∴AD=2AE=9；
③如图3，AD=BD，
∴∠A=∠DBA=30°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=60°，
∵∠C=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD=BC=3，
∴AD=6−3=3，
综上，AD的长是3或3 3或9．
故答案为：3或3 3或9．
根据△ABD是等腰三角形，分三种情况：BD或AD或AB为底边，根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论．
本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握分类讨论的思想是解本题的关键．
13.【答案】解：(1) 18− 8− 2
=3 2−2 2− 2
=0；
(2)6 2× 3+3 30÷ 5
=6 2×3+3 30÷5
=6 6+3 6
=9 6．
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】解：(a2a−2−1a−2)÷a2−2a+1a−2
=a2−1a−2÷a2−2a+1a−2
=(a+1)(a−1)a−2⋅a−2(a−1)2
=a+1a−1，
当a= 3+1时，
a+1a−1
= 3+1+1 3+1−1
= 3+2 3
=3+2 33．
【解析】根据分式的加法法则及除法法则把分式进行化简后，再把a的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，把分式正确的通分、约分，会把二次根式化简是解题的关键．
15.【答案】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=82+62=102，
在△BCD中，
∵BD2+BC2=102+242=262=CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=12AB⋅AD+12BC⋅BD
=12×6×8+12×10×24
=24+120
=144(平方米)，
所以需费用60×144=8640(元)．
答：预计绿化的费用8640元．
【解析】连接BD，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理逆定理证得△BCD为一直角三角形，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△BCD构成，则容易求解．
本题考查了勾股定理及逆定理的应用，通过边与边的关系证明△BCD是直角三角形是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)如图，三角形ABC即为所求．
(2)如图，等腰直角三角形ADE即为所求．

【解析】(1)利用勾股定理画出格点三角形即可．
(2)利用网格，结合勾股定理，画三角形的两条直角边均为 5即可．
本题考查作图−应用与设计作图、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，
∵长方形ABCD沿着对角线BD翻折，点C落在点C′处，
∴DC=C′D，∠C=∠C′=90°，
∴AB=C′D，∠A=∠C′，
在△AEB与△FC′D中，
∠A=∠C′∠AEB=∠C′EDAB=C′D，
∴△AEB≌△C′ED(AAS)，
∴AE=EC′=1，
∵AB=3，
∴BE= AB2+AE2= 32+12= 10，
∴BC=BC′= 10+1．
【解析】根据矩形的性质得到∠A=∠C=90°，AB=CD，根据折叠的性质得到DC′=CD，∠C=∠C′=90°，根据全等三角形的性质得到AE=EC′=1，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)过点C作CF⊥AB，垂足为F，

∵AC=BC=4，AF⊥BC，
∴AB=2AF，
在Rt△BCF中，∠B=30°，
∴CF=12BC=2，BF= 3CF=2 3，
∴AB=2BF=4 3，
∴△ABC的面积=12AB⋅CF
=12×4 3×2
=4 3，
∴△ABC的面积为4 3；
(2)移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，

连接CP，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，
∴△ACP的面积+△BCP的面积=△ABC的面积，
∴12AC⋅PD+12BC⋅PE=4 3，
∴12×4⋅PD+12×4⋅PE=4 3，
∴PD+PE=2 3，
∴移动点P的位置，PD+PE的值不会变化，PD+PE的值为2 3．
【解析】(1)过点C作CF⊥AB，垂足为F，先利用等腰三角形的三线合一性质可得AB=2AF，然后在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质可得CF=2，BF=2 3，从而可得AB=4 3，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；
(2)连接CP，利用面积法，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及面积法是解题的关键．
19.【答案】一 没有将带分数化为假分数再化简
【解析】解：任务一：一，没有将带分数化为假分数再化简，
故答案为：一，没有将带分数化为假分数再化简，
任务二：原式=2+2 2+1− 92
=3+2 2−3 22
=3+ 22，
任务三：二次根号内是带分数，需要先化为假分数，再化简．
直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△CDG中，CD= DG2+CG2= 102+602=10 37(米)；
(2)∵CE⊥GB，AB⊥GB，
∴∠BAC=∠EAC=45°，
∴∠BCA=90°−45°=45°，
∴BC=AB=60米，
∴BG=BC+CG=120米，
过D作DH⊥AB于点H，
∵DG⊥GB，CE⊥GB，
∴四边形BHDG是矩形，
∴BH=DG=10米，DH=BG=120米，
在Rt△ADH中，
AD= DH2+AH2= 1202+502=130(米)．
【解析】(1)根据勾股定理直接求出CD；
(2)过D作AB⊥DF于点H，根据等腰三角形的判定证得BC=AB，在Rt△ADH中，根据勾股定理即可求出AD．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】2 6 ( 2,3 2)
【解析】解：(1)①∵OA=OB=4 2，
∴AB= OA2+OB2=8，
∵点P沿着AB从点A向点B运动若运动速度为1个单位长度/秒，设点P的运动时间为t秒，
∴PA=2t，
∴PB=8−2t，
∵t=2，
∴PA=2，PB=6，
故答案为：2，6；
②过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，

∵OA=OB=4 2，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴△ANP，△PMB是等腰直角三角形，
∴AN=PN，PM=BM，
AN2+PN2=AP2，BM2+PM2=BP2，
∴2PN2=22，2PM2=62，
∴PN= 2，PM=3 2，
∴点P的坐标为( 2,3 2)，
故答案为：( 2,3 2)；
(2)PA2+PB2=2OP2．
证明：∵△ANP，△PMB是等腰直角三角形，
∴PA2=AN2+PN2=2NP2，PB2=BM2+PM2=2PM2，
∵PN⊥y轴，
∴OP2=ON2+NP2，
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∠AOB=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∴ON=PM，
∴PA2+PB2=2NP2+2PM2=2NP2+2ON2=2(NP2+ON2)=2OP2，
∴PA2+PB2=2OP2．
(1)①根据勾股定理求出斜边的长，然后根据路程等于时间乘以速度计算即可；
②过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，可得△ANP，△PMB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解；
(2)根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质可得PA2=2NP2，PB2=2ON2，OP2=ON2+NP2，即可得PA2，PB2，OP2之间的数量关系．
此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等，利用数形结合思想是解决问题的关键．
22.【答案】 6− 5 11+ 10 2n+1−12
【解析】解：(1)①1 6+ 5= 6− 5( 6+ 5)( 6− 5)= 6− 5；
②1 11− 10= 11+ 10( 11− 10)( 11+ 10)= 11+ 10；
故答案为：① 6− 5；② 11+ 10；
(2)1 3+ 2+1 4+ 3+1 5+ 4+⋯+1 2023+ 2022
= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)+ 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)+ 5− 4( 5+ 4)( 5− 4)+...+ 2023− 2022( 2023+ 2022)( 2023− 2022)
= 3− 2+ 4− 3+ 5− 4+...+ 2023− 2022
= 2023− 2；
(3)1 3+ 1+1 5+ 3+1 7+ 3+⋯+1 2n+1+ 2n−1
= 3− 1( 3+ 1)( 3− 1)+ 5− 3( 5+ 3)( 5− 3)+ 7− 5( 7+ 5)( 7− 5)+...+ 2n+1− 2n−1( 2n+1+ 2n−1)( 2n+1− 2n−1)
= 3−12+ 5− 32+ 7− 52+...+ 2n+1− 2n−12
=12( 3−1+ 5− 3+ 7− 5+...+ 2n+1− 2n−1)
= 2n+1−12，
故答案为： 2n+1−12．
(1)利用分母有理化，进行计算即可解答；
(2)先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
(3)先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23.【答案】13 2(S1+S2)=S3
【解析】(1)证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为(a+b)2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4×12ab，
∴c2+2ab=a2+b2+2ab，
∴a2+b2=c2；
(2)解：如图2，空白部分的面积=边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积=c2−2×12ab，
∵a=3，b=4，
∴空白部分的面积=32+42−2×12×3×4=13．
故答案为：13．
(3)解：如图3，在Rt△ABH中，AB= AH2+BH2= 32+42=5，
∵△ABH≌△AFH≌△ADI≌△ADG，
∴AD=AF=AB=5，
∴DH=AD−AH=5−3=2，BI=AB−AI=5−3=2，
∴DH=BI，
∵∠DCH=∠BCI，∠CHD=∠CIB=90°，
∴△CDH≌△CBI(AAS)，
∴CD=BC，
设BC=x，则CH=4−x，
在Rt△CDH中，CH2+DH2=CD2，
∴(4−x)2+22=x2，
解得：x=52，
∴BC=CD=52，
同理可得DE=EF=BC=52，
∴“帽子”外围轮廓(实线)的周长为AB+AF+BC+CD+DE+EF=5+5+52+52+52+52=20．
(4)解：如图4，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J，
∵RtABC中，∠BAC=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
∵四边形ABED、四边形ACGF、四边形BCIH均为正方形，
∴S正方形ABED=AB2，S正方形ACGF=AC2，S3=S正方形BCIH=BC2，
∵正方形ABED与△EBC同底等高，
∴S正方形ABED=2S△EBC=2S1，
∴AB2=2S1，
∵正方形ACGF与△EBC同底等高，
∴S正方形ACGF=2S△BCG=2S2，
∴AC2=2S2，
∵S正方形BCIH=S3，
∴2S1+2S2=S3，
即2(S1+S2 )=S3．
(1)利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a+b的正方形的面积建立方程，即可得出结论；
(2)由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案；
(3)由勾股定理可得AD=AF=AB=5，利用AAS证明△CDH≌△CBI，设BC=x，则CH=4−x，根据勾股定理建立方程求解即可得出答案．
(4)根据勾股定理可得AB2+AC2=BC2，再由正方形、三角形面积公式可得S正方形ABED=AB2，S正方形ACGF=AC2，S3=S正方形BCIH=BC2，AB2=2S1，AC2=2S2，即可得出答案．
本题考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、三角形面积等知识，解题的关键是利用面积法，利用全等三角形的性质解决问题．