甘肃省甘南州卓尼县柳林中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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考试模块：必修第二册
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3、考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：湘教版必修第二册.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. 2 C. 1 D.
3. 已知事件 与事件 相互独立，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知 的内角 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 （ ）
A B. C. D.
5. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A 若 ，则 或
B. 若 ，则
C. 若 ，则 与 平行或异面
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D. 若 ，则 与 相交或平行
6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为 1 和 3，若该正四棱台的体积为 ，则侧棱长为（ ）
A. B. 2 C. D.
7. 已知圆锥的顶点为 ，母线长为 2，轴截面为 ，若 为底面圆周上异于 ， 的
一点，且二面角 的大小为 ，则 的面积为（ ）
A. 4 B. 2 C. D.
8. 在等腰 中， 为 上一点，且 ，记 的外心为 ，若
，则 （ ）
A. 9 B. 12 C. D. 27
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有 8 个大小形状相同的小球，并标注 这八个数字，
抽奖者从中任取一个球，事件 A 表示“取出球的编号为奇数”，事件 B 表示“取出球的编号为偶数”，事
件 C 表示“取出球的编号大于 5”，事件 D 表示“取出球的编号小于 5”，则（ ）
A. 事件 A 与事件 C 不互斥 B. 事件 A 与事件 B 互为对立事件
C. 事件 B 与事件 C 互斥 D. 事件 C 与事件 D 互为对立事件
10. 已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 或
B. 若 ，则
C. 若 的夹角与 的夹角相等，则
D. 若 ，则 在 上的投影向量为
11. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是边 的中点，
过点 A，B，D 作截面交 于点 E，则（ ）
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A. B. 平面 平面
C. 平面 D. 点 到截面 的距离为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在复平面内，若复数 对应的点的坐标为 ，则 __________.
13. 如图，点 是海上的一个钻井平台，甲船､乙船､丙船分别位于点 三个位置，甲船在乙船的正北
方向，丙船在乙船的正东方向，且 海里， 海里，若 海里，则
丙船到钻井平台的距离为__________海里．
14. 如图，在 中， ， 为 的中点．将 沿 翻折，使点 移动至点
，在翻折过程中，当 时，三棱锥 的内切球的表面积为_________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 为坐标原点， ， ， .
（1）若 三点共线，求实数 的值；
（2）若点 满足 ，求 的最小值.
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16 已知角 满足 ．
（1）求 和 值；
（2）求 的值．
17. 已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 ．
（1）求角 大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
18. 为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑消防安全及设施完好有效，督促物业服务
单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消防救援大队对辖区内一小区进行消防安全
检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从 A 类的 5 个问
题中任选两题作答，若两题都答对，则得 20 分，否则得 0 分；第二轮从 B 类的 4 个问题中任选两题依次作
答，每答对一题得 20 分，答错得 0 分．若两轮总得分不低于 40 分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知
在 A 类的 5 个问题中，甲只能答对 4 个问题，在 B 类的 4 个问题中，甲答对的概率都为 0.4；乙答对每个问
题的概率都为 0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
（1）求甲在第一轮比赛中得 0 分的概率；
（2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
19. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是平行四边形， ， 为
的中点， ， ．
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求二面角 的大小．
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