甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2024~2025学年高一下册4月期中考试数学试题【附解析】

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 设为虚数单位，若，则（ ）
A. B.
C D.
3. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 若复数z满足，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
5. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数在上有且仅有2个零点，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，以下说法正确的是（ ）
A. z的实部是3B.
C. D. 在复平面内对应的点在第一象限
10. 已知函数，则（ ）
A. 是偶函数B. 的最小正周期为
C. 的最大值为D. 在上单调递增
11. 已知为方程的根，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，已知为方程的两个根，则___________．
13. 已知，且，则___________．
14. 已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
16. 化简求值：
（1）；
（2）；
（3）已知，，求的值．
17. 近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以鳗、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在上，且，米，设．
（1）求扇形的面积；
（2）求矩形的面积的表达式；
（3）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
18. 已知复数，，．
（1）若，求角；
（2）复数，对应向量分别是，，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围．
19. 已知函数．
（1）求图象的对称中心、对称轴，的单调递增区间；
（2）当时，求的最值；
（3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．