江苏省连云港市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份江苏省连云港市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分 考试时间120分钟
命题人：唐春燕 审核人：朱香勤
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算：（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
2. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
3. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. 8C. D. 4
4. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A. B. C. D.
6. 用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A. 36B. 48C. 60D. 72
7. 已知，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有种.
A. B. C. D.
10. 设，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 展开式中二项式系数最大的项是第5项D.
11. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积不变B. 平面
C. D. 平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则的值为______．
13. 被9除所得余数是__________.
14. 某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同分配方法种数为_________.
四、解答题：本题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明工程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）当时，求实数值.
16 某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
（1）若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的选法？
（2）若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的选法？
（3）若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？
17. 如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点.
（1）求证：是平面的法向量；
（2）求与平面所成角的余弦值；
（3）求二面角的大小.
18. 在二项式展开式中，______.给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中项的系数最大的项.
19. 高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜
（1）求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率；
（2）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？
2024-2025学年二学期期中考试
高二数学试题
满分150分 考试时间120分钟
命题人：唐春燕 审核人：朱香勤
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算：（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列，组合数计算公式进行计算即可.
【详解】.
故选：D.
2. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得.
【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种.
故选：A
3. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. 8C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二项式定理计算即可.
【详解】的展开式通项为，
取，则，系数为.
故选：A
4. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.
【详解】以D作坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设与所成角的大小为，
则.
故选：C
5. 从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意,,故.故选B.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
6. 用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A. 36B. 48C. 60D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.
【详解】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
7. 已知，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间点到直线的距离公式计算求解即可.
【详解】因为，所以，
所以在上投影的长度为，
所以点到直线的距离为.
故选：C
8. 如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.
【详解】解：，
，
，
，
所以，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有种.
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
由题意，先排男生，再插入女生，可得选项B正确，或用减法，先进行全排列再减去女生相邻的情况，可得选项C正确．
【详解】由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；
也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；
故选：BC.
【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
10. 设，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 展开式中二项式系数最大的项是第5项D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式、赋值法以及二项式系数的性质来逐一分析选项.
【详解】对于选项，在中，令，可得，所以选项错误.
对于选项，令，则，即.
由选项可知，所以，选项正确.
对于选项，因为为偶数，根据二项式系数的性质，
当为偶数时，中间一项（即第项）的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项是第项，选项错误.
对于选项，二项式展开式的通项公式为.
当时，；
当时，.
因为，即，选项正确.
故选：BD.
11. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积不变B. 平面
C. D. 平面平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用等体积法判断体积不变，A正确；证明平面平面，即知平面，B正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C错误D正确即可.
【详解】对于A，的面积是定值，，平面，平面，
∴平面，故到平面的距离为定值，
∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；
对于B，由选项A知，平面，同理平面，而，
平面，∴平面平面，平面，平面，故B正确；
对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，P在上，故可设，
则，
，，
则不一定为0，
和不垂直，故C错误；
对于D，设，
则，
，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
.
∴平面和平面垂直，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则的值为______．
【答案】6或8
【解析】
【分析】由组合数公式的性质即可直接求得答案.
【详解】因为，所以或，其中，
解得或，经检验符合题意，
故答案为：或.
13. 被9除所得的余数是__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由，然后根据二项式定理结合条件即得.
【详解】因为
又能被9整除，
所以被9除所得的余数为2，
故答案为：2.
14. 某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为_________.
【答案】1560
【解析】
【分析】根据题意，共有“”与“”两种分配方案进行分配，利用排列组合计数即得(注意部分平均分组).
【详解】因每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，
故有两种分配方案：
第一种“”方案：先从6个志愿服务小组选取3个小组为一大组与另外的三个小组分成4组，
到4个大门进行服务，共有方法种数为；
第二种“”方案，依次从6个志愿服务小组选取2个，2个，1个，1个
到4个大门进行服务，共有方法种数为，
由分类加法计数原理，不同的分配方法种数为.
故答案为：1560.
四、解答题：本题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明工程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）当时，求实数的值.
【答案】（1）-10 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.
（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.
（3）由,转化为数量积为0即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
当时，，得，
，或.
16. 某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
（1）若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的选法？
（2）若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的选法？
（3）若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？
【答案】（1）64； （2）128；
（3）51.
【解析】
【分析】（1）利用分步原理即得；
（2）利用先选后排可求；
（3）先分类再分步即得
【小问1详解】
利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有种不同的选法；
【小问2详解】
先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有种不同的选法；
【小问3详解】
先分类再分步：第一类：甲组1男生：，第二类：乙组1男生：，
则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.
17. 如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点.
（1）求证：是平面的法向量；
（2）求与平面所成角的余弦值；
（3）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）证明与平面内的两条相交直线垂直，可通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为来证明垂直关系.
（2）可先求出直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值，再根据线面角与向量夹角的关系求解.
（3）可通过求出平面与平面的法向量，根据法向量夹角与二面角的关系得出二面角的大小.
【小问1详解】
设正方体的棱长为，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，.
所以，，.
，可得.
，可得.
因为，且平面，所以平面，即是平面的法向量.
【小问2详解】
.
设与平面所成角为，与的夹角为.
则.
，，.
所以.
则.
【小问3详解】
设平面的法向量为，，.
由，即，令，则.
设二面角为，与的夹角为.
则.
所以二面角的大小为.
18. 在二项式的展开式中，______.给出下列条件：
①若展开式前三项二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中项的系数最大的项.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
选择①：，即，
即，即，解得或（舍去）.
选择②：，即，解得.
展开式中二项式系数最大项为第5项和第6项，
，.
【小问2详解】
展开式的通项为，
令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为；
【小问3详解】
由展开式的通项为，
假设第项系数最大，则，解得，且，所以，即系数最大项.
19. 高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜
（1）求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率；
（2）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用超几何分布和二项分布求概率即可；
（2）计算出两人答对歌名个数的期望和方差即可.
【小问1详解】
设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为,
则可能为2，3，4，
则,
由题意知，贾某轩答对的题数满足，
故,
闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道，
故共答对3首歌名概率：.
【小问2详解】
由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下：
故期望，
方差，
且，故，,
故.
所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定，
故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动
X
2
3
4
P