甘肃省甘南藏族自治州卓尼县卓尼县柳林中学2024~2025学年高二下册5月期末数学试题【附答案】

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注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：选择性必修第二册.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 为调查中学生近视情况，随机抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近视，女生中有70名近视.在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是（ ）
A. 均值与方差B. 排列与组合
C. 概率D. 独立性检验
【答案】D
【解析】
【分析】根据统计中的相关概念逐项分析判断.
【详解】检验两个变量是否相关时，应选择独立性检验.
故选：D.
2. 甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全概率公式求得正确答案
【详解】令事件A为“从甲箱中取出一个球是红球”，
事件B为“从甲箱中取出一个球是白球”，
事件C为“从甲箱中取出一个球是黑球”，
事件D为“从乙箱中取出一个球是红球”，
则，
所以
，
故选；B
3. 设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据正态分布密度曲线中，的意义进行判断即可.
【详解】根据正态分布的密度函数的性质，正态分布曲线是一条关于对称，
在处取得最大值的连续钟形曲线，所以；
越大，曲线的最高点越低且曲线较平缓，反过来，越小，曲线的最高点越高且曲线较陡峭，所以.
故选：A.
4. 已知向量，，，若共面，则x等于（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答.
【详解】因为向量，，，且共面，
则存在实数，使得 ，
即，
所以，解得.
所以，即
故选：C
5. 某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）
A. 83%B. 72%C. 67%D. 66%
【答案】A
【解析】
【分析】把y=7.675代入回归直线方程求得x，再求的值．
【详解】当居民人均消费水平为7.675时，
则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262，
∴人均消费额占人均工资收入的百分比为
故选A．
【点睛】本题考查了回归直线方程的应用，熟练掌握回归直线方程变量的含义是解题的关键．
6. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点的坐标为，设，连接，由线面平行的性质可得出，利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得出点的坐标.
【详解】平面平面，平面平面，
而，则平面，平面，
设点的坐标为，设，连接，则，
又，，则，，
由平面，平面，平面平面，则，
又，则四边形是平行四边形，于是，即，
于是，解得，所以点的坐标为.
故选：C

7. 已知实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数的性质可得，，再构造函数，利用导数判断，再构造，利用导数判断出函数的单调性，再由单调性即可求解.
【详解】由题意可得均大于，
因为，所以，
所以，且，
令，，
当时，，所以在单调递增，
所以，所以，即，
令，，当时，，
所以在上单调递减，
由，，
所以，
所以，
综上所述，.
故选：A
8. 已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数,，求导后利用已知得出其正负，确定出函数的单调性后可得．
【详解】设,，则
，
，
因为对恒成立，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
可得：，即.
.
结合选项可知D一定成立，
故选：D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每名学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表．经计算，则可以推断出（ ）．
A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B. 该学校男生比女生对食堂服务更满意
C. 依据的独立性检验，可以认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D. 依据的独立性检验，可以认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
【答案】AC
【解析】
【分析】根据统计的数据，用频率估计概率可得该学校男、女生对食堂服务满意的概率的估计值；题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于，有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
【详解】该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为，故A正确；
该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为，故B错误；
因为，
所以依据的独立性检验，可以认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C正确，D错误．
故选：AC．
10. 下列命题中正确是（ ）
A. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强
B. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均增加0.5个单位
C. 若随机变量的期望，则
D. 若，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据相关关系的定义可判断A；根据回归方程的解析式可判断B；由数学期望的性质可判断C；由二项分布的方差结合方差的性质可判断D.
【详解】对于A：线性相关系数越接近于1，两个变量的相关性越强，
反之，线性相关性越弱，故A错误.
对于B：在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，
响应变量将平均增加0.5个单位，故B正确；
对于C：随机变量的期望为，则；
所以，，故C正确；
对于D：因为，，
则，解得，故D正确.
故选：BCD.
11. 在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列各选项正确的是（ ）
A. 四面体外接球的表面积为
B. 点B与点D之间的距离为
C. 四面体的体积为
D. 异面直线与所成的角为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出，即可判定 A正确；分别作，垂足为E，F，利用向量法求出，即可判定B错误；证明平面，求出，故C正确；利用向量法求出，所以异面直线与所成的角为，故D正确，
【详解】解：如图，因为和都是以为斜边的直角三角形，则为四面体外接球的直径．
因为，则，
所以四面体外接球的表面积为，故A正确；
分别作，垂足为E，F，则．
由已知可得，．因为，则
，所以，故B错误；
因为，
则．同理．又，平面，
则平面，所以，故C正确；
由已知可得，，，
则，则，得，
所以异面直线与所成的角为，故D正确，
故选：ACD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程.
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据值为______.
【答案】68
【解析】
【详解】试题分析：设表中有一个模糊不清数据为，由表中数据得：，由最小二乘法求得回归方程将，代入回归方程，得．
考点：线性回归方程
13. 已知函数的解析式唯一，且满足.则函数的图象在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得的解析式，然后利用切点和斜率求得切线方程.
【详解】由，可得，设，
又由，有，得，
可得，
故所求切线方程为，整理为.
故答案为：
14. 8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时， 中靶的概率为 0.8； 用未校准的枪射击时， 中靶的概率为0.3．现从8支枪中任取一支用于射击， 结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据贝叶斯公式进行求解即可.
【详解】[设B1＝{使用的枪校准过}， B2＝{使用的枪未校准}， A＝{射击时中靶}，则P(B1)＝，P(B2)＝，
P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3．
由贝叶斯公式， 得
．
所以， 所用的枪是校准过的概率为，
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 在改革开放成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：
（1）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程；
（2）根据线性回归方程预测2025年该地区该农产品的年产量.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出和的值，然后求出，进而由，，可求出，从而可求出关于的线性回归方程；
（2）当年份为2025年时，年份代码为，由（1）求得的回归方程，求出的值即可．
小问1详解】
由题意可知：
，
，
，
所以，
又，
故关于的线性回归方程为．
【小问2详解】
由（1）可得，当年份为2025年时，年份代码为，此时．
所以可预测2025年该地区该农产品的年产量约为万吨．
16. 笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中“纸”指的是宣纸，“始于唐代、产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸，宣纸按质量等级分类可分为正牌和副牌（优等品和合格品）．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸刀，该公司按照某种质量指标给宣纸确定质量等级，如下表所示：
公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（张）进行检验，得到的频率分布直方图如图所示．已知每张正牌宣纸的利润为元，副牌宣纸的利润为元，废品宣纸的利润为元．
（1）试估计该公司生产宣纸的年利润；
（2）该公司预备购买一种售价为万元的机器改进生产工艺，这种机器使用寿命为一年，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量指标服从正态分布，改进工艺后正牌和副牌宣纸的利润都将受到不同程度的影响，观测的数据如下表所示：
将频率视为概率，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由．
附：若，则，，．
【答案】（1）百万元；（2）应该购买这种机器，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据频率直方图求出正牌、副牌、废品的频率，再求每刀宣纸正牌、副牌、废品的数量，进而求生产宣纸的年利润；
（2）由题设，根据正态分布的三段区间概率及正牌、副牌、废品的指标区间求它们的概率，进而得到正牌、副牌、废品的年产量并求出年利润，注意成本需减去购买机器的成本，与未购买机器前的利润作比较，即可判断是否合适购买机器.
【详解】（1）由频率直方图知：正牌、副牌、废品的频率分别为，
∴一刀宣纸中，正牌，副牌，废品，
∴该公司生产宣纸的年利润为元.
（2）由题意，，
∴正牌，
副牌，
∴正牌年产量：；副牌年产量：；废品年产量：；
由题设数据，年利润为元，
∴利润显然高于购买机器之前，故应该购买这种机器.
17. 如图，四棱锥中，底面为菱形，且，侧棱底面，，为侧棱上一点．
（1）当为中点时，求的面积；
（2）试确定点的位置，使平面与平面夹角的余弦值为．
【答案】（1）
（2）为上靠近点的四等分点时，平面与平面夹角的余弦值为
【解析】
【分析】（1）以A为坐标原点，过A作BC的垂线为x轴，AD，AP所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系，先求得的单位方向向量，再由，求得点M到直线PD的距离，由的面积为求解；
（2）设，，由，，得到，再分别求得平面MCD的一个法向量，平面PCD的一个法向量，由求解.
小问1详解】
解：如图，
以A为坐标原点，过A作BC的垂线为x轴，AD，AP所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），，，D（0，4，0），P（0，0，4），，
所以，，
所以的单位方向向量为，
故点M到直线PD的距离为，
又，所以的面积为；
【小问2详解】
设，，
因为，，
所以，，，即，
设平面MCD的一个法向量为，
因为，，
由，得，
令，则，，
所以为平面MCD的一个法向量，
设平面PCD的一个法向量为，
因为，
由，得，
令，则，
所以为平面PCD的一个法向量，
所以，
令，
整理，得，即，
得或，
所以或（舍去），
故当，即M为PB上靠近点B的四等分点时，
平面MCD与平面PCD夹角的余弦值为．
18. 据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
参考数据：，，，
（1）建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）；
（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，；
【答案】（1）
（2）列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意可求出，，从而可求解.
（2）根据题意可将列联表补充完整，并求得，从而求解判断是否报废与是否保养有关.
【小问1详解】
由题意得，
则，
所以.
小问2详解】
设零假设为：是否报废与是否保养无关，
由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台，
补充列联表如下：
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关，
此推断的错误概率不大于0.01.
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）在上递减，上递增；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数研究的单调区间.
（2）求导可得，讨论m判断的单调性，结合极值及零点的个数求m的范围.
【小问1详解】
由题设，，则，
令，可得，
∴上，上，
∴在上递减，上递增.
【小问2详解】
由，
∴当时，，即在定义域上递增，不可能有两个零点，
∴，在上递减，上递增，
∴的极小值为，
又，趋向正无穷时趋于正无穷大，
∴只需，即可保证有两个零点.
∴令且，则，即递减，又，
∴时，有两个零点.
故m的取值范围.
【点睛】关键点点睛：第二问，讨论参数研究的零点情况，并结合其单调性、极值确定有两个零点时参数的范围.
满意
不满意
男
30
20
女
40
10
零件数（个）
10
20
30
40
50
加工时间
62

75
81
89
年份
2019
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码x
1
2
3
4
5
6
年产量y（万吨）
6.6
6.7
7
7.1
7.2
74
的范围
质量等级
正牌
副牌
废品
的范围
一张宣纸的利润
频率
飞行距离x（kkm）
56
63
71
79
90
102
110
117
损坏零件数y（个）
61
73
90
105
119
136
149
163
保养
未保养
合计
报废
20
未报废
合计
60
100
0.25
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
保养
未保养
合计
报废
6
14
20
未报废
54
26
80
合计
60
40
100