河南省商丘市部分学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份河南省商丘市部分学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量与共线，则实数（ ）
A. -9B. -3C. 3D. 1
【答案】A
【解析】因为向量与共线，所以，解得.
故选：A.
2. 某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范，生产成本逐年降低，该公司对2011年至2023年的生产成本（万元）进行统计，根据统计数据作出如下散点图：

由此散点图，判断下列四个经验回归方程类型中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本与时间变量的经验回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据图中散点图可知，散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的周围，
而对于A选项是“抛物线型”的拟合函数，且是增加的；
B选项是“直线型”的拟合函数，且是增加的；
D选项是“幂函数型”的拟合函数，且是增加的，
只有C选项的拟合函数符合题意.
故选：C
3. 已知是等差数列的前项和，且，则的公差（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】因为,
所以,
所以.
故选：C.
4. 已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，对于椭圆，
焦点为和，离心率为.
设双曲线的标准方程为，
又双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1，
所以双曲线的离心率为，即，
又，所以，，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B
5. 已知为第三象限角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为为第三象限角，
所以，，
则.
故选：D.
6. 已知是虚数单位，集合，则中的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 0D. 无数个
【答案】B
【解析】根据复数的几何意义得
,
圆心
圆心
又因为,,
两圆相交有两个交点，则中的元素个数为2.
故选：B.
7. 已知函数在处取得极小值1，则在区间上的最大值为（ ）
A.2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】，
因为函数在处取得极小值1，
所以，解得，
可得，且，解得，
，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，，
，，
则在区间上的最大值为6.
故选：C.
8. 在三棱锥中，，则与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】中，，
由余弦定理，有，
为中点，连接，
由，有，
，平面，则有平面，
平面，所以平面平面，
平面平面，作，垂足为，
平面，得平面，则与平面所成角为，
，，则有，得，
则.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某篮球队员进行投篮练习，根据历史数据可知，该队员每次投篮的命中率均为，若该队员投篮4次，投进球的个数记为，且，则（ ）
A. B.
C. D. 至少进1个球的概率为0.9919
【答案】ABD
【解析】由题意知，，则，解得，
所以，
，
所以至少进1个球的概率为.
故选：ABD
10. 已知的展开式的第2项与第3项系数的和为，则（ ）
A. B. 展开式的各项系数的和为
C. 展开式的各二项式系数的和为32D. 展开式的常数项为
【答案】AD
【解析】展开式的通项为，
且，
展开式的第2项与第3项系数的和为，则有，
由解得，A选项正确；
令，展开式的各项系数和为，B选项错误；
展开式的二项式系数和为，C选项错误；
令，得，则的展开式的常数项为，D选项正确.
故选：AD.
11. 已知关于的不等式恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】①当时，恒成立，则，
②当时，则，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递增，
所以,
所以；
③当时，则，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的图象关于点中心对称，则______．
【答案】
【解析】函数，
因为 图象关于点中心对称，
所以，对恒成立，
即 ，对恒成立，
即，对恒成立，
则，解得，
故答案为：-1
13. 某职业技术学校组织6名学生到3家工厂实习，每家工厂至少去1人，至多去3人，且每名学生只能去1家工厂，则不同的分配方法共有______种．（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意，人分成组有和两种分法，
当按分组时，则不同的分配方法有种，
当按分组时，则不同的分配方法有种，
综上，不同的分配方法共有种.故答案为：.
14. 已知的内角的对边分别为，且为锐角三角形，，则面积的取值范围为______．
【答案】
【解析】由，，则，
即，又，
又，所以.
由正弦定理得，
所以
，
又，，，所以，
则，得，所以，
所以.
即的面积的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在数列中，已知．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）由题意知，，
两边同除以，得，
，
，
则，
根据等比数列的定义知，是首项为3，公比为3的等比数列，
，；
（2）由（1）知，，
，①
，②
①②，得
，
．
16. 某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为，乙产品的优质品率为．
（1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；
（2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件产品中优质品的件数记为，求的分布列和数学期望．
解：（1）由分层随机抽样方法知，抽取的容量为10的样本中，甲产品有件，乙产品有件，
从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，不同抽取方法的种数为，其中至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为，
至少抽到2件乙产品的概率为．
（2）由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有件优质品，有件不是优质品，乙产品中有件优质品，有件不是优质品，则的所有可能取值为1，2，3，4．
，，
，，
的分布列为
．
17. 如图,在三棱柱中,平面平面
，分别为棱中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
解：（1）如图，连接，，设，连接．
由三棱柱的结构特征及，分别是棱，的中点，可知四边形为平行四边形，则为的中点，又为的中点，，
平面，平面，平面．
（2），，，.
又平面平面，平面，平面平面，
平面，又平面，．
以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，．
由于平面就是坐标平面，
所以它的一个法向量可以为．
设平面的法向量为，
则
令，得，
平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知是抛物线的焦点，纵坐标为的点在上，且，是上两点，直线不与轴垂直，且直线关于轴对称．
（1）求的方程；
（2）求证：直线过定点；
（3）求的取值范围．
解：（1）由题知，点的横坐标为，
根据抛物线的定义知，，
解得或4（舍去），
的方程为．
（2）由（1）知．
设，，直线的方程为，
代入，整理得，
则，，．
直线，关于轴对称，
，
，
，，
直线过定点．
（3）由（2）知，，，，
，
又在时单调递增，
，
的取值范围为．
19. 已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若函数恰有2个零点，求的取值范围．
解：（1）由已知，得的定义域为，
，
若，则当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减；
若，则，当或时，，
当时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
（2）由题知，，
恰有2个零点，方程恰有2个正实数解，
即方程恰有2个正实数解，
即方程恰有2个正实数解．
设，即方程恰有2个正实数解，
显然在上单调递增，
，即方程恰有2个正实数解．
设，则恰有2个零点，
，
若，则，
区间上单调递减，至多有1个零点，不符合题意；
若，当时，，当时，，
区间上单调递增，在区间上单调递减，
要使函数恰有2个零点，
则，
，即．
当时，
，
存在，使得，
，
设，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，故，
即，当且仅当时取等号；由于，故，
设，
则当时，，
在区间上单调递增，
，
存在，使得，
当时，恰有2个零点，
实数的取值范围为．1
2
3
4