还剩5页未读，
继续阅读
2023-2024学年甘肃省甘南州卓尼县柳林中学高一（下）期末数学试卷（含答案）
展开
这是一份2023-2024学年甘肃省甘南州卓尼县柳林中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足(i+1)⋅z=4−3i，则|z|=( )
A. 52B. 5 22C. 252D. 102
2.tan38°+tan22°1−tan38∘tan22∘=( )
A. 3B. 2C. 1D. 22
3.已知A，B是相互独立事件，且P(A)=0.3，P(B−)=0.4，则P(AB)=( )
A. 0.9B. 0.12C. 0.18D. 0.7
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=ccsA，则C=( )
A. π3B. π6C. π2D. π4
5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A. 若m⊥n，m⊥α，则n//α或n⊂α
B. 若m⊥β，n⊥β，则n//m
C. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面
D. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交或平行
6.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为13 23，则侧棱长为( )
A. 2B. 2C. 2 53D. 103
7.已知圆锥的顶点为P，母线长为2，轴截面为△PAB，∠APB=120°，若C为底面圆周上异于A，B的一点，且二面角P−AC−B的大小为π4，则△PAC的面积为( )
A. 2B. 3C. 2 2D. 2 3
8.在等腰△ABC中，AB=AC=6，D为AC上一点，且AD=2DC，记△ABC的外心为O，若BO=λOD，则λAB⋅AC=( )
A. 9B. 12C. 272D. 27
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注1～8这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则( )
A. 事件A与事件C不互斥B. 事件A与事件B互为对立事件
C. 事件B与事件C互斥D. 事件C与事件D互为对立事件
10.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb(t∈R)，则下列结论正确的是( )
A. 若|a|=|c|，则t=0或t=−6
B. 若a⊥c，则t=−3
C. 若a,c的夹角与b,c的夹角相等，则t=5
D. 若t=−1，则c在a上的投影向量为(22 525,44 525)
11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，AA1= 2，D是边B1C1的中点，过点A，B，D作截面交A1C1于点E，则( )
A. DE//AB
B. 平面AB1C⊥平面ABDE
C. DE//平面AB1C
D. 点C1到截面ABDE的距离为 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，若复数z对应的点的坐标为(1,−2)，则zi−i= ______．
13.如图，点P是海上的一个钻井平台，甲船、乙船、丙船分别位于点A，B，C三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且AB=20 3海里，BC=80海里，若∠APB=120°，AP=20海里，则丙船到钻井平台的距离为______海里．
14.如图，在Rt△ABC中，AB=BC= 2，D为AC的中点.将△BCD沿BD翻折，使点C移动至点E，在翻折过程中，当∠ADE=π2时，三棱锥E−ABD的内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知O为坐标原点，A(4,0)，B(1,m)，C(0,3)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若点M满足OM=xOA+(2−x)OC，求|OM|的最小值．
16.(本小题15分)
已知角α满足0<α<π，tan(π+α)=−12．
(1)求sinα和cs2α的值；
(2)求sin(2α+π3)+cs(π6−2α)的值．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且csC=2a−c2b．
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，sinC= 33，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知在A类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在B类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求甲在第一轮比赛中得0分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB⊥BD，E为PD的中点，AD=2PA=2，BD= 3．
(1)求直线AE与平面PAB所成角的正弦值；
(2)求二面角E−AB−D的大小．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】−2−2i
13.【答案】20 13
14.【答案】4−2 33π
15.【答案】解：(1)因为A(4,0)，B(1,m)，C(0,3)，
所以AB=(1,m)−(4,0)=(−3,m)，AC=(0,3)−(4,0)=(−4,3)，
又A，B，C三点共线，所以AB//AC，
所以−3×3=−4m，解得m=94；
(2)因为A(4,0)，C(0,3)，
所以OA=(4,0)，OC=(0,3)，
所以OM=xOA+(2−x)OC=x(4,0)+(2−x)(0,3)=(4x,6−3x)，
所以|OM|= (4x)2+(6−3x)2= 25x2−36x+36= 25(x−1825)2+57625，
所以当x=1825时，|OM|min=245．
16.【答案】解：(1)已知角α满足0<α<π，tan(π+α)=−12，
则tanα=−12，
即sinαcsα=−12sin2α+cs2α=1，
即sinα= 55，csα=−2 55，
则cs2α=1−2sin2α=35；
(2)由(1)可得：sin2α=2sinαcsα=−45，
sin(2α+π3)+cs(π6−2α)
=2sin(2α+π3)
=sin2α+ 3cs2α
=−45+ 3×35
=3 3−45．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，csC=2a−c2b，
∴由正弦定理得csC=2sinA−sinC2sinB，∴2sinA=sinC+2sinBcsC，
又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，∴sinC=2csBsinC，
∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，∴csB=12，
∵B∈(0,π)，∴B=π3；
(2)在△ABC中，B=π3，b=3，sinC= 33，
∴由正弦定理得bsinB=csinC，∴c=bsinCsinB=2，
∴由余弦定理得csB=a2+4−94a=12，解得a=1+ 6(负值舍去)，
∴△ABC的面积为12acsinB=12×(1+ 6)×2× 32= 3+3 22．
18.【答案】解：(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，其中甲能答对的4个问题的编号为a，b，c，d，
第一轮从A类的5个问题中任选2个问题作答，则所选的2个题的情况为：
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，
其中得0分的情况有ae，be，ce，de，共4种，
∴甲在第一轮比赛中得0分的概率为P=410=0.4；
(2)甲晋级复赛分两种情况：
甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：(1−0.4)×[1−(1−0.4)2]=0.384，
甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：0.4×0.42=0.064，
∴甲晋级复赛的概率为P1=0.384+0.064=0.448．
乙晋级复赛分两种情况：
乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：0.62×[1−(1−0.6)2]=0.3024，
乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：(1−0.62)×0.62=0.2304，
∴乙晋级复赛的概率为：P2=0.3024+0.2304=0.5328，
∵P2>P1，
∴以晋级复赛的概率大小为依据，乙更容易晋级复赛．
19.【答案】解：(1)取PB的中点F，连接EF，AF，在Rt△ABD中，AB⊥BD，AD=2，BD= 3，
∴AB=1=PA，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵E，F分别为PD，PB的中点，
∴EF//BD，∴EF⊥PA，EF⊥AB，又AB∩PA=A，
∴EF⊥平面PAB，
∴直线AE与平面PAB所成角为∠EAF，
在Rt△AEF中，EF=−BD=5，AE=12PD=12× 12+22= 52，
∴sin∠EAF=EFAE= 155，
故直线AE与平面PAB所成角的正弦值为 155；
(2)取AD的中点M，连接EM，取AB的中点H，连接EH，MH，
由EM//PA，PA⊥AB，可得EM⊥AB，
∵MH//BD，AB⊥BD，
∴MH⊥AB，又EM∩MH=M，
∴AB⊥平面EMH，又EH⊂平面EMH，
∴AB⊥EH，
∴∠EHM是二面角E−AB−D的平面角，
在Rt△EHM中，MH=12BD= 32，EM=12PA=12，
∴tan∠EHM=EMHM= 33，
即∠EHM=30°，
故二面角E−AB−D的大小为30°．
1.若复数z满足(i+1)⋅z=4−3i，则|z|=( )
A. 52B. 5 22C. 252D. 102
2.tan38°+tan22°1−tan38∘tan22∘=( )
A. 3B. 2C. 1D. 22
3.已知A，B是相互独立事件，且P(A)=0.3，P(B−)=0.4，则P(AB)=( )
A. 0.9B. 0.12C. 0.18D. 0.7
4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=ccsA，则C=( )
A. π3B. π6C. π2D. π4
5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A. 若m⊥n，m⊥α，则n//α或n⊂α
B. 若m⊥β，n⊥β，则n//m
C. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面
D. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交或平行
6.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为13 23，则侧棱长为( )
A. 2B. 2C. 2 53D. 103
7.已知圆锥的顶点为P，母线长为2，轴截面为△PAB，∠APB=120°，若C为底面圆周上异于A，B的一点，且二面角P−AC−B的大小为π4，则△PAC的面积为( )
A. 2B. 3C. 2 2D. 2 3
8.在等腰△ABC中，AB=AC=6，D为AC上一点，且AD=2DC，记△ABC的外心为O，若BO=λOD，则λAB⋅AC=( )
A. 9B. 12C. 272D. 27
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注1～8这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则( )
A. 事件A与事件C不互斥B. 事件A与事件B互为对立事件
C. 事件B与事件C互斥D. 事件C与事件D互为对立事件
10.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb(t∈R)，则下列结论正确的是( )
A. 若|a|=|c|，则t=0或t=−6
B. 若a⊥c，则t=−3
C. 若a,c的夹角与b,c的夹角相等，则t=5
D. 若t=−1，则c在a上的投影向量为(22 525,44 525)
11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，AA1= 2，D是边B1C1的中点，过点A，B，D作截面交A1C1于点E，则( )
A. DE//AB
B. 平面AB1C⊥平面ABDE
C. DE//平面AB1C
D. 点C1到截面ABDE的距离为 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，若复数z对应的点的坐标为(1,−2)，则zi−i= ______．
13.如图，点P是海上的一个钻井平台，甲船、乙船、丙船分别位于点A，B，C三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且AB=20 3海里，BC=80海里，若∠APB=120°，AP=20海里，则丙船到钻井平台的距离为______海里．
14.如图，在Rt△ABC中，AB=BC= 2，D为AC的中点.将△BCD沿BD翻折，使点C移动至点E，在翻折过程中，当∠ADE=π2时，三棱锥E−ABD的内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知O为坐标原点，A(4,0)，B(1,m)，C(0,3)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若点M满足OM=xOA+(2−x)OC，求|OM|的最小值．
16.(本小题15分)
已知角α满足0<α<π，tan(π+α)=−12．
(1)求sinα和cs2α的值；
(2)求sin(2α+π3)+cs(π6−2α)的值．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且csC=2a−c2b．
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，sinC= 33，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知在A类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在B类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求甲在第一轮比赛中得0分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB⊥BD，E为PD的中点，AD=2PA=2，BD= 3．
(1)求直线AE与平面PAB所成角的正弦值；
(2)求二面角E−AB−D的大小．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】−2−2i
13.【答案】20 13
14.【答案】4−2 33π
15.【答案】解：(1)因为A(4,0)，B(1,m)，C(0,3)，
所以AB=(1,m)−(4,0)=(−3,m)，AC=(0,3)−(4,0)=(−4,3)，
又A，B，C三点共线，所以AB//AC，
所以−3×3=−4m，解得m=94；
(2)因为A(4,0)，C(0,3)，
所以OA=(4,0)，OC=(0,3)，
所以OM=xOA+(2−x)OC=x(4,0)+(2−x)(0,3)=(4x,6−3x)，
所以|OM|= (4x)2+(6−3x)2= 25x2−36x+36= 25(x−1825)2+57625，
所以当x=1825时，|OM|min=245．
16.【答案】解：(1)已知角α满足0<α<π，tan(π+α)=−12，
则tanα=−12，
即sinαcsα=−12sin2α+cs2α=1，
即sinα= 55，csα=−2 55，
则cs2α=1−2sin2α=35；
(2)由(1)可得：sin2α=2sinαcsα=−45，
sin(2α+π3)+cs(π6−2α)
=2sin(2α+π3)
=sin2α+ 3cs2α
=−45+ 3×35
=3 3−45．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，csC=2a−c2b，
∴由正弦定理得csC=2sinA−sinC2sinB，∴2sinA=sinC+2sinBcsC，
又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，∴sinC=2csBsinC，
∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，∴csB=12，
∵B∈(0,π)，∴B=π3；
(2)在△ABC中，B=π3，b=3，sinC= 33，
∴由正弦定理得bsinB=csinC，∴c=bsinCsinB=2，
∴由余弦定理得csB=a2+4−94a=12，解得a=1+ 6(负值舍去)，
∴△ABC的面积为12acsinB=12×(1+ 6)×2× 32= 3+3 22．
18.【答案】解：(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，其中甲能答对的4个问题的编号为a，b，c，d，
第一轮从A类的5个问题中任选2个问题作答，则所选的2个题的情况为：
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，
其中得0分的情况有ae，be，ce，de，共4种，
∴甲在第一轮比赛中得0分的概率为P=410=0.4；
(2)甲晋级复赛分两种情况：
甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：(1−0.4)×[1−(1−0.4)2]=0.384，
甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：0.4×0.42=0.064，
∴甲晋级复赛的概率为P1=0.384+0.064=0.448．
乙晋级复赛分两种情况：
乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：0.62×[1−(1−0.6)2]=0.3024，
乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：(1−0.62)×0.62=0.2304，
∴乙晋级复赛的概率为：P2=0.3024+0.2304=0.5328，
∵P2>P1，
∴以晋级复赛的概率大小为依据，乙更容易晋级复赛．
19.【答案】解：(1)取PB的中点F，连接EF，AF，在Rt△ABD中，AB⊥BD，AD=2，BD= 3，
∴AB=1=PA，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵E，F分别为PD，PB的中点，
∴EF//BD，∴EF⊥PA，EF⊥AB，又AB∩PA=A，
∴EF⊥平面PAB，
∴直线AE与平面PAB所成角为∠EAF，
在Rt△AEF中，EF=−BD=5，AE=12PD=12× 12+22= 52，
∴sin∠EAF=EFAE= 155，
故直线AE与平面PAB所成角的正弦值为 155；
(2)取AD的中点M，连接EM，取AB的中点H，连接EH，MH，
由EM//PA，PA⊥AB，可得EM⊥AB，
∵MH//BD，AB⊥BD，
∴MH⊥AB，又EM∩MH=M，
∴AB⊥平面EMH，又EH⊂平面EMH，
∴AB⊥EH，
∴∠EHM是二面角E−AB−D的平面角，
在Rt△EHM中，MH=12BD= 32，EM=12PA=12，
∴tan∠EHM=EMHM= 33，
即∠EHM=30°，
故二面角E−AB−D的大小为30°．
相关试卷
2023-2024学年新疆实验中学高一（下）期末数学试卷（含答案）： 这是一份2023-2024学年新疆实验中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年甘肃省兰州市皋兰一中高一（下）期末数学试卷（含答案）： 这是一份2023-2024学年甘肃省兰州市皋兰一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年甘肃省白银市靖远一中高一（下）期末数学试卷（含答案）： 这是一份2023-2024学年甘肃省白银市靖远一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
![[数学]2023_2024学年甘肃甘南卓尼县卓尼县柳林中学高一下学期期末数学试卷(原题版+解析版)](http://jx-previews-01.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/3/3/16036790/3-1722761419614/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_202)
