河南省商丘市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

这是一份河南省商丘市2024-2025学年高二上学期期末数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知直线，点在上，点在上，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章第2节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A.10 B.9 C.8 D.7
3.若点在圆外，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4.在等比数列中，若，则（ ）
A.1 B. C. D.
5.已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A.15 B.20 C. D.
6.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（ ）
A.9 B.6 C.4 D.3
7.已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最大值为（ ）
A.23 B.22 C.21 D.20
8.椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线，点在上，点在上，则（ ）
A.的最小值为
B.原点到的距离的最大值为
C.的充要条件为
D.的充要条件为或
10.已知数列的前项和为，下列各条件能推出数列一定为等比数列的是（ ）
A. B.
C. D.且
11.在正方体中，，则（ ）
A.若，则点的轨迹为线段
B.若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段
C.若，则三棱锥的体积为定值
D.若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则__________.
13.已知，若，则的值为__________.
14.已知为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于一条渐近线的直线交的右支于点，若，则的离心率__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数，且.
（1）求的值；
（2）求函数的图像在点处的切线方程.
16.（本小题满分15分）
（1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
17.（本小题满分15分）
已知抛物线的焦点为，点（其中）在抛物线上，.
（1）求和的值；
（2）为坐标原点，过点的直线与抛物线交于另一点.求直线的方程.
18.（本小题满分17分）
如图1，在平行四边形中，，将沿折起到位置，使得平面平面，如图2.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）
在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列.
（1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
（2）已知二阶等差数列满足.
①求数列的通项公式；
②若，记的前项和为，证明：.
2024~2025学年度高二上学期期末联考试卷·数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 由题意，抛物线的标准方程为，所以抛物线的准线方程为.故选B.
2.A ，则.故选A.
3.C 由题意得解得.故选C.
4.B 由，得，所以.故选B.
5.A 设圆心到直线的距离为到直线的距离为，又圆心坐标为，所以，又半径为，则当最大时，，此时的面积也最大，最大值为.故选A.
6.D 因为平面，平面，平面均与直线垂直，所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同，且互不相等，故共有3个不同的值.故选D.
7.C 设公差为，由，知，即，所以公差.又，所以使得成立的正整数的最大值为21.故选C.
8.D 由题知“斜椭圆”的中心为坐标原点，由椭圆的对称性得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，由基本不等式，得，故，当且仅当时，成立，当且仅当时，成立，所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，所以椭圆的离心率为.故选D.
9.BCD 当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误；易知过定点，当垂直于定点与原点的连线时，原点到的距离最大，最大距离为，故B正确；的充要条件为，即，故C正确；的充要条件为且，即或，故D正确.故选BCD.
10.ACD 对于A，由等比数列的定义，知是等比数列；对于满足，但不是等比数列；对于C，可得，是公比为1的等比数列；对于D，由且，可得是等比数列.故选ACD.
11.BCD 若，因为，则点与三点共线，故点的轨迹为线段，故A错误；若，则，故点的轨迹为连接的中点和的中点的线段，故B正确；若，则点在线段上，易知平面，且，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；若，点的轨迹为连接和的中点的线段，过作，垂足为，易证平面，连接，则与平面所成的角为，所以，所以当时，取得最大值为，故D正确.故选BCD.
12.6 ，由导数的概念可知.
13.5 由，可得存在实数，使得，
则解得所以.
14. 由题意知，点到渐近线的距离为，所以，因为，且，所以，所以，又，所以.在中，由，即，得，因为，所以，在中，，即，所以，所以，即.
15.解：（1）由，得，
又，所以，解得.
（2）由，得，所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即.
16.解：（1）设椭圆的方程为，则，
所以，
由题意知椭圆的半焦距，
所以，
故所求椭圆的标准方程为.
（2）设所求双曲线的方程为，
又点在双曲线上，所以，
所以，
故所求双曲线的标准方程为.
17.解：（1）由抛物线的定义及，知，解得.
将点的坐标代入抛物线的方程，得，
又，所以，
故的值为的值为4.
（2）法一：设点的坐标为，
因为点的坐标为，
所以，
解得或（舍去）.
所以点的坐标为，所以直线的方程为.
法二：由题知的斜率不为零，设直线的方程为，整理得.
设点的坐标分别为，
联立方程得，
所以.
因为，所以，解得或.
当时，直线的方程为，经过原点不合题意；
当时，直线的方程为，满足题意，
故直线的方程为.
18.（1）证明：在中，因为，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以.
如图1所示：在中，作于点，因为平面平面，平面
平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又平面，所以平面.
（2）解：方法一：如图2所示：
存在点，当是的中点时，二面角的大小为.
证明如下：由（1）知平面，所以且，
所以，又因为是的中点，所以，同理可得：，
取的中点为的中点为，连接，
因为，所以是二面角的平面角，
又因为，所以.此时.
方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图3所示的空间直角坐
标系，则.
假设点存在，设，
则，
设平面的一个法向量为，
则取，可得，
又平面的一个法向量为，
假设在线段上存在点，使得二面角的大小为，
则，解得，
所以点存在，且点是线段的中点，即.
19.（1）解：因为，所以，
令，则，
所以，即为等差数列，
所以为二阶等差数列.
（2）①解：因为为二阶等差数列，且，
所以，所以的公差为，
所以，即，
所以，
，
，
...
，
将以上个式子左，右分别相加，得，
所以，
又，满足上式，
所以.
②证明：由（1）得，
所以，
因为，所以为递增数列，
所以；
又，
所以
.
因为，所以，
所以.