内蒙古自治区通辽市2025届高三下学期三模数学试题 含解析

这是一份内蒙古自治区通辽市2025届高三下学期三模数学试题 含解析，共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合 ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由 ， ，
所以 .
故选：C.
2. 某中学有高中生 1000 人，初中生 3000 人.为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法
从该校学生中抽取一个容量为 80 的样本，则抽中的高中生人数为（ ）
A. 5 B. 10 C. 20 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】计算分层抽样的抽取比例乘以样本容量可得答案．
【详解】分层抽样的抽取比例为 ，
所以从高中生中抽取的人数为 .
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故选：C．
3. 已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，可得 ，结合导数 几何意义求切线方程.
【详解】由 ，得 ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
故选：B.
4. 已知向量 , 满足 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积的运算律及坐标表示求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ．
故选：A.
5. 已知函数 是偶函数，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可.
【详解】由 是偶函数，
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则 ， ，即 ， ，
则 时， ， 时， ， 时， ，
则 的最小值是 .
故选：A.
6. 已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点差法列方程可得解.
【详解】设 ， ，则 ，
整理得 ，
因为线段 中点的横坐标为 ，
所以线段 中点的纵坐标为 ，则 ，
从而可得 ，
故选：D.
7. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式 的
解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数、函数的单调性以及函数的零点转化待求不等式，求解即得.
【详解】因为 ，
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所以 在 上单调递增，且 ．
因为 是定义在 上的奇函数，所以 在 上单调递增，且 ．
由 ，可得 或 ，解得 或 ．
即 的解集为 .
故选：B.
8. 已知正方体 的棱长为 ，以顶点 A 为球心， 为半径的球的球面与正方体的表面
的交线总长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据长度关系分析可知球面与表面 没有公共点，且与表面 ，
的交线都是圆心角为 ，半径为 2 的圆弧，即可得结果.
【详解】因为正方体 的棱长为 ，则表面 上的点到点 A 的最
大距离为 ，
所以以顶点 A 为球心， 为半径的球的球面与这三个表面没有公共点．
如图，若球面与表面 的公共点为 P，
因为 ，则 ，
由 ，可得 ，同理可得 ，则 ，
可知 P 的运动轨迹是以 D 为圆心，2 为半径的圆与表面 的交线都是圆心角为 ，半径为 2 的圆弧，
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同理可得球面与表面 的交线也都是圆心角为 ，半径为 2 的圆弧，
所以交线总长 ．
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，则下列复数为纯虚数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的运算结合共轭复数的定义运算求解.
【详解】因为 ，
则 ， ．
为纯虚数的是 ， ， .
故选：BCD．
10. 已知函数 ( 且 ，则下列结论正确的是（ ）
A 若 ，则
B. 若 ，则 的值域为
C. 若 ，则 在 上单调递增
D. 若 ，则 在 上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，代值计算即可判断；对于 B，根据基本不等式求解即可；对于 CD，根据复合函数的单调
性判断即可.
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【详解】对于 A，当 时， ，
则 ，故 A 错误；
对于 B，当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 值域为 ，故 B 正确；
对于 C，当 时， ，
， ，
令 ，则 ，
因 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故 C 正确；
对于 D，当 时， ，
， ，
令 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故 D 正确.
故选：BCD
11. 在平面直角坐标系 中，动点 P 在直线 上的射影为点 Q，且 ．记 P 的
轨迹为曲线 C，则下列结论正确的是（ ）
A. C 关于直线 l 对称
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B. C 上存在点 ，使得
C. 的最小值为
D. 若 C 与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为 S，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，设 通过 ，得到轨迹方程 即可判断，对于
B，由 即可判断，对于 C，由 可判断，对于 D，记 C 在第一象限内
的部分为曲线 D，设 为 D 上任意一点，则 ，得到+ ，再通过假设 ，推
出 得到矛盾，进而可判断.
【详解】设 ，则 ．由 ，
得 ，即 ． 关于 l 对称的点为 ，
也满足方程 ，故 C 关于直线 l 对称，A 正确．
显然点 在 C 上，且满足 ，B 正确．
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，整理得 ，
从而 ，C 不正确．
记 C 在第一象限内的部分为曲线 D，设 为 D 上任意一点，则 ，
由 ，得 ，即 ，
故点 B 在直线 的上方或在 的下方（不重合），
从而 ．
假设 ，则由 ，可得 ，
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则 ，则 ，则 ，这与假设矛盾，
故 D 在直线 的上方，从而 ，故 ，D 正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知双曲线 的离心率为 ，则 _____________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用双曲线方程中 的关系结合离心率 ，列式计算即可求得 的值.
【详解】由双曲线 ，得 ，所以
双曲线 C 的离心率为 ，
所以 ，解得
故答案为： .
13. 4 名医生和 2 名护士站成一排，要求 2 名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共
有_____________种．
【答案】408
【解析】
【分析】先排医生，分两类，医生甲不站在医生的最左端和医生甲站在医生的最左端，再将 2 名护士插空，
即可求解.
【详解】若医生甲不站在医生的最左端则有 种不同的站法，
若医生甲站在医生的最左端，则有 种不同的站法，故不同的站法共有 种．
故答案为：408.
14. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，点 D 在边 BC 上，且 .则 的
取值范围是________.
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【答案】
【解析】
【分析】先由题设 ，接着由 在 和 中结
合余弦定理得 及 范围，再设 建立不等式 ，解该不等式即可得解.
【详解】由题可设 ，
因为 ，所以 ，
所以由余弦定理有 ，
，
所以 ，再由 得 ，
设 ，则 ，
所以 即 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥 中， ， 平面 .
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（1）证明： ；
（2）求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可；
（2）利用空间向量证明即可.
【小问 1 详解】
证明：过点 作 ，垂足为 ，
因为 平面 ，
以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，即 .
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【小问 2 详解】
由（1）知， ，
设平面 PAB 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 PCD 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 PAB 与平面 PCD 所成角为 ，
则 ，
则 ，
即平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .
16. 为了增强学生的法律意识，某学校组织了一场法律知识测试，测试共有 A，B 两个试题题库，学生先从
这两个题库中任选一个，再从该题库中任选一道试题作答.若答错该试题，学生测试结束：若答对该试题，
则再从另外一个题库中任选一道试题作答，无论答对与否，学生测试结束.已知学生甲答对 A 题库中的每道
试题的概率均为 答对 B 题库中的每道试题的概率均为
（1）求学生甲只作答了一道试题的概率；
（2）若答对 A 题库中的试题，可以获得 20 个积分，若答对 B 题库中的试题，可以获得 10 个积分，记学生
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甲测试结束时获得的总积分为 X，求 X 的分布列与期望.
【答案】（1） ；
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）由学生甲只作答了一道试题的情况结合互斥事件概率加法公式即可求解；
（2）由题设依次求出随机变量的取值和取值对应的概率结合期望公式即可得解.
【小问 1 详解】
学生甲只作答了一道试题的情况有两种：选中 A 题库并答错和选中 B 题库并答错，
所以学生甲只作答了一道试题的概率为 .
【小问 2 详解】
由题 ， ，
， ，
，
所以 X 的分布列为
X 0 10 20 30
P
所以 X 的期望为 .
17. 已知函数
（1）若 ，求 的极值;
（2）讨论 的单调性.
【答案】（1）极大值为 ，无极小值；
（2）答案见解析
【解析】
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【分析】（1）求导然后令 ，即可得到函数极值；
（2）求导得 ，然后令 ，即可得到方程的两根，然后分两根的大小讨论，即可得到结果.
【小问 1 详解】
当 时， ，则 ，
令 ，即 ，解得 或 （舍），
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
所以 时， 有极大值，且极大值为 ，无极小值.
【小问 2 详解】
函数 定义域为 ，
且 ，
令 ，解得 或 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，此时 恒成立，
当 时，此时 ，
则 函数 单调递减， 函数 单调递增，
函数 单调递减；
当 时， ，则 函数 单调递增，
函数 单调递减；
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当 时， ，则 函数 单调递减，
函数 单调递增， 函数 单调递减，
当 时， ，则 函数 单调递增，
函数 单调递减，
综上所述：当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
当 时，函数的单调增区间为 ，
单调减区间为 和 ；
当 时，函数在 上单调递减；
当 时，函数的单调增区间为 ，
单调减区间为 和 ；
当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 .
18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是圆
上一点，线段 与 C 交于点 Q，且 ．
（1）求 C 的标准方程；
（2）过点 的直线与 C 交于 A，B 两点，记 O 为坐标原点，线段 的中点为 N，C 的左顶点为 D．
（i）求 面积的最大值；
（ii）若 的外心为 M，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试判断 是否为定值．若是，
求出该定值；若不是，请说明理由．
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【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）为定值 9，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据 ，得到 ，又 ，则 ，得到椭圆方程；
（2）（i）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出点 N 的坐标，表达出三角形
的面积 ，利用基本不等式求出最值；
（ ii） 设 外 接 圆 的 方 程 为 ． 代 入 ， 可 得
，联立直线和外接圆方程，得到两根之和，两根之积，结合（ i）可得方程，求出
，求出 ，为定值．
【小问 1 详解】
由 ，整理得 ，则该圆是以 为圆心，6 为半径的圆．
因为 P 是圆 上一点，线段 与 C 交于点 Q，且 ，
所以 ，即 ，解得 ．
由题可知 ，则 ，故 C 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
（i）当点 的直线斜率不存在时， 重合，此时 不存在，不合要求，
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当点 的直线斜率为 0 时， 重合，此时 不存在，不合要求，
直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ．
联立 整理得 ，
则 ，
则线段 的中点 N 的坐标为 ．
设 的面积为 S，则 ．
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 面积的最大值为 ．
（ii） 为定值 9，理由如下：
设 ，显然 为 外接圆圆心，
故可设 外接圆的方程为 ．
因为 在外接圆上，所以 ，故 ，
故外接圆的方程为 ．
联立 ，整理得
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，
则 ．
因为 ，
故 ，
解得 ．
故 ，为定值．
19. 已知 ，若正项数列 满足 ，则称 为“上界 m 数列”．
（1）若 ，判断数列 是否为“上界 1 数列”，并说明理由；
（2）若数列 是“上界 m 数列”，求 m 的最小值；
（3）若 ，且 ．证明：数列 是“上界 1 数列”．
【答案】（1） 不是“上界 1 数列”，理由见解析
（2）2 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出 ，再根据新定义判断即可；
（2）根据 为“上界 m 数列”的定义判断即可；
（3）由已知可得 ，则再证明 即可，当 时成立，当 时，由 可得
，由裂项相消法求和可得 ，可得 ，得证.
【小问 1 详解】
由题可知， ，
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因为 ，所以 ，
则 ，则 ，从而 不是“上界 1 数列”．
【小问 2 详解】
因为 ，
又数列 是“上界 m 数列”，所以 恒成立．
又 ，
所以 ，即 m 的最小值为 2．
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，
，则 ，从而 ．
要证数列 是“上界 1 数列”，需证 ，
当 时，由 ，得 ．
当 时，由 ，得 ，则 ，
整理得 ，
则 ，
则 ，即 ．
因为 ，所以 ，则 ，
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则 ，从而 ，
所以数列 是“上界 1 数列”．
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