高中数学北师大版讲义(必修二)第11讲2.1从位移、速度、力到向量4种常见考法归类(学生版+解析)特训

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2.1从位移、速度、力到向量4种常见考法归类 知识点01 向量的相关概念注：共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．【即学即练1】（2024下·全国·高一专题练习）判断下列结论是否正确.（1）若与都是单位向量，则；( )（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量；( )（3）直角坐标平面上的轴，轴都是向量；( )（4）若与是平行向量，则；( )（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合；( )（6）海拔、温度、角度都不是向量. ( )（7）任何两个向量均不可以比较大小.( )【即学即练2】（2024下·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（   ）A．向量的模是一个正实数B．若与不共线，则与都是非零向量C．共线的单位向量必相等D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同【即学即练3】（2024下·江苏宿迁·高一校考开学考试）在下列判断中，真命题的是 .①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．【即学即练4】【多选】（2024下·全国·高一专题练习）已知非零向量、，下列命题正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【即学即练5】（2024下·广东东莞·高一校考开学考试）设点是正方形的中心，则下列结论错误的是（    ）A．B．C．D．与共线知识点02 向量的表示1．向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用黑体a，书写用a.注：1.理解向量概念应关注三点(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．(3)向量与向量之间不能比较大小．2．相等向量的理解任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．3．向量与有向线段的关系如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．4．向量与数量的区别(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小．即使有|a|>|b|也不能说a>b，特殊地，若向量a与b是相等向量，记作a＝b；(3)0与0不同，虽然|0|＝0，但0是向量，而0是数量．【即学即练6】（2024下·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．  (1)，点在点的正西方向；(2)，点在点的北偏西方向；(3)求出的值．【即学即练7】（2024·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．(1)，点A在点O北偏西45°方向；(2)，点B在点O正南方向．知识点03　向量的夹角已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作OA＝a，OB＝b，(如图)．则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b．规定：零向量可与任一向量垂直．注：两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA与向量AB的夹角，∠BAD才是向量CA与向量AB的夹角．【即学即练8】（2024下·高一课时练习）向量与的夹角的范围是（    ）A．B．C．D．【即学即练9】（2024·高一课时练习）若非零向量，互相垂直，则它们的夹角为．( )【即学即练10】（2024下·甘肃兰州·高一统考期末）等边三角形中，与的夹角为（    ）A．B．C．D．题型一：向量的相关概念例1.（2024下·海南儋州·高一校考阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号）①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度．例2．（2024上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考开学考试）下列命题不正确的是（   ）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则变式1．（2024下·广东东莞·高一校考开学考试）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；④平行四边形中，一定有；⑤若，，则；⑥若，，则其中不正确的命题的个数为（    ）A．2B．3C．4D．5变式2．（2024上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（    ）（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．A．1B．2C．3D．4变式3．（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（   ）（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的．A．0B．1C．2D．333．（2024下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（    ）A．1B．2C．3D．4【方法技巧与总结】与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质．向量的核心为方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．题型二：向量的几何表示例3．（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．变式1．（2024下·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量；（2）求．变式2．（2024·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；（2），使＝4，点B在点A正东；（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.变式3．（2024下·高一课时练习）如图所示，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方.（1）作出向量，，（图中1个单位长度表示100m）；（2）求向量的模.【方法技巧与总结】用有向线段表示向量的步骤题型三：相等向量、共线向量例4．（2024·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：    (1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？变式1．（2024下·高一校考课时练习）如图，O是正六边形ABCDEF的中心.  (1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几个?(2)图中所示的向量中与共线的向量有几个?变式2．（2024下·高一校考课时练习）如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?  变式3．（2024·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，  (1)与模长相等的向量有多少个？(2)写出与相等的向量有哪些？(3)与共线的向量有哪些？(4)请列出与相等的向量．变式4．（2024·高一课时练习）如图，为正方形的两条对角线的交点，四边形和四边形都是正方形，在图中所示的向量中.(1)分别写出与、相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)写出与的夹角为的向量；(5)向量与是否相等？【方法技巧与总结】(1)寻找共线向量的技巧：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量的技巧：先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线向量．题型四：向量的夹角例5．（2024下·江苏淮安·高一校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（    ）A．与的夹角是锐角B．与的夹角是锐角C．与的夹角是锐角D．与的夹角是钝角变式1．（2024·高一课时练习）已知▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（    ）A．30°B．60°C．120°D．150°变式2．（2024·河北廊坊·校联考三模）在中，，，则向量与的夹角为A．B．C．D．变式3．（2024下·高一课时练习）在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为 ．变式4．（2024上·安徽·高三校联考期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形中，向量与的夹角为（    ）A．B．C．D．变式5．（2024·全国·高一假期作业）如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题．(1)分别写出与、、相等的向量；(2)分别写出与、、共线的向量；(3)分别写出与，与的夹角；(4)分别写出与，与的夹角．一、单选题1．（2024上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（    ）A．频率B．拉力C．体积D．距离2．（2024上·江苏·高二专题练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（    ）A．2B．3C．4D．53．（2024·全国·高一专题练习）设是单位向量，，，，则四边形是（ ）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形4．（2024下·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（    ）A．B．，是单位向量，则C．若，则D．任一非零向量都可以平行移动5．（2024·全国·高一专题练习）若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式中正确的是（ ）A．B．C．D．6．（2024·高一课时练习）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）A．共起点的向量B．模相等的向量C．共线向量D．相等向量7．（2024上·陕西·高一统考期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）  A．B．C．D．二、多选题8．（2024·全国·高一专题练习）下列结论中，错误的是（ ）A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；B．若，则，不是共线向量；C．若，则四边形是平行四边形；D．有向线段就是向量，向量就是有向线段.9．（2024下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（    ）A．起点相同的单位向量，终点必相同；B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；C．若，则；D．若，则10．（2024上·高二课时练习）(多选)下列命题的判断正确的是（    ）A．若向量与向量共线，则A，B，C，D四点在一条直线上B．若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量与向量共线C．若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量与向量不共线D．若向量与向量共线，则A，B，C三点在一条直线上三、填空题11．（2024下·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）．12．（2024·高一课时练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：  ①共线向量： ；②方向相反的向量： ；③模相等的向量： .13．（2024·高一课时练习）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 .14．（2024下·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.  四、解答题15．（2024·高一课时练习）如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．16．（2024下·高一课时练习）如图，四边形和四边形都是平行四边形．(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与向量共线的向量．17．（2024·高一课时练习）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，以与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，求m，n．课程标准学习目标(1)通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．1.通过对位移、速度、力的分析，了解平面向量的实际背景；2.理解向量的概念、基本要素及向量的几何表示.3.理解零向量和单位向量的概念.4.理解平行向量、共线向量、相等向量的概念；5. 能够能够掌握它们之间的联系与区别.向量的概念在数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量．有向线段具有方向和长度的线段称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB，线段AB的长度称为有向线段AB的长度，记作AB．向量的模向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模．零向量长度为0的向量称为零向量，记作0.单位向量模等于1个单位长度的向量，称为单位向量．共线向量两个非零向量a，b的方向相同或相反称这两个向量为共线向量或平行向量，记作a∥b规定：零向量与任一向量共线．相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量．相反向量若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．