甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（ ）
A．2B．1C．－1D．－2
2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知空间向量， 且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．D．
6．平行六面体的所有棱长均为1，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的导函数图象如图所示，则（ ）
A．的解集为B．函数有两个极值点
C．函数的单调递减区间为D．是函数的极小值点
8．已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为
A．B．或C．D．或
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数的单调增区间为
C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4m/s
D．，则
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量满足， 则
B．在正方体中，必有
C．若空间向量满足，则
D．空间中，，则
11．已知函数 fx=x−3ex+a−1 ，则下列选项正确的是（ ）
A． y=fx 在 2,3 上单调递减
B． y=fx 恰有一个极大值
C．当 a>1 时， y=fx 有三个零点
D．当 a=1 时， ffx=0 有三个实数解
三、填空题（本大题共3小题）
12．设函数，若，则 ．
13．已知空间向量满足，，，，则的值为 .
14．在中，已知，则边上的中线的长是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值.
16．在平行六面体中，，，，，，N为CD的中点.
（1）求AM的长；
（2）求的余弦值.
17．如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.

(1)求证：A，E，，F四点共面；
(2)若，求x+y+z 的值.
18．如图所示，直四棱柱中，，，，，E为侧棱的中点.

(1)求证：平面BDE；
(2)求直线与平面BDE所成的角的正弦值.
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数的零点个数，并证明你的结论.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，，所以.
故选D.
2．【答案】C
【详解】点关于平面对称的点的坐标为
故选C.
3．【答案】B
【详解】作出函数在处的切线，如图所示.根据导数的几何意义及图中切线的斜率可知.

故选B.
4．【答案】D
【详解】由题意可得在上的投影向量为.
故选D.
5．【答案】B
【详解】函数的导函数为 ，
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，
且切线与直线平行，
则有 ，可得 .
故选B.
6．【答案】B
【详解】
故选B.
7．【答案】D
【详解】A. 的解集为函数的单调递减区间，为，故A错误；
B.函数只有1个变号零点，所以函数有1个极值点，故B错误；
C.当时，，所以函数的单调递减区间为，故C错误；
D.当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，故D正确.
故选D.
8．【答案】D
【详解】如图，建立如图所示空间直角坐标系，设，是的中点，则，由于，即，所以，所以的中点应在以为球心，半径为1的球面上，则该点的轨迹是以为球心的球面．该点的轨迹与三棱锥围成的几何体的体积是球体的或是该三棱锥的体积去掉球体的体积而剩余的部分的体积．由于球体的体积，三棱锥的体积是，该点的轨迹与三棱锥围成的几何体的体积是，或，应选答案D．

点睛：解答本题的难点是依据题设条件搞清楚线段的中点的轨迹的性质与性质，然后再借助空间图形的特征判断该轨迹三棱锥围成的几何体的形状，然后求其体积，从而使得问题获解．
9．【答案】CD
【分析】由基本初等函数导数运算可判断A；由函数定义域可判断B；由导数的物理意义可判断C；由复合函数求导法则可判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，函数定义域为正实数，故B错误；
对于C，，当时，，故C正确；
对于D，若，则.
故选CD.
10．【答案】BC
【详解】对于A，若空间向量满足，则，这显然是错误的，因为向量相等要满足大小相等，方向相同；
对于B，在正方体中，必有，这显然是正确的，因为他们的长度相等，两直线平行，并且方向相同；
对于C，若空间向量满足，则，这显然是正确的，因为向量的相等也具有传递性；
对于D，在空间中，，则，当时，因为任何向量与都是共线向量，所以是不一定成立的，故D错误；
故选BC.
11．【答案】ABD
【详解】对于A：当 2