辽宁省辽阳市2025届高三下学期一模考试数学试题 含解析

这是一份辽宁省辽阳市2025届高三下学期一模考试数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集定义计算.
【详解】因为 ，所以
故选：D.
2. 已知向量 ， ， .若 、 、 三点共线，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出向量 ，由题意可得 ，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于 的等式，解之
即可.
【详解】因为向量 ， ， ，
所以， ，
因为 、 、 三点共线，则 ，所以， ，解得 .
第 1页/共 19页
故选：C.
3. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的面积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理求出 的值，利用同角三角函数的基本关系求出 的值，然后利用三角形的面
积公式可求得 的面积.
【详解】在 中，因为 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以， ，
因此， 的面积为 .
故选：A.
4. 已知 ，其中 为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数相等求参数的值.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选:B.
第 2页/共 19页
5. 如图，三棱柱 的所有棱长都为 ，且 ， 、 、 分别为 、 、
的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接 、 ，推导出 ，可知异面直线 和 所成角等于 或其补角，利用
余弦定理求出 、 的长，推导出 ，可求出 的余弦值，即为所求.
【详解】连接 、 ，如下图所示：
因为 、 分别为 、 中点，所以， 且 ，
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，
所以， 且 ，
因为 为 的中点，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
故异面直线 和 所成角等于 或其补角，
在菱形 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
在 中， ， ， ，
第 3页/共 19页
由余弦定理可得 ，
在 中， ， ， ，所以， ，故 ，
所以， .
因此，异面直线 和 所成角的余弦值为 .
故选：D.
6 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的运算，化简题干中的对数式，结合参数大小与对数函数图象的关系，可得答案.
【详解】由 ， ，
，
且 ，则 .
故选：A.
7. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 交于 、 两点，记点 到直线
的距离为 ，且 .若点 的横坐标为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的定义可得 ，设点 、 ，设直线 的方程为 ，
将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出 ，根据抛物线的焦点弦长公式可得出关
于 的等式，结合 可求得 的值.
第 4页/共 19页
【详解】抛物线 的准线方程为 ，由抛物线的定义可得 ，
设点 、 ，若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
则 ，由韦达定理可得 ，
所以， ，故 ，
所以， ，整理可得 ，
即 ，因为 ，解得 .
故选：C.
8. 已知球 的半径为 ，则在球 的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设球 的内接圆锥的底面半径为 ，取圆锥的轴截面 ，取线段 的中点 ，连接 ，
设 ，则 ，可得出 ， ，设圆锥的体积为 ，求出函数 的
解析式，利用导数求出函数 取最大值时对应的 值，即可求得对应的 值，即为所求.
【详解】如下图所示，设球 的内接圆锥的底面半径为 ，
第 5页/共 19页
显然当球心在圆锥的内部时，圆锥的体积才会最大，
取圆锥的轴截面 ，取线段 的中点 ，连接 ，则 ，且 在线段 上，
设 ，则 ，且 ， ，
设圆锥的体积为 ，
则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以，函数 时取最大值，此时， .
故选：A.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，
艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6 位评委对甲、乙进行打分（满分 10 分），得到如图
所示的折线统计图，则（ ）
第 6页/共 19页
A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数
B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用平均数、中位数及众数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可.
【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲： ，乙： ，
甲得分的中位数为 ，乙得分的中位数为 ，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故 C 正确；
甲得分的众数 ，乙得分的众数为 ，甲得分的众数大于乙得分的众数，故 B 正确；
甲得分的平均数 ，乙得分的平均数
，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故 A 错误；
由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故 D 正确.
故选：BCD
10. 已知函数 的最大值与最小值的差为 2，其图象与
轴的交点坐标为 ，且图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 2，则（ ）
A.
B.
C.
D. 的单调递增区间为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简 得 ，根据最大值、相邻两条对称轴的
距离、交点坐标求出 、 、 的值，再计算单调区间即可.
第 7页/共 19页
【详解】 ，
因为 的最大值与最小值的差为 2，， ，解得 ，A 选项正确；
因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为 ，可得函数的最小正周期为 ，即 ，解得 ，B
选项不正确；
又 的图象与 轴的交点坐标为 ，可得 ，解得
，C 选项正确；
所以函数的解析式为 ， ，
，所以 的单调递增区间为 ，D 选项正确.
故选:ACD.
11. 已知函数 的定义域为 ，对任意 ，均满足 ，
且 ，则（ ）
A. 函数 为偶函数
B. 8 是 的一个周期
C. 的图象关于点 对称
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】令 ，求得 ，令 ，得出 为偶函数，即可判断 A； ，得出
周期为 4，即可判断 B；根据周期性，即可得出 ，即可判断 C；求得 ，结合
周期性得出 即可判断 D．
第 8页/共 19页
【详解】对于 A，令 ，得 ，所以 ，
令 ，得 ，即 ，所以 为偶函数，
所以 ，则 为奇函数，故 A 错误；
对于 B，令 ， ，即
，
所以 周期为 4，故 B 错误；
对于 C，令 ， ，
所以 ，所以 关于 对称，且 ，
又 周期为 4，所以 ，故 C 正确；
对于 D，令 ，得 ，即 ，
令 ， ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故 D 正确；
故选：CD．
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若双曲线 的一条渐近线上的点 关于另一条渐近线的对称
点恰为右焦点 ，则双曲线 的渐近线方程为__________，实轴长为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由点在渐近线上可求得 ，再根据双曲线的性质计算实轴长即可.
【详解】由点 在双曲线 的一条渐近线上，可得 ，
则双曲线 的渐近线方程为 ；
第 9页/共 19页
记坐标原点为 ，则 ，即 ．
因为 ，所以 ， ，故实轴长为 ．
故答案为： ； .
13. 某工人给排成一排的 块地砖上色，可用颜色为固定的第 号至第 号，共 种颜色，其中 ，
.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第 号至第 号颜色（每种颜色至少使用一
次， ， ），则称此方案为一种 上色方案.当 时，不同的 上色方案共有__________
种.
【答案】
【解析】
【分析】不妨将 块排成一排的地砖从左至右依次记为 、 、 、 ，分析可知，一定有 块地砖同色，
列举出同色的情况，结合排列计数原理与分步乘法计数原理可得结果.
【详解】不妨将 块排成一排 地砖从左至右依次记为 、 、 、 ，
用 种颜色给地砖上色，每种颜色至少使用一次，相邻地砖不能同色，所以一定有 块地砖同色，
同色的情况有 、 、 ，共 种，
所以，共有 种不同的 上色方案.
故答案为： .
14. 在平面直角坐标系中，已知点 ，动点 满足 ，记 的轨迹为曲线 ，直
线 与 交于 两点，当 取得最小值时， 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ，由 有 ，由点到直线的距离公式有 ，即
，分析 的取值即可求解.
【详解】设 ，则由 有 ，
第 10页/共 19页
即 ，则曲线 是以圆心为 ，半径为 的圆，
则圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，当 取最大值时， 取得最小值，
所以 ，要使 取最大值则 ， ，
当 取最小值时， 取最大值，
所以当 时， ，
当 时，等号成立，
所以 ， ，
当 时， 取得最小值 ，
所以 ，
故答案为： .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等比数列 是递减数列， 的前 项和为 ，且 、 、 成等差数列，
，数列 满足 ， ，
（1）求 和 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
第 11页/共 19页
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据题意可得出关于 、 的方程组，结合数列 为递减数
列可求得 、 的值，即可得出等比数列 的通项公式；推导出 ，结
合 可求得数列 的通项公式；
（2）分 为奇数、偶数两种情况讨论，化简 的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可
求得 .
【小问 1 详解】
设等比数列 的公比为 ，由题意可得 ，则 ，
因为数列 是等比数列，解得 ，所以， ，
因为 ，所以， ，
因为 ，则 ，所以， ，故 .
【小问 2 详解】
当 为奇数时， ，令 ，
则 ，
所以， ，
两个等式作差可得
，
化简得 ；
当 为偶数时， ，
第 12页/共 19页
令 ，则
，
故 .
16. 如图，在直三棱柱 中， 为 的中点， .
（1）证明： 平面 .
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先连接 ，再根据中位线得出 ，最后应用线面平行判定定理证明 平面
；
（2）求出平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出 与平面 所成角的正弦值．
【小问 1 详解】
连接 ，
∵E 为 中点， 为 的中点，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
第 13页/共 19页
∴ 平面 ；
【小问 2 详解】
以点 C 为坐标原点， 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，则 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 与平面 所成角的正弦值为：
．
17. 已知函数 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）若 的最大值为 ，证明： ， .
【答案】（1）增区间为 ，减区间为
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求出函数 的增区间和减区间；
（2）由函数 的最大值可求出 的值，将所证不等式变形为 ，构造函数
第 14页/共 19页
，利用导数分析函数 的单调性与极值，可证得 ，即可证得结论成立.
【小问 1 详解】
因为函数 的定义域为 ，且 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，解得 ，
要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，
所以， ，即 ，
所以， ， ，即 .
18. 亚冬会于 年 月 日至 月 日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一
个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小
球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为 分、 分、 分.已知 分题目小球被抽到的
概率为 ， 分题目小球被抽到的概率为 ， 分题目小球被抽到的概率为 ，且每次抽完会补充一个同
分值小球到箱内.
（1）已知甲回答 分、 分、 分题目正确的概率分别为 、 、 ，求甲抽取 次，抽到 种不同分值
的题目，且累积得分不低于 分的概率；
（2）若甲抽取 次，记 表示甲 次抽取的题目分值之和，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，
【解析】
第 15页/共 19页
【分析】（1）对甲抽取的 个题目的分值进行分类讨论，确定每种情况下答题累积得分不低于 分，利用独
立事件和互斥事件的概率公式可得出所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量 的所有可能取值为： 、 、 、 、 、 、 ，计算出随机变量 在不同
取值下的概率，可得出随机变量 的分布列，进而可求得 的值.
【小问 1 详解】
若甲 次答题累积得分不低于 分，则甲抽取的 个题目的分值可以是 、 、 ，
当甲抽取的 个题目的分值是 时，概率为 ，
要使得累积得分不低于 分，则 个题要全答对，所以，概率为 ；
当甲抽取的 个题目的分值是 时，概率为 ，
要使得累积得分不低于 分，则 个 分题要答对，概率为 ；
当甲抽取的 个题目的分值是 时，概率为 ，
要使得累积得分不低于 分，则 个 分题要答对，概率为 .
故甲 次答题累积得分不低于 分的概率为 .
【小问 2 详解】
的所有可能取值为： 、 、 、 、 、 、 ，
， ，
，
， ，
， ，
第 16页/共 19页
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以， .
19. 对于给定的椭圆 ，与之对应的另一个椭圆 且
，则称 与 互为共轭椭圆.已知椭圆 与椭圆 互为共轭椭圆，
是椭圆 的右顶点.
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）不过点 的直线 与椭圆 交于 、 ，且直线 与直线 的斜率之积为 .
①证明：直线 过定点.
②试问在 轴上是否存在点 ，使得直线 、 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，
请说明理由.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出关于 、 、 的方程组，解出 、 的值，即可得出椭圆 的标准 方程；
（2）①设点 、 ，将直线 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据
求出 的值，化简直线 的方程，可得出直线 所过定点的坐标；
②设点 ，利用韦达定理结合斜率公式化简 ，结合 为定值求出 值，即可结论.
【小问 1 详解】
由题意可得 ，解得 ， ，
第 17页/共 19页
故椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
①设 、 ，
联立 可得 ，
则 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
因为 ， ，
所以，
，
整理可得 ，即 ，解得 或 ，
若 ，则直线 的方程为 ，此时，直线 过点 ，不合乎题意，
所以， ，所以，直线 的方程为 ，则直线 过定点 ；
②由①可知， ， ，
第 18页/共 19页
设点 ，则 ， ，
所以，
，
要使得直线 、 的斜率之积为定值，只需 ，解得 ，
当 时， ；
当 时， .
故在 轴上存在点 ，使得直线 、 的斜率之积为定值，
当点 的坐标为 时，直线 、 的斜率之积为定值 ；
当点 的坐标为 时，直线线 、 的斜率之积为定值 .
第 19页/共 19页