内蒙古自治区通辽市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析

这是一份内蒙古自治区通辽市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析，共19页。试卷主要包含了 下列选项错误的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上.本试卷满分 150 分，考试时间 120
分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知 i 是虚数单位，复数 的实部为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. i
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘方运算及复数的概念计算即可.
【详解】易知 ，所以其实部为 .
故选：C
2. 已知 夹角为 ，且 ，则 等于（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】
故选：B
3. 设 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1 或 3
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【答案】C
【解析】
【分析】根据复数是纯虚数实部为 0，虚部不为 0，即可求得 的值.
【详解】复数 是纯虚数，
则 ，解得 .
故选：C.
4. 已知向量 ，则 在 上的投影向量的长度为（ ）
A B. C. 10 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】利用数量积公式及投影向量长度公式 计算即可.
【详解】由题可知 ， ，
则 在 上的投影向量的长度为 .
故选：B
5. 如图， 是水平放置的 的直观图，则 的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜二测画法得到三角形 为直角三角形， ，边长 ，
，然后即可求三角形的周长．
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【详解】
根据斜二测画法得到三角形 为直角三角形， ，
底边长 ，高 ，
所以 ，
直角三角形 的周长为 ．
故选：A．
6. 在 中，点 P 是 上一点，且 P 为靠近 A 点的三等分点，Q 是 中点， 与 交点为 M，
又 ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 、 向量都用 、 表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组可求 的取值.
【详解】因为 、 、 三点共线，点 是 中点，所以
,
又因为 是 上靠近点 三等分点，所以 ,
且因为 ，则 ,
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即 ,消 可解得 .
故选： .
7. 在△ABC 中，角 A，B，C 对边分别为 a，b，c， ，且 ，
则 （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得 ，利用平方的方法化简 ，求得 ，进而求
得 .
【详解】 ，
∴ ， ，
∴ ；
又知 ，平方可得 ，
∴ ，∴ .
故选：C
8. 下列选项错误的是（ ）
A. 复数 与 分别表示向量 与 ，则向量 表示的复数为
B. 若复数 满足 ，则 的最大值为
C. 若复数 ，满足 ，则
D. 若 是方程 的一个根，则
【答案】D
【解析】
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【分析】A 选项利用复数的几何意义即可判断；B 选项转化为原点到圆上点的距离的最值问题求解；C 选项
将 ， 用 表示即可求解；D 选项利用已知条件可写出方程的两个根，再利用韦达定理即可求解
.
【详解】对于 A 选项， 复数 与 分别表示向量 与 ，
， ， ，
向量 表示的复数为 ，故 A 正确；
对于 B 选项，设 ，
复数 满足 ， ，
在复平面内点 在圆 ： 上，
圆 的圆心 ，半径 ，
的几何意义为原点 到圆 上点的距离，
又 ， 的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C 选项， ，
， ，
，故 C 正确；
对于 D 选项， 是方程 的一个根，
方程的两个根分别为 ， ，
， ， ，故 D 错误.
故选：D.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
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9. 在 中， ， ， ，则角 的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦定理可求得 ，由 的范围可确定所有可能的取值.
【详解】由正弦定理得： ， ，
又 ， ， ， 或 .
故选：BC.
10. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（ ）
A. 圆柱和圆锥的体积之比为 3
B. 圆柱的底面半径和高之比为
C. 圆锥的母线和高之比为 2
D. 圆柱和圆锥的表面积之比为
【答案】ABC
【解析】
【分析】设圆柱和圆锥的底面半径为 ，高为 ，根据体积公式判断 A；求出圆锥的母线，
由侧面积相等得到 ，即可判断 B、C；再由表面积公式判断 D.
【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为 ，高为 ，则 ， ，
所以 ，故 A 正确；
圆锥 母线 ，又圆柱和圆锥的侧面积相等，所以 ，
所以 ，则 ，即圆柱的底面半径和高之比为 ，故 B 正确；
所以圆锥的母线 ，则圆锥的母线和高之比为 ，故 C 正确；
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圆柱 表面积 ，
圆锥的表面积 ，
所以 ，故 D 错误.
故选：ABC
11. 已知锐角 三个内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 ，c =2．则下列结论正确的
是（ ）
A. 的面积最大值为 2 B. 的取值范围为
C. D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 选项，由余弦定理和基本不等式求出面积的最大值；B 选项，由正弦定理得到 ，结
合平面向量数量积公式得到 ，根据 为锐角三角形得到
，从而得到 的取值范围；C 选项，由正弦定理和正弦和角公式可得；D 选项，变形得到
，由 ，求出答案.
【详解】A 选项，由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，由基本不等式得 ，当且仅当 时，等号成立，
此时 为锐角三角形，满足要求，
故 ，解得 ，故 ，A 错误；
B 选项，由正弦定理得 ，
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所以 ，
，
因为 为锐角三角形，所以 ， ，
解得 ，
则 ， ， ，B 正
确；
C 选项， ，
由正弦定理得 ，C 正确；
D 选项， ，
由 C 选项可知 ，所以 ，
故 ，D 正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）.
12. 已知球 的体积为 ，则球 的表面积为___________ ．
【答案】
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【解析】
【分析】求出球 的半径长，利用球体的表面积公式可求得球 的表面积.
【详解】设球 的半径长为 ，则该球的体积为 ，解得 ，
所以，球 的表面积为 .
故答案为： .
13. 如图，温州世纪广场的标志性建筑——“世纪之光”玻璃塔，用三片巨大的钢片表示三千年瓯越文明史，
造型摄取瓯江双塔、海上风帆、纪功柱于一体，象征着一座灯塔、一座丰碑、一盏明灯、一支火箭，浓缩
了瓯越文明的过去、今天和未来.为了测量塔高 AB，测量者选取了与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点
C 与 D，并测得在点 ， ， ，在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 45°，
则塔高 AB=______m
【答案】68
【解析】
【分析】求出 ，在 中，由正弦定理即可求解.
【详解】由题意可知 ，
在 中，因为 ， ，所以 .
在 中，由正弦定理得 ，
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所以 .
故答案为: .
14. 已知 所在平面内一点 满足 ，则点 是 的__________心
填“内”、“外”、“重”、“垂” ，若 的内角 ，边 ，则 的最大值是
__________．
【答案】 ①. 垂 ②.
【解析】
【分析】根据向量数量积为零可得 ， ，所以点 是 的垂心；利用向量的夹角
和向量数量积的运算，化简得 ，由 得结论.
【详解】 ， ，即 ， ，
同理可得： ， ， 是 的垂心，
延长 交 于 ，延长 交 于 ，则 ， ，
， ，
，
显然当 与 重合时， 取得最大值 ，
故 的最大值为 ．
故答案为：垂，
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【点睛】关键点睛：本题第二空解决的关键是，利用向量数量积的定义，同时结合图形将所求转化为
的最大值，从而得解.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15. 已知 ，复数 ．
（1）若 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求 的取值范围；
（2）若 z 满足 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出复数 对应点的坐标，进而列出不等式组求解.
（2）利用给定条件，结合复数相等求出 ，再利用复数除法及模的意义求解.
【小问 1 详解】
复数 在复平面内对应的点为 ，
由 z 在复平面内对应的点位于第四象限，得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
【小问 2 详解】
依题意， ，
又 ，则 ，解得 ，
，
所以 .
16. 已知 ， .
（1）若 ， ，且 、 、 三点共线，求 的值.
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（2）当实数 为何值时， 与 垂直?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出 、 的坐标，由 、 、 三点共线，可得 与 共线，列出方程即可得到
的值；
（2）依题意可得 ，根据数量积的坐标表示计算可得．
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 、 、 三点共线，
所以 ，
所以 ，解得 .
【小问 2 详解】
因为 ，
，
又 与 垂直，
，解得 ．
17. 已知函数 的部分图象如图所示．
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（1）求函数 的解析式；
（2）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，且 的
面积为 ，求 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据图形求出最小正周期可求得 ，代入点 可求得 ；
（2）根据 求得 ，根据面积求出 ，即可由余弦定理求得 .
【详解】解：（1）据图象可得 ，故 ，
由 得： ．
由 得： ．
由 知， ，
，解得 ，
；
（2） ， ，
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， ，
， ，
由题意得 的面积为 ，解得 ，
由余弦定理得 ，解得： .
18. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．且 ，
（1）求 A 的值；
（2）若 ，求 周长的最大值；
（3）设内角 A 的平分线交 BC 于点 D， ，求 面积的最小值.
【答案】（1） ；
（2）6； （3） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解.
（2）由（1）的信息，利用基本不等式求出最大值.
（3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求出最小值.
【小问 1 详解】
在 中，由 及正弦定理得 ，
即 ，由余弦定理得 ，而 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，而 ，
则 ，解得 ，当且仅当 时取等号，
所以 周长的最大值为 6.
【小问 3 详解】
由内角 A 的平分线交 BC 于点 D， ， 得
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，
即 ，
因此 ，即 ，当且仅当 时取等号，
则 ，所以 面积的最小值为 .
19. 已知 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的伴随向量，
同时称函数 为向量 的伴随函数.
（1）设函数 ，试求 的伴随向量 ；
（2）记向量 的伴随函数为 ，求当 且 时， 的值；
（3）已知将（2）中的函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，再把整个图象向右平移
个单位长度得到 的图象，若存在 ，使 成立，求 a 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由函数 的伴随向量的定义可求得结果，
（ 2） 由 定 义 求 出 ， 由 得 ， 再 由 同 角 三 角 函 数 的 关 系 可 求 得
，然后由 化简可得答案，
（3）先利用三角函数图象变换规律求出 ，由 可求得 ，令 ，则
可化为 ，然后利用二次函数的性质讨论可求得结果.
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【小问 1 详解】
，
所以 .
【小问 2 详解】
依题意 ，
由 得 ，
，所以 ，
所以 .
【小问 3 详解】
将 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，得 ，
再把整个图象向右平移 个单位长度，得 ，
所以 ，
若 ，则 ，所以
令 ，则 可化为 ，
即 ，
因为函数 是开口向上，对称轴为 的二次函数，
所以 时，函数 单调递减； 时，函数 单调递增，
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所以 ，
又当 时， ；当 时， ，
所以 ；
因为存在 ，使 成立，
所以存在 使 成立，
因此只需 . -
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合问题，考查三角函数图象变换规律，考查三角函数恒等变
换公式的应用，解题的关键是对三角函数恒等变换公式的正确应用，考查计算能力和转化能力，属于较难
题.
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