江苏省连云港市东海县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省连云港市东海县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，，，三点共线，则实数的值为（ ）
A. 1B. 3C. -1D. -3
【答案】B
【解析】由题意可得，则，
可得，解得.
故选：B.
2. 已知两条平行直线与间的距离为，则的值为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】由题意，根据平行线间的距离公式，，
即，解得或.
故选：D.
3. 若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，
设该双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，
即双曲线的方程为，化为标准式方程为.
故选：A.
4. 圆：与圆：的位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】C
【解析】圆：的标准方程为，
圆心为，半径为，
圆：的标准方程为，
圆心为，半径为，
所以两圆圆心距为，
所以，
因此两圆的位置关系为相交.
故选：C.
5. 一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
【答案】B
【解析】由可得，，圆心为，半径；
由可得，圆心为，半径.
设动圆的圆心为，半径为，
由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，，
由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，，
于是，
即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离，
根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆.
故选：B.
6. 若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，由题意得，，
又的中点是，则，故，
又在上，则，故，
又，故，于是，
根据斜率公式，.
故选：A.
7. 在平面直角坐标系中，点，点满足到直线的距离为1，且，则符合要求的点的个数有（ ）
A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】由点满足到直线的距离为1，得，
即或，此时点在直线或上，由，得，则，此时点在以为圆心，2为半径的圆上，
点到直线距离为0，该直线与圆有2个公共点；
点到直线的距离，该直线与圆有1个公共点，
所以符合要求的点的个数有3个.
故选：C.
8. 已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由抛物线，则焦点，准线，
作图如下：
由，垂足为，则，
在中，，则，
由图可知当与抛物线相切时，最小，
设过与抛物线切线的切点为，则，即，
由抛物线方程，可得，求导可得，
切线斜率，可得切线方程为，
将代入上式，可得，解得，
由图可知切线的方程为，则，
此时取得最小值，则取得最大值2.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设直线过两点和，则（ ）
A. 直线的斜率为B. 直线的倾斜角为
C. 直线在轴上的截距为D. 直线在轴上的截距为
【答案】BC
【解析】根据斜率公式，，故A错误，
设直线倾斜角为，由倾斜角的定义，，且，
则，B正确，
根据点斜式方程，直线方程可写作，即，
令，则，令，则，
故直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，C正确，D错误.
故选：BC.
10. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ）
A. 当双曲线的焦点在轴上时，其实轴长为2
B. 当双曲线的焦点在轴上时，其共轭双曲线为
C. 当双曲线的焦点在轴上时，其离心率为
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为2
【答案】BD
【解析】依题意，，
当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为，
则，解得，所以双曲线方程为，
对于A，由于，所以双曲线的实轴长为，所以A错误；
对于C，由，得离心率为，所以C错误；
对于B，当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为，
则，解得，所以双曲线方程为，
其共轭双曲线中，所以双曲线方程为，所以B正确，
对于D，当焦点在y轴上时，由双曲线的对称性，不妨取焦点，
则其到渐近线的距离为，
当焦点在x轴上时，由双曲线的对称性，不妨取焦点，
则其到渐近线的距离为，所以D正确，
故选：BD.
11. 已知曲线，则（ ）
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线的周长为
C. 曲线所围成图形的面积为
D. 曲线与直线有3个公共点
【答案】ACD
【解析】曲线上任意点有：，该点关于的对称点为，又，
即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，
所以曲线关于直线对称，故A正确；
因点在曲线上，点，也都在曲线 E上，
则曲线E关于轴，轴对称，
当时，曲线的方程为，
表示以点为圆心，2为半径的圆在直线上方的半圆（含端点)，
因此，曲线是四个顶点为，，2,0，0,2的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如下图所示，
所以曲线围成的图形面积是，故C正确;
曲线的周长为，故B错误；
因为直线过点，，
且经过第一、二、四象限，
又，
当时，曲线的方程为，曲线过点0,2，2,0，
又圆心直线的距离，
结合图象可得，此时曲线与直线有个公共点；
当时，曲线的方程为，表示圆心为-1,1，半径为的半圆（不包含端点），
又-1,1到直线的距离，
所以直线与圆相切，
设过点-1,1且与直线垂直的直线方程为，
则，解得，即，
由，解得，
所以直线与有且只有一个交点，
当时，曲线的方程为，
表示圆心为，半径为的半圆（包含端点），显然与直线没有公共点；
当时，曲线的方程为，表示圆心为，半径为的半圆（不包含端点），
又点到直线的距离，
则曲线：与直线没有公共点；
综上可得：曲线与直线有个公共点，故D正确
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线过原点，且到直线的距离等于4，则直线的斜率为________.
【答案】
【解析】由题意可知直线的斜率存在，设其为，则方程为，
由题意可得，解得.
13. 已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，则________.
【答案】
【解析】由椭圆，则，，
所以，，设，
由的面积为，则，解得，
不妨设在第一象限，当时，，
解得，.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，若，且，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】由，令，则．
由双曲线的定义可知，．
由，所以，即，
得，解得．
则有，，， ．
因为，所以．
由余弦定理可得，
所以，得，
所以双曲线的离心率.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线，点，求：
（1）经过点且与直线垂直的直线方程；
（2）点关于直线的对称点.
解：（1）由直线，可得其斜率为2，
所以可得与之垂直的直线的斜率为，
所以过点与垂直的直线的方程为，即
（2）设的坐标为，则直线是线段的中垂线，
所以 解得
所以的坐标为
16.已知圆经过点，，.
（1）求圆的方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
解：（1）设所求圆的方程为，
因为点，，在所求的圆上，所以 解得
故所求圆的方程是 .
（2）当直线垂直于轴时，直线：与圆相切，满足条件；
当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
从而，解得，
因此，所求切线方程是或
17. 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程.
解：（1）因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支，
设实轴长为，焦距为，虚轴长为，
，，
所以的轨迹方程为；
（2）设直线的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，
由化简得，
则，Δ=144m2-363m2-1=36m2+36>0，
，，
，
，，或.
，，，，
所以的方程为．
18. 设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值.
解：（1）设点，由已知，所以，
又点到轴的距离为，即，即，
由点在抛物线上，
所以，解得或（舍去），
故抛物线的方程为；
（2）设点的坐标为，

则直线的方程为，①
抛物线的准线方程为，②
联立①②，可解得点的纵坐标为，由（1）知焦点，
当，即时，直线的方程为，
联立消去，可得，
即，可得点的纵坐标为，
与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为0，
当时，点的纵坐标为，
直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为，此时直线的斜率为0，当时，同理可得直线的斜率为0，
综上，直线的斜率为定值0.
19. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过两点.
（1）求的方程；
（2）过点的两直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，且，的中点为，证明：直线过定点.
解：（1）设椭圆的方程为，过，，
则，解得，所以椭圆的方程为： .
（2）法1：设线
设直线的方程为，Px1,y1，Qx2,y2，
联立，得，
由，
由韦达定理得，，
因为，则直线，
令，解得，即，同理可得，
则，即，
整理得，
，
即，所以，解得或，
当时，，过定点，舍，
当时，，过定点，
所以直线过定点
法2：设点
设，，
因为，则直线，，
联立，得，
联立，得，
则
，
所以，
，
即，
所以直线过定点.