北京市第五十中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 （原卷版+解析版）

这是一份北京市第五十中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 （原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了本试卷分为试题、答题卡两部分， 已知函数，则的值为， 曲线在处的切线如图所示，则， 曲线上的点到直线的最短距离是， 已知函数，有如下3个结论等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.认真填写所在班级、姓名、教育ID.准确粘贴条形码.
3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 如图所示，从甲地到乙地有条公路可走，从乙地到丙地有条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有条水路可走．则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
2. 某物体做自由落体运动的位移，，若，则是该物体（ ）
A. 从1s到这段时间的平均速度B. 从0s到1s这段时间的平均速度
C. 在t＝1s这一时刻的瞬时速度D. 在这一时刻的瞬时速度
3. 函数的导数为（ ）
A. B. C. D.
4. 某大学四名学生利用暑假到学校实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（ ）
A. 9种B. 13种C. 64种D. 81种
5. 已知函数，则的值为（ ）
A. 0B. C. D.
6. 已知函数在处可导，是函数在点处取得极值的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 曲线在处的切线如图所示，则（ ）
A. 0B. C. D.
8. 为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在两个时间段内，甲血管中药物浓度平均变化率相同.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③④C. ②③D. ①③
9. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，有如下3个结论：
①当时，在区间上单调递减；
②当时，有两个极值点；
③当时，有最大值.
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若，则________．
12. 的展开式中的常数项为____________．（用数字作答）
13. 在复平面内，复数，则的虚部是__________．
14. 将，，，，，六个字母排成一排，且，均在同侧，则不同的排法共有__________种用数字作答
15. 共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“竞争函数”进行近似估计，其解析式为（其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：
①过定点；
②在上单调递增；
③关于对称；
④取定x，外部性强度a越大，越小．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
（1）全体排成一行，其中男生必须排在一起;
（2）全体排成一行，男、女各不相邻;
（3）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边;
（4）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右顺序不变．
17. 已知函数
（1）当时，求曲线在点处曲线的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
18. 如图，多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，.
（1）求证：BF∥平面CDE；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
19. 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
20. 已知函数，，其中.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
21. 已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ；
（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式．