安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1B．10C．40D．80
2．若函数满足，则（ ）
A．B．4C．1D．2
3．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ）

A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上单调递减
D．在上单调递增
4．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
6．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
7．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48B．32C．24D．16
8．函数的两个极值点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A．B．C．D．
10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ）

A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
11．定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．为偶函数B．为奇函数
C．函数是周期函数D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是 ．
13．已知的展开式中的常数项为240，则 ．
14．，恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已如曲线在处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围.
16．某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5:7:8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6，0.5，0.4.
（1）从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.
17．现在4本不同的书，按以下方式进行分配．
(1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法；
(2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法；
(3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法；
18．为弘扬伟大建党精神，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分,每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道题回答（每道题抽取后不放回）.已知某同学在A类试题中有7道题能答对，而他答对每道B类试题的概率均为23.
（1） 若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布列和数学期望；
（2） 若该同学在A类试题中只抽取1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.
19．阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Jhann Bernulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中．
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用通项求解可得.
【详解】通项公式为，
当时，，
所以项的系数为80.
故选D.
2．【答案】C
【详解】.
故选C.
3．【答案】C
【详解】时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
显然C正确，其他选项错误.
故选C.
【易错警示】这道题不难，关键点在与区别题目所给出的函数图象是的，还是导函数的，若将其理解为的图象，容易被所给函数图象的趋势所迷惑.题目所给的B,D选项，便是把的图象当成的图象.
4．【答案】C
【详解】因为，所以，令，则，．
故选C.
5．【答案】A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，
则，
所以.
故选.
6．【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选B.
7．【答案】C
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选C.
8．【答案】A
【详解】由函数，，令，
则，因为函数两个极值点，
则①，②，得③，设，
则且，代入③得，，
设，则，
设，则
，在单调递减，，
从而，在单调递减，，，
故的最小值为．
故选A.
9．【答案】AD
【详解】依题意，，所以.
故选AD
10．【答案】ABD
【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，
其和为；而第行第个数字就是，故A正确；
对于B：因为，，
所以，故B正确；
对于C：由图可知：第行有个数字，
如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；
如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第行的第个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第行从左到右第个数为，
第行从左到右第个数为，
所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】BCD
【分析】根据奇函数，偶函数和周期函数的定义逐项分析选项，并利用周期函数的性质进行求和.
【详解】对A：由，故为奇函数，
若为偶函数，则，与条件不符，故A错误；
对B：由，则，
又，即，
即，又定义在上，
故为奇函数，故B正确；
对C：由，，，
所以，则，
所以，，
所以，所以，
则函数是周期为的周期函数，函数也是周期为的周期函数，故C正确；
对D：由是周期为的周期函数，
由，令，则，即，
令，则，即，
由，，
则，则关于对称，则关于对称，
又为奇函数，即关于中心对称，
故关于对称，则，
则，故D正确.
故选：BCD.
12．【答案】/0.75
【详解】记事件＝“某人在春季里鼻炎发作”， 事件＝“某人在春季里感冒发作”，
由题意可知，
此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为 .
13．【答案】3
【详解】的展开式的通项，
令得，令，无解，
所以的展开式中的常数项为，所以.
14．【答案】
【详解】由，恒成立，得当时，，
即，整理得或，解得或，
，不等式，
令，求导得，
即函数在上单调递增，而，当时，；当时，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，，
当时，，由恒成立，得恒成立，而，则，
当时，，由恒成立，得恒成立，则，，
当时，若，则，，不等式成立，
若，则，，不等式成立，
因此当且仅当或时，不等式对恒成立，
所以实数的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由于的斜率为，所以，
又,故，解得，
（2）由（1）知，所以，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取最小值，
要使恒成立，故，解得，
故的取值范围为
16．【答案】（1）记事件B：小明获胜，事件Ai：小明与第ii=1,2,3类棋手相遇.
由题可得PA1=520=0.25，PA2=720=0.35，PA3=820=0.4，PB|A1=0.6，PB|A2=0.5，PB|A3=0.4.；
由全概率公式可知
PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2+PA3PB|A3=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485.
（2）由贝叶斯公式可得
PA1|B=PA1BPB=PA1PB|A1PB=0.25×，
PA2|B=PA2BPB=PA2PB|A2PB=0.35×，
PA3|B=PA3BPB=PA3PB|A3PB=0.4×
故小明获胜，对手为一、二、三类棋手的概率分别为3097，3597，3297.
【名师点拨】对全概率公式与贝叶斯公式的理解
简单来说，如果导致一个事件发生的原因有很多种而且各种原因是互斥的，那么这个事件发生的概率就是每种原因引起该事件发生的概率的总和，而求出这个概率，就是全概率公式要解决的问题.
而如果一个事件已经发生了，有很多原因都能导致这个事件发生，那么其中的一种原因导致该事件发生的概率是多少，则是贝叶斯公式要解决的问题.
故全概率公式是“由因推果”，贝叶斯公式是“执果索因”.
【名师点拨】对全概率公式与贝叶斯公式的理解
简单来说，如果导致一个事件发生的原因有很多种而且各种原因是互斥的，那么这个事件发生的概率就是每种原因引起该事件发生的概率的总和，而求出这个概率，就是全概率公式要解决的问题.
而如果一个事件已经发生了，有很多原因都能导致这个事件发生，那么其中的一种原因导致该事件发生的概率是多少，则是贝叶斯公式要解决的问题.
故全概率公式是“由因推果”，贝叶斯公式是“执果索因”.
17．【答案】(1)3
(2)4
(3)6
【详解】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，
由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以来去序，
综上所述，不同分法的种数为．
（2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况，
由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为．
（3）先将4本书平均分成有顺序的2堆，则有种情况，
再分给甲、乙两人，不同分法的种数为．
18．【答案】
（1） 【解】由题知随机变量X的可能取值为0,10,20,30，
则P(X=0)=C33C103=1120，P(X=10)=C71C32C103=21120=740，
P(X=20)=C72C31C103=63120=2140，P(X=30)=C73C103=35120=724,
所以X的分布列为
所以数学期望E(X)=0×1120+10×740+20×2140+30×724=21.
（2） 记“该同学仅答对1道题”为事件M.
由题可知他答对A类试题的概率为710,所以P(M)=710×(13)2+310×C21×13×23=1990,
所以这次竞赛中该同学仅答对1道题的概率为1990.
19．【答案】(1)
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，
所以，
，
，
所以．
（2）由麦克劳林公式，令，有
再取，可得，
所以估算值为．
在中，取，可得.
（3）证明：由麦克劳林公式，当时，令，有，猜想：
令，有，猜想：
令，由，所以，即．
令，由，
再令，则恒成立，
所以在上为增函数，且，
所以在上为增函数，
所以，即．
又时，，，所以.
令， 当，有，
则，命题得证．-1
0
1
2
X
0
10
20
30
P
1120
740
2140
724