甘肃省酒泉市瓜州县2024-2025学年高三下学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省酒泉市瓜州县2024-2025学年高三下学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版），共6页。
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
2. 满足的集合A的个数为（ ）
A. 3B. 7C. 8D. 15
3. 已知为等差数列的前项和，若，，75成等比数列，且，则数列的公差（ ）
A B. 2C. 5D. 2或5
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（ ）
A 克B. 克C. 克D. 克
7. 已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则（ ）
A. B. 0C. D. 2
8. 已知，.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，为的导函数，则（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上有极小值
D. 在区间上有两个零点
10. 某校高三年级在一次考试后，为分析学生的学习情况，从中随机抽取了200名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这200名学生中，成绩位于的学生成绩方差为13.75，成绩位于的学生成绩方差为7.75.则（ ）

A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为76.14
C. 估计该年级在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D. 估计该年级在80分及以上的学生成绩的方差为31
11. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（ ）
A. 满足平面的点P的轨迹长度为
B. 满足的点P的轨迹长度小于
C. 存在点P满足
D. 存在点P满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知单位向量，，满足，则________.
13. 某校举办一年一度的田径运动会，其中田赛含跳高、跳远、三级跳远、标枪和铅球等5个项目，径赛含100米、110米栏、400米、1000米等4个项目.某班为选拔优秀运动员，在班内组织选拔赛，要求同学们积极报名参赛，每位同学田赛与径赛各至少报名1个项目，且每人至多报3个项目，则每位同学的报名方案共有________种.（用数字作答）
14. 已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角的对边分列为，已知.
（1）证明：；
（2）若点是边上一点，平分，，且的面积是面积的2倍，求.
16. 如图1所示，在平行四边形EBCD中，，垂足为，，将沿折到的位置，使得二面角的大小为，如图2所示，点为棱的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）证明：；
（3）若点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
17. 甲乙两人轮流投掷质地均匀骰子，第一轮甲先后投掷两次，接着乙先后投掷两次，依此轮流每人连续投掷两次.
（1）甲先后投掷两次，在第一次掷出偶数点的条件下，求甲两次掷出的点数之和大于6的概率；
（2）若第一轮甲连续两次掷出的点数均为偶数，则甲获胜.同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到有人连续两次掷出的点数均为偶数，则此人获胜且比赛结束.求甲获胜的概率.（注：若，当时，看作0）
18. 已知点，是圆与椭圆公共点，且点M，N和椭圆的一个焦点相连构成一个等腰直角三角形.
（1）求r的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线l分别交圆O和椭圆C于A，B两点.
（i）若，求直线l的方程；
（ii）P是C上一点，直线MP斜率为m，直线NA斜率为n，，求面积的最大值.
19. 已知集合，设S的所有元素按一定顺序排列得到数列和.若X和Y满足，则称X和Y关于S封闭.
（1）若，，写出两个不同的数列Y，使得X和Y关于S封闭；
（2）已知数列，和Z关于S封闭.
（i）若随机变量服从，，求；
（ii）证明：存在不同于X的数列Y，使得Y和Z关于S封闭.
（参考公式：）