河南省商丘市部分学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份河南省商丘市部分学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共20页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由直线的方向向量得直线斜率，再由点斜式即可求解.
【详解】因为直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为即.
故选：A.
2. 函数从到的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义直接进行计算即可求解.
【详解】由题得所求平均变化率为.
故选：C.
3. 已知直线与平行，则（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线平行的充要条件直接计算即可求解.
【详解】因为直线与平行，
所以.
故选：B
4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由题设结合等差数列通项公式和前n项和公式列出关于的方程组即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
则，
故选：C
5. 在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由几何体结构特征结合向量的加减法法则逐步转化计算即可.
【详解】由题意得,
.
故选：D
6. 已知函数，数列满足，，则前2025项和为（ ）
A. 2025B. 2027C. 5060D. 5062
【答案】D
【解析】
【分析】先求导，由导函数结合题设得，接着由依次求出接下来的项得数列具有周期性，再利用周期性即可求解.
【详解】因，所以函数定义域为，且，
所以，
所以，则，
所以数列是周期为2的数列，
所以的前2025项和为.
故选：D
7. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可.
【详解】由题得，因为函数在处取得极小值，
所以或，
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极小值，符合题意，
所以函数在处取得极大值为；
当时，，，
所以当时，，当时，，
所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上，的极大值为4.
故选：A
8. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上位于第一象限的点，且，直线与交于A，两点，且（为坐标原点），则以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由焦半径公式求出、与p的关系，接着联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和求出p即可求出圆心和半径得解.
【详解】设，则，
所以，
联立，设，
则，，
因为，所以，
故，则，抛物线的准线方程为，
所以点与抛物线的准线距离为3，
以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的半径为3，
所以以为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的方程为.
故选：B
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用韦达定理和求出p.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点，，若在直线上存在点满足，则的取值可能为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先由得到点在以为直径的圆上，从而将题设条件转化为该圆与直线l有交点，进而得到圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解.
【详解】因为点，，且点满足，
所以，所以点在以为直径的圆上，
以为直径的圆圆心是，半径为1，
因为点在直线上，
所以该圆与直线l有交点，所以圆心到直线l的距离，
两边平方整理得，解得，
故选：BCD
10. 已知数列的前项和为，则（ ）
A.
B. 数列的前项和为
C. 数列的前项和的最小值为
D. 数列的前项和小于
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据前项和与通项公式的关系，结合等差数列的前项和公式、等差数列的性质、裂项相消法逐一判断即可.
【详解】因为的前项和为，
所以有，显然，
显然当时,有，
两个式子相减，得，
化简，得，显然适合该通项公式，因此选项A正确；
因为，所以数列为等差数列，
于是数列的前项和为，所以选项B不正确；
令，由，从第五项起，该数列每一项为正数，
因此数列的前项和的最小值为，因此选项C正确；
，
所以数列的前项和为，
因此选项D正确，
故选：ACD
11. 如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点，点在棱上运动（含端点，），则（ ）
A. 存在点，使得
B. 四面体体积的最小值为
C. 异面直线与所成的角总大于
D. 当点从向运动时，二面角先变大再变小
【答案】ABC
【解析】
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，求出向量，计算即可判断A；由计算四面体体积即可判断B；计算即可分析判断C；依次求出二面角两半平面的法向量，接着计算二面角的平面角余弦值为，分析余弦值的变化情况即可判断D.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
对于A，，
所以当，即与点重合时，，故A正确；
对于B，，
所以，
所以当即与点重合时，四面体体积取得最小值为，故B正确；
对于C，异面直线与所成的角的余弦值为，
因为，
，
所以，
所以，即异面直线与所成的角总大于，故C正确；
对于D，由长方体性质可得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，
所以由图二面角的平面角余弦值为，
因为，所以单调递增，
所以单调递增，所以单调递减，
因为点从向运动时，x在减小，
所以在增大，即二面角的平面角余弦值在增大，
所以点从向运动时，二面角在变小，故D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点睛：判断二面角的变化情况的关键是明确通过二面角的的平面角的余弦值的变化情况可判断，进而求解二面角的平面角余弦值即可分析判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线与函数的图象相切，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先由题意求出导函数和，设切点为，根据导数几何意义、切线斜率和切点既在切线上又在曲线上列出方程组即可计算求解.
【详解】由题为增函数，且，设切点为，
则，故解得.
故答案为：.
13. 在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求出三棱柱的高，再利用体积公式即可求得答案。
【详解】设正三棱柱的高为h，以A为坐标原点，在底面内过点A作的垂线为x轴，
以所在直线为轴，建立空间直角标系，
则，
则，
因为异面直线与所成角的余弦值为，
故，
由于，即，解得，
故该正三棱柱的体积为，
故答案为：
14. 已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，设，表示出，，再由三角形的中位线定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化简可求出离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，，
因为，所以为的中点，
因为为的中点，所以‖，，
所以，
设，则，，
因为，所以，
所以，
在中，由，得，
化简整理得，解得或，
当时，，不合题意，舍去，
所以，
所以，
在中，由，得，
则，得，
即的离心率为.
故答案：
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列的公比，，．
（1）求；
（2）设，若，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设结合等比数列通项公式列出等比数列首项和公比的方程组即可求解；
（2）先求出的通项公式，再由等差数列前项和公式结合题设列出等量关系式计算即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
解得或（舍去）.
16. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且当时，恒成立，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出 ，再求出 与，然后利用点斜式求出切线方程；
（2）先求出 ，根据导函数的符号判断函数 的单调性，求出 的最小值，再根据 求出 的最大值即可.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
【小问2详解】
因为 ，
所以当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 .
因为当 时， 恒成立，
所以 ，因为，所以
可得 ，所以 的最大值为 .
17. 已知数列中，，．
（1）求，；
（2）证明：为等差数列；
（3）求的前项和．
【答案】（1）； （2）证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由题设递推公式直接计算即可；
（2）由题设递推公式变形得，再由等差数列定义即可得证；
（3）由等差数列通项公式求出数列的通项公式得的通项公式，再由错位相减法结合等比公式前n项和即可计算求解.
【小问1详解】
由题意可得，
所以由.
【小问2详解】
证明：因为，所以，，
所以数列为首项为，公差为的等差数列.
【小问3详解】
由（2）得，所以，
所以的前项和，
所以，
所以，
所以.
18. 如图，是圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，点在下底面圆周上，，，，点是的重心，点在线段上，且．
（1）求四面体外接球的表面积；
（2）证明：平面；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得平面，且外接圆的直径为，设四面体外接球的半径为，则，即可求出外接球的表面积；
（2）连接并延长交于点，连接，即可得到，从而得到，即可得证；
（3）过点作母线，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
因为是圆柱一条母线，所以平面，
又是下底面圆的直径，点在下底面圆周上，所以，
因为，，，所以，
即外接圆的直径为，
设四面体外接球的半径为，则，即，
所以四面体外接球的表面积；
【小问2详解】
连接并延长交于点，连接，
因为点是的重心，所以，又，点在线段上，且，
所以，即，即，所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问3详解】
过点作母线，则平面，又，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取
设平面的法向量为，则，取，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
19. 已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，点在上，在第一象限，在第二象限，，且．
（1）求的方程；
（2）求四边形面积的最小值；
（3）若直线与交于两点，的中垂线与轴交于点，证明：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合已知等式，由双曲线定义待定，再利用离心率待定即得方程；
（2）由图形对称性转化，再结合割补法转化，再利用韦达定理代入化简，利用基本不等式求最值可得；
（3）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示中点坐标，求得中垂线方程则可得坐标，再利用两点间距离与弦长公式证明即得.
【小问1详解】
由已知得，
即，．
离心率，，
的方程为．
【小问2详解】
由（1）知，且双曲线渐近线为.
设直线与交于另一点，直线与交于另一点，连接．
，由双曲线的对称性知，四边形为平行四边形，
．
由题意直线与双曲线左支交于两点，则斜率不为，
可设直线，设，
联立，整理得．
都在左支上，，
解得，
且.
.
设，则，
，
在时取得最大值，
当，即时，取得最小值，
故四边形面积的最小值为.
【小问3详解】
设的中点为，
直线过定点，
要使直线与双曲线两个不同交点，则.
将代入，整理得，
，
，
，
的中垂线方程为，
令，得，
又
，
.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于应用对称性，将不易表达的四边形面积转化为平行四边形面积的一半，再转化为的面积求解可得.