安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A. 1 B. 10 C. 40 D. 80
2. 若函数 满足 ，则 （ ）
A B. 4 C. 1 D. 2
3. 函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断中正确的 （ ）
A. 上单调递增
B. 在 上单调递减
C. 在 上单调递减
D. 在 上单调递增
4. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该
地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4
6. 现有 5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这 5 人中安排 2 人参加
公益活动，则恰有 1 人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
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A 120 B. 60 C. 30 D. 20
7. 小明将 1，4，0，3，2，2 这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个 2 之间只有
一个数字，且 1 与 4 相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
8. 函数 的两个极值点 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知随机变量 分布列如下表：
-1 0 1 2
若 ，则（ ）
A. B. C. D.
10. 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著 《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉
三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ）
A. 第 6 行、第 7 行、第 8 行的第 7 个数之和为第 9 行的第 8 个数
B.
C. 第 2020 行的第 1010 个数最大
D. 第 12 行中从左到右第 2 个数与第 3 个数之比为
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11. 定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ，
，且 ，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. 为偶函数 B.
C. 函数 是周期函数 D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是 ，感冒发作的概率是 ，鼻炎发作且
感冒发作的概率是 ，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．
13. 已知 的展开式中的常数项为 240，则 ______．
14. ， 恒成立，则实数 的取值范围是______.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已如曲线 在 处的切线与直线 垂直.
（1）求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
16. 某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三
类棋手的人数之比为 5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是 0.6、0.5、0.4.
（1）从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率.
17. 现在 4 本不同的书，按以下方式进行分配．
（1）分成两堆，每堆 2 本，则有多少种分法；
（2）分成两堆，一堆 3 本、一堆 1 本，则有多少种分法；
（3）分给甲、乙两人，每人 2 本，则有多少种分法；
18. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共
有 A 和 B 两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道 A 类试题得 10 分；每答对 1 道 B 类试题得 20 分，
答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道题抽后不放回）.已知某同学 A
类试题中有 7 道题能答对，而他答对各道 B 类试题的概率均为 .
（1）若该同学只抽取 3 道 A 类试题作答，设 X 表示该同学答这 3 道试题的总得分，求 X 的分布列；
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（2）若该同学在 A 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率.
19. 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Jhann Bernulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯
努利提出来的，大意如下：一个人写了 封不同的信及相应的 个不同的信封，他把这 封信都装错了信封，
问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707～1783）给出了解答：记
都装错 封信的情况为 种，可以用全排列 减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：
，其中 ．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处 阶可导，则有：
，注 表示 的 阶导数，该
公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
（1）求出 的值；
（2）估算 的大小（保留小数点后 2 位），并给出用 和 表示 的估计公式；
（3）求证： ，其中 ．
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