专题01 相交线与平行线-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲+练习（人教版2024）

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题型一：根据平行线的性质探究角的关系
1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”．
（1）如图1，形中，若，，则 ；
（2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ．
【答案】
【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系：
（1）作，则，根据两直线平行、内错角相等，可得，，由此可解；
（2）作交于点K，根据两直线平行、同位角相等，可得，进而可得，同（1）可证，再利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，作，
，，
，
，，
，
故答案为：60；
（2）如图，作交于点K，
，
，
，
，
，
同（1）可得，
，
即，
故答案为：．
2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题：
(1)如图1，若，则，你能说明理由吗？
(2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明
【答案】(1)理由见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答；
（2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答．
【详解】（1）解：能，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，，
，
，
．
（2）解：，证明如下：
如图，过点作，
，
，
，，
，
，
，
又，
．
3．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．
(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)不成立，，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可；
（2）同（1）即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
过点作，
，
，
，，
，
．
（2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下：
过点作．
，
∴
，
，
，即．
4．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D．
(1)若，求的度数；
(2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义；
（1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论；
（2）先证明，，，再进一步可得结论.
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分交于点C、平分交于点D，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵BD平分，
∴，
∴．
5．（23-24七年级下·辽宁·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分
(1)如图1，当时， °；
(2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N．
①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系；
②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）．
【答案】(1)55
(2)①，②或
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键．
（1）结合题目条件，求出，继而得解；
（2）①过点P作，则，由平行线的性质及角的关系得到；
②分和两种情况，画图求解即可；
【详解】（1）∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：55；
（2）①过点P作，如图，
则
∴，
∵，
∴，
即，
∴
∵，
∴，
∴，
②当时，如图，
∵，
∴
∴，
∵平分
∴
∵，
∴，
当时，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵平分
∴
∵
∴，
∵，
∴
∴
．
故∠PNF的度数为或．
题型二：根据平行线的性质求角的度数
6．（22-23七年级下·甘肃白银·期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，则，再根据平行线的性质可以求出、，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
．
，
．
．
．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键．
7．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．不能确定
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质和垂直的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．依题意得，再根据在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，因此有以下两种情况：①当为锐角时，②当为钝角时，依题意画出图形，根据平行线的性质及垂直的定义即可得出的度数．
【详解】解：比的3倍少，
，
在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，
有以下两种情况：
①当为锐角时，如图1所示：，，
，
，
，
解得：，
②当为钝角时，如图2所示：，，
，
，
，
，
解得：．
综上所述：的度数为或．
故选：C
8．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质和垂直的定义得到，，，设，表示出和，利用平角的定义列出方程解出，可判断①；由可判断②；根据角平分线的定义，结合题意可判断③和④，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，
，
解得：，即，故①正确；
，
，故②正确；
，
若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故③不正确；
，
若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故④不正确；
综上所述，正确结论有①②，正确结论的个数是2．
故选：B．
9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键；由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求得答案．
【详解】解：如图所示，延长交于点F，取直线上一点N，点N位于点A右侧，
，
，
，
，
，
故答案为：30．
10．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是折叠的性质、角度的运算、平行线的性质，解题关键是熟练掌握折叠的性质．
先根据折叠性质得出，再计算出的角度，再由平行线的性质即可得解．
【详解】解：根据折叠性质可得：，
，
，
长方形中，，
．
故答案为：．
11．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，点B、C在直线上，，平分，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，先求解，，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
12．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且．
(1)______°（用含t的式子表示）；
(2)当时，求的度数；
(3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是定值；
【分析】本题主要考查平行线的性质和余补角和，
（1）根据题意得，则，
（2）过点C作，则，当时，，则，利用角度和差有即可；
（3）设A灯转动时间为t秒，则，，根据平行线的性质得，结合垂直得，则有即可．
【详解】（1）解：根据题意得，则，
故答案为：；
（2）解：过点C作，如图，
则，
当时，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设A灯转动时间为t秒，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
即的比值是一个定值，这个定值为．
13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【问题驱动】已知：，直线分别交直线、于、，，垂足为，平分．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图1，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）；
【拓广探究】
（3）将图1中的直线绕点旋转至图2的位置，其他条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（4）将图1中的直线绕点旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数为________（用含有的式子表示，不必说明理由）；
（5）在（4）问的条件下，过点作交射线于点，过作交直线于．请在图3中画出图形；若，则．（填“>”“”“