河南省商丘市部分学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

大联考

2022—2023学年（下）高二年级期中考试

数 学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A．    B．

C．    D．

2．已知随机变量X的分布列为

则实数q=（    ）

A．    B．    C．    D．

3．冬季某服装店销售a，b，c，d，e五种不同款式的羽绒服，甲、乙、丙三人每人任意选择一款羽绒服购买，则不同的购买选择有（    ）

A．15种   B．60种   C．125种   D．243种

4．已知圆与直线相切，则实数（    ）

A．5    B．10    C．25    D．100

5．已知函数（其中是的导函数），则（    ）

A．   B．   C．   D．

6．如图，在三棱锥中，，，若，，，则（    ）

A．    B．

C．    D．

7．若定义域为的函数及其导函数满足，则（    ）

A．   B．

C．   D．

8．有包含甲在内的4名同学参加演讲比赛，由7名评委进行不记名投票，每名评委投1票，获得票数最多且领先第二名不少于2票的同学可直接获得冠军，则甲直接获得冠军的投票结果有（    ）

A．13种    B．16种    C．17种   D．20种

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则      B．若，则A，B相互独立

C．若A与B相互独立，则    D．若A与B相互独立，则

10．已知数列是等差数列，其前n项和为．若，，则（    ）

A．   B．    C．   D．

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一动点，则下列结论中正确的是（    ）

A．的面积的最大值为

B．以线段为直径的圆与直线相切

C．恒成立

D．若，，为一个直角三角形的三个顶点，则点P的纵坐标为

12．已知函数，且，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知等差数列的公差为1，且，则______．

14．已知，则______．（用数字作答）

15．若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是______．

16．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（）与轴交于点，若为右支上的一点，且，则的离心率的取值范围为______．

四．解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知函数在处取得极值．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

18．（12分）

已知数列满足且．

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）记，若数列满足，求的值．

19．（12分）

如图，在直三棱柱中，，是面积为4的正方形，且与平面所成的角为．

（Ⅰ）求三棱柱的体积；

（Ⅱ）若为棱上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．

20．（12分）

已知椭圆的上、下焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点是上任意一点，．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）过点的直线与交于，两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．

21．（12分）

某外国语高中三个年级的学生的人数相同，现按人数比例用分层随机抽样的方法从三个年级中随机抽取90位同学，调查他们外语词汇量（单位：个）掌握情况，统计结果如下：

（Ⅰ）求，，的值．

（Ⅱ）在这90份样本数据中，从词汇量位于区间的高三学生中随机抽取2人，记抽取的这2人词汇量位于区间的人数为，求的分布列与数学期望．

（Ⅲ）以样本数据中词汇量位于各区间的频率作为学生词汇量位于该区间的概率，假设该学校有的学生外语选修日语，且选修日语的学生中有的人词汇量位于区间．现从该学校任选一位学生，若已知此学生词汇量位于区间，求他外语选修的是日语的概率．

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（1）若方程有两个不同的实数根，求的取值范围．

2022-2023学年（下）高二年级期中考试

数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．A   2．D   3．C   4．D   5．B                6．C

7．A   8．C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．BD   10．AC   11．BCD  2．ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．n-1      14．252

15．     16．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解析（Ⅰ），

因为在处取得极值-1，

所以

解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

令，解得或．

当x变化时，，的变化情况如下表所示：

所以在区间上的最大值为11，最小值为．

18．解析（Ⅰ）因为，所以．

联立解得

所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以．

所以．

由得，

整理得，

解得或（舍去），

故．

19．解析（Ⅰ）在直三棱柱中，，，，

所以平面，

所以是AB与平面，所成的角，即．

因为是面积为4的正方形，

所以AB=2，则，，

所以三棱柱的体积为．

（Ⅱ）以C为坐标原点，CB，CA，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，．

设平面的法向量为，则

得

取z=1，；

设平面的法向量为，则

得

取，得．

设平面与平面夹角的大小为，则

．

20．解析（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为．

因为直线，的斜率之积为，

所以，解得c=1．

因为，

所以，解得，

则．

所以C的方程为．

（Ⅱ）由已知得过点且满足题意的直线l的斜率存在，设，

联立消去y得，

令，

解得．

设，，则，，

因为以DE为直径的圆经过点O，所以，即，，

所以，

即，

所以，

整理可得，

解得，满足，

所以直线l的方程为．

21．解析（Ⅰ）由题意得，解得

（Ⅱ）由题意可知，词汇量位于区间的高三学生有12人，位于区间的高三学生有8人，则X的所有可能取值为0，1，2，

，，，

所以随机变量X的概率分布列为：

所以．

（Ⅲ）由题知，词汇量位于区间的概率为，

从该学校任选一位学生，外语选修日语且词汇量位于区间的概率为，根据条件概率的公式，在已知此学生词汇量位于区间的条件下，他外语选修的是日语的概率为．

22．解析（Ⅰ）由条件知，，

当时，在上恒成立，所以在单调递增．

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）解法一：由方程得，“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”．

，．

①当时，，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；

②当时，由得，

当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减．

（ⅰ）若，则，最多只有一个零点；

（ⅱ）若，因为，且，，

所以在区间内有一个零点．

令函数，则，．

当时，，在上是增函数；

当时，，在上是减函数。

所以，故．

所以，又，

所以在区间内有一个零点．

综上可知：当时，有两个零点，即方程有两个不同的实数根，

故a的取值范围为．

解法二：由方程得．

设函数，则，．

令，得，设，

则当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值也就是最大值为，

且当，x→0时，，当时，，且．

方程有两个不同的实数根，转化为直线与的图象有两个交点，

结合函数图象可知a的取值范围是．