安徽省马鞍山市2024_2025学年高二数学下学期4月期中试题含解析

这是一份安徽省马鞍山市2024_2025学年高二数学下学期4月期中试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A. 1 B. 10 C. 40 D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】利用通项求解可得.
【详解】通项公式为 ，
当 时， ，
所以 项的系数为 80.
故选：D
2. 若函数 满足 ，则 （ ）
A. B. 4 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义合理变形即可.
【详解】 .
故选：C.
3. 函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断中正确的 （ ）
A. 在 上单调递增
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B. 在 上单调递减
C. 在 上单调递减
D. 在 上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】由 的增减性与 的正负之间的关系进行判断，
【详解】 时， ，故 在 上单调递减，
时， ，故 在 上单调递增，
当 时， ，故 上单调递减，
当 时， ，故 在 上单调递增，
显然 C 正确，其他选项错误.
故选：C.
4. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对等式两边求导，求导的时候注意 是个常数，求导之后令 即可得出答案.
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 令 ， 则
， ．
故选：C
5. 某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该
地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
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A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为 ，
记“该同学爱好滑雪”为事件 ,记“该同学爱好滑冰”为事件 ，
则 ，
所以 .
故选: .
6. 现有 5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这 5 人中安排 2 人参加
公益活动，则恰有 1 人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A. 120 B. 60 C. 30 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为 ，
假设 连续参加了两天公益活动，再从剩余的 4 人抽取 2 人各参加星期六与星期天的公益活动，共有
种方法，
同理： 连续参加了两天公益活动，也各有 种方法，
所以恰有 1 人连续参加了两天公益活动的选择种数有 种.
故选：B.
7. 小明将 1，4，0，3，2，2 这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个 2 之间只有
一个数字，且 1 与 4 相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48 B. 32 C. 24 D. 16
【答案】C
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【解析】
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1 与 4 相邻，共有 种排法，
两个 2 之间插入 1 个数，
共有 种排法，再把组合好的数全排列，共有 种排法，
则总共有 种密码．
故选：C
8. 函数 的两个极值点 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知函数求导，令 则可得 ，代入极值点后两式作商，可得到 的关系，作
商得到的结果指对互换，便可解出 ，根据题目所求 ，代入后便可构造新的函数，通过求导可
求得最小值.
【详解】由函数 ， ，令 ，
则 ，因为函数 两个极值点 ，
则 ①， ②，得 ③，设 ，
则 且 ，代入③得 ， ，
设 ，则 ，
设 ，则
， 在 单调递减， ，
从而 ， 在 单调递减， ， ，
故 的最小值为 ．
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故选：A.
【点睛】方法点睛：求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确
定导函数的单调性和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知随机变量 的分布列如下表：
-1 0 1 2
若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式求解即得.
【详解】依题意， ，所以 .
故选：AD
10. 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉
三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ）
A. 第 6 行、第 7 行、第 8 行的第 7 个数之和为第 9 行的第 8 个数
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B.
C. 第 2020 行的第 1010 个数最大
D. 第 12 行中从左到右第 2 个数与第 3 个数之比为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断 A，利用组合数公式判断 B，分析各行数据的特征，即可判断 C，
求出第 行中从左到右第 个数与第 个数，判断 D 即可.
【详解】对于 A：第 行，第 行，第 行的第 个数字分别为： ， ， ，
其和为 ；而第 行第 个数字就是 ，故 A 正确；
对于 B：因 ， ，
所以 ，故 B 正确；
对于 C：由图可知：第 行有 个数字，
如果 是偶数，则第 （最中间的）个数字最大；
如果 是奇数，则第 和第 个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第 行的第 个数最大，故 C 错误；
对于 D：依题意：第 行从左到右第 个数为 ，
第 行从左到右第 个数为 ，
所以第 行中从左到右第 个数与第 个数之比为 ，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ，
，且 ，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. 偶函数 B.
C. 函数 是周期函数 D.
【答案】BCD
【解析】
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【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判
断即可.
【详解】对于 A：由 ，故 为奇函数，故 A 错误；
对于 B：由 ，则 ，
又由 得 ，
即 ，取 ，解得 ，故 B 正确；
对于 C：由 ， ， ，
所以 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
则函数 是周期为 的周期函数，函数 是周期为 的周期函数，故 C 正确；
对于 D：由 是周期为 的周期函数，
由 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
由 ， ，
则 ，则 关于 对称，则 关于 对称，
又 为奇函数，即 关于 中心对称，
故 关于 对称，则 ，
则 ，故 D 正确
故选：BCD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是 ，感冒发作的概率是 ，鼻炎发作且
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感冒发作的概率是 ，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．
【答案】 ##0.75
【解析】
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解．
【详解】记事件 ＝“某人在春季里鼻炎发作”， 事件 ＝“某人在春季里感冒发作”，
由题意可知 ，
此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为 ，
故答案为：
13. 已知 的展开式中的常数项为 240，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出 值.
【详解】 的展开式的通项 ，
令 得 ，令 ，无解，
所以 的展开式中的常数项为 ，所以 .
故答案为：3
14. ， 恒成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，取 可得 或 ，再变形给定不等式分离参数求出范围.
【详解】由 ， 恒成立，得当 时， ，
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即 ，整理得 或 ，解得 或 ，
，不等式 ，
令 ，求导得 ，
即函数 在 上单调递增，而 ，当 时， ；当 时， ，
令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递增， ，
当 时， ，由 恒成立，得 恒成立，而 ，则 ，
当 时， ，由 恒成立，得 恒成立，则 ， ，
当 时，若 ，则 ， ，不等式 成立，
若 ，则 ， ，不等式 成立，
因此当且仅当 或 时，不等式 对 恒成立，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已如曲线 在 处的切线与直线 垂直.
（1）求 的值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，
（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.
【小问 1 详解】
由于 的斜率为 ，所以 ，
又 ,故 ，解得 ，
【小问 2 详解】
由（1）知 ，所以 ，
故当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故当 时， 取最小值 ，
要使 恒成立，故 ，解得 ，
故 的取值范围为
16. 某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三
类棋手的人数之比为 5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是 0.6、0.5、0.4.
（1）从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率.
【答案】（1）0.485；
（2）
【解析】
【分析】（1）由全概率公式求解可得；
（2）利用（1）中结论，由条件概率公式计算即可
【小问 1 详解】
记事件 B：“小明获胜”，记事件 ：“小明与第 类棋手相遇”，
由题可得， ， ， ，
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， ， .
由全概率公式可知：
.
【小问 2 详解】
由条件概率公式可得 .
即小明获胜，对手为一类棋手的概率为 .
17. 现在 4 本不同的书，按以下方式进行分配．
（1）分成两堆，每堆 2 本，则有多少种分法；
（2）分成两堆，一堆 3 本、一堆 1 本，则有多少种分法；
（3）分给甲、乙两人，每人 2 本，则有多少种分法；
【答案】（1）3 （2）4
（3）6
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合分组、分配的解法，由平均分组计算结合排列组合数的计算公式；
（2）根据题意，结合分组、分配的解法，由不平均分组计算结合组合数的计算公式；
（3）根据题意，结合分组、分配的解法，由平均分组分配计算结合组合数的计算公式.
【小问 1 详解】
先将 4 本书分成有顺序的 2 堆，其中第 1 堆有 2 本书，第 2 堆有 2 本书，则有 种情况，
由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以 来去序，
综上所述，不同分法的种数为 ．
【小问 2 详解】
先将 4 本书分成有顺序的 2 堆，其中第 1 堆为 3 本书，第 2 堆为 1 本书，则有 种情况，
由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为 ．
【小问 3 详解】
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先将 4 本书平均分成有顺序的 2 堆，则有 种情况，
再分给甲、乙两人，不同分法的种数为 ．
18. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共
有 A 和 B 两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道 A 类试题得 10 分；每答对 1 道 B 类试题得 20 分，
答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道题抽后不放回）.已知某同学 A
类试题中有 7 道题能答对，而他答对各道 B 类试题的概率均为 .
（1）若该同学只抽取 3 道 A 类试题作答，设 X 表示该同学答这 3 道试题的总得分，求 X 的分布列；
（2）若该同学在 A 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率.
【答案】（1）分布列见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列；
（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.
【小问 1 详解】
， ，
，
所以 X 的分布为
X 0 10 20 30
P
【小问 2 详解】（2）记“该同学仅答对 1 道题”为事件 M.
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这次竞赛中该同学仅答对 1 道题得概率为 .
19. 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Jhann Bernulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯
努利提出来的，大意如下：一个人写了 封不同的信及相应的 个不同的信封，他把这 封信都装错了信封，
问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707～1783）给出了解答：记
都装错 封信的情况为 种，可以用全排列 减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：
，其中 ．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处 阶可导，则有：
，注 表示 的 阶导数，该
公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
（1）求出 的值；
（2）估算 的大小（保留小数点后 2 位），并给出用 和 表示 的估计公式；
（3）求证： ，其中 ．
【答案】（1）
（2） ；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别代入公式 计算即可；
（2）由麦克劳林公式中取 ，计算即可；
（3）首先利用麦克劳林公式猜想 和 ，再构造函数求导证明猜想；然后得到
，最后令 ，代入上式经过拆项可得 ，即可证明.
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【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
，
，
所以 ．
【小问 2 详解】
由麦克劳林公式，令 ，有
再取 ，可得 ，
所以估算值为 ．
在 中，取 ，可得 .
【小问 3 详解】
证明：由麦克劳林公式，当 时，令 ，有 ，猜想：
令 ，有 ，猜想：
令 ，由 ，所以 ，即 ．
令 ，由 ，
再令 ，则 恒成立，
所以 在 上为增函数，且 ，
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所以 在 上为增函数，
所以 ，即 ．
又 时， ， ，所以 .
令 ， 当 ，有 ，
则
，
命题得证．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能根据麦克劳林公式得到当 时，得到
，再令 ，裂项证明.
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