北京市第五十五中学高二下学期期中考试数学试卷（原卷版）-A4

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这是一份北京市第五十五中学高二下学期期中考试数学试卷（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
高二数学
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知函数，当自变量x由0变到1时函数的平均变化率为（）
A. 0B. 2C. 3D. 4
2. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（）
A. 12种B. 7种C. 4种D. 3种
3. 一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其速度（单位：m/s）为（）
A B. C. 0D. 2
4. 在某次考试中，要安排第一天五门学科的考试顺序，这五门学科分别是语文、物理、政治、地理、化学，在已知第一门考语文的条件下，安排第二门考物理的概率是（）
A. B. C. D.
5. 我校高二年级4名学生参加东城区组织的“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，现有“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个竞赛项目，每人限报其中的一个项目，则不同的报名方法总数为（）
A. 24B. 36C. 81D. 256
6. 函数在区间上最小值是（）
A. B. C. D.
7. 已知函数在区间上单调递增，则a取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 已知，则等于（）
A. 32B. C. 64D.
9. 学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为p；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．已知王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.5，则p的值为（）
A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3
10. 设的定义域为，若对任意实数，存在实数，，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 已知函数，则=______．
12. 在的展开式中，的系数是______．（用数字作答）
13. 志愿服务小组共8人，其中男生5人、女生3人，现从中选出3名男生和2名女生参加某项志愿服务工作，则不同的选法总数为______．（用数字作答）
14. 现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），如果必修第一册与必修第二册相邻，则不同的放法共有______种；如果必修第一册与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必修第三册不相邻，则不同的放法共有______种．（用数字作答）
15. 已知关于x的不等式恒成立，给出下列四个结论：
①当时，b的最大值为0；
②当时，a的最小值为e；
③在所有符合题意的a，b中，的最大值为e；
④在所有符合题意的a，b中，的最小值为．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求函数的解析表达式；
（2）求函数极值.
17. A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人．
（1）求选出的2人来自不同家庭的概率；
（2）在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率；
（3）若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率．
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，，，分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：平面平面；
条件②：．
19. 已知点为椭圆E：的右端点，椭圆E的离心率为，不经过点A的直线l：与椭圆交于B、C两点，直线AB、AC分别与y轴交于M、N两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如果线段MN的中点的纵坐标等于，那么直线l是否经过定点？如果是，求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由．
20. 设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：区间内单调递增；
（3）若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围．
21. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象．现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
（1）分别求和的导函数；
（2）分别求和的单调区间；
（3）如果对任意，恒成立，求实数a的取值范围．