湖北省武汉市部分学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试卷

这是一份湖北省武汉市部分学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试卷，共25页。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算 (-2)2的结果是( )
A. -2B. 2C. -4D. 4
2.下列各式计算正确的是( )
A. 8 3-2 3=6B. 5 3+5 2=10 5
C. 4 3×2 2=8 6D. 4 3÷2 3=2 3
3.要使二次根式 x-8有意义，则x的取值范围为( )
A. x≠8B. x>-8C. x≥8D. x≤8
4.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,4)，点C是线段AB的中点，则线段OC的长为( )
A. 32B. 2C. 52D. 5
5.如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连结BD，则BD的长为( )
A. 2B. 1C. 2 3D. 3
6.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 5，6，7C. 5，11，12D. 5，12，13
7.如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB=∠DAC=∠ECB=90°，∠D=∠E=45°，S△ADC+S△BCE=128，则AB的值为( )
A. 16
B. 32
C. 8 2
D. 16 2
8.设5- 10的整数部分为a，小数部分为b，则(4a+ 10)b的值是( )
A. 6B. 2 10C. 12D. 9 10
9.如图，△ABC和△DCB都是直角三角形，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，AC、BD相交于点O，如果∠DBC=30°，那么OC：AC的值是( )
A. 33B. 2- 3C. 3-12D. 3-1
10.在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF= 22AB，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF=12S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是( )
A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a-2|+ a2-8a+16= ______．
12.对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b= a+ba-b，如3※2= 3+23-2= 5.那么8※12=______．
13.如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是______cm．
14.已知，如图所示，△ABC中，AB=AC，AD//BC，且BD=7，CD=3，∠ACD=60°，则线段AD的长为______．
15.已知：a+b=8，则 a2+4+ b2+16的最小值是______．
16.如图，在Rt△ABC中，CA=CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM.则下列结论中：
①BF=CE；
②∠AEM=∠DEM；
③AE-CE= 2ME；
④DE2+DF2=2DM2；
⑤若AE平分∠BAC，则EF：BF= 2：1；
正确的有______.(只填序号)
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
化简：
(1)-2 27×3 6；
(2) 20+ 5 5- 13× 6-( 2-1)( 2+1)．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：x2-4x+4x-1÷(3x-1-x-1)，其中x= 2-2．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(0,2)，B(2,-2)，C(4,-1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标为______；
(2)在图中找一点D，使AD= 26，CD= 17．
20.(本小题8分)
定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= 3，AC= 7.求证：△ABC是“奇异三角形”；
(2)如图2，若等腰△DEF是“奇异三角形”，DE=DF=20.求EF的长．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C为直角，如图1，则有结论：a2+b2=c2；当∠C为锐角(如图2)或钝角(如图3)时，请你完成下列探究：
(1)分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下a2+b2与c2的大小关系；
(2)任选(1)中的一个猜想进行证明．
22.(本小题10分)
阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，∵( a- b)2=a-2 ab+b≥0，∴a+b≥2 ab，当且仅当a=b时取等号.请利用上述结论解决以下问题：
(1)当x>0时，求x+1x的最小值；
(2)当x<0时，求x+1x的最大值；
(3)当x>0时，求y=x2+3x+16x的最小值．
23.(本小题12分)
我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形ABCD中，AB=BC=4，∠ABC=45°，连结AC、BD，若∠DAC=90°，AC=AD，求BD的长．
(1)布丁思考后，如图2，以AB以边向外作等腰直角△ABE，并连结CE，他认为：△ABD≌△AEC.你同意他的观点吗？请说明理由．
(2)请你帮布丁求出BD的长．
【探索二】如图3，在四边形ABCD中，AC=AD，∠DAC=100°，∠ABD=10°，∠DBC=70°，若BC=4，求BD的长．
24.(本小题10分)
如图，已知A(4,m)为正比例函数y=34x的图象上一点，AB⊥x轴，垂足为点B．
(1)求m的值；
(2)点P从O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动.设点P的运动时间为t(s)．
①过点P作PQ⊥OA交直线AB于点Q，若△APQ≌△ABO，求t的值；
②在点P的运动过程中，是否存在这样的t，使得△POB为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： (-2)2=2．
故选：B．
直接利用二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、原式=6 3，所以A选项的计算错误；
B、5 3与5 2不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式=8 3×2=8 6，所以C选项的计算正确；
D、原式=6 2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意得：x-8≥0，
即x≥8．
故选：C．
根据二次根式有意义的条件，即可求解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,4)，点C是线段AB的中点，
∴点B的坐标为(32,2)，
∴OC= (32)2+22=52．
故选：C．
根据中点坐标公式求出点C的坐标，再根据两点间线段长度公式即可求得答案．
本题主要考坐标与图形的性质，熟练掌握中点坐标公式及两点间线段长度公式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=2．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD= BE2-DE2= 42-22=2 3．
故选：C．
根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．
本题考查了勾股定理，等边三角的性质，熟练运用勾股定理是本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、52+62≠72，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、52+112≠122，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、122+52=132，能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠DAC=∠ECB=90°，∠D=∠E=45°，
∴AD=AC，BC=CE，
∵S△ADC+S△BCE=128，
∴AC2+BC2=256，
∵∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2=16，
故选：A．
根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式，根据勾股定理可求AC2+BC2的值即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
8.【答案】A
【解析】解：∵3< 10<4，
∴-4<- 10<-3，
∴1<5- 10<2，
∴a=1,b=5- 10-1=4- 10，
∴(4a+ 10)b
=(4×1+ 10)(4- 10)
=16-10
=6，
故选：A．
先判断1<5- 10<2得到a=1,b=5- 10-1=4- 10再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练的求解a，b的值是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，过点O作OE⊥BC于点E，
则∠OEB=∠OEC=90°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，BC= AB2+AC2= 2AC，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴OE=CE，
∴OC= OE2+CE2= 2OE，
设OE=CE=a，
则OC= 2a，
∵∠DBC=30°，
∴OB=2OE=2a，
∴BE= OB2-OE2= (2a)2-a2= 3a，
∴BC=BE+CE=( 3+1)a，
∴AC= 22BC= 22×( 3+1)a=( 6+ 2)a2，
∴OCAC= 2a( 6+ 2)a2= 3-1，
故选：D．
过点O作OE⊥BC于点E，证△OCE是等腰直角三角形，得OE=CE，OC= 2OE，设OE=CE=a，则OC= 2a，再由勾股定理得BE= 3a，然后求出AC=( 6+ 2)a2，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论．
解：连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=12AB.∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠DCBAD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．
∵AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，
∴CE=BF．
∵AC=AE+CE，
∴AC=AE+BF．
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC= 22AB，
∴AE+BF= 22AB．
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形．
∵CE2+CF2=EF2，
∴AE2+BF2=EF2．
∵S四边形CEDF=S△EDC+S△EDF，
∴S四边形CEDF=S△EDC+S△ADE=12S△ABC．
∴正确的有①②③④．
故选D．
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明△ADE≌△CDF是关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵由图可知，2∴原式=a-2+ (a-4)2
=a-2+4-a
=2．
故答案为：2．
先根据点a在数轴上的位置判断出其大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．
本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
12.【答案】- 52
【解析】解：∵a※b= a+ba-b，
∴8※12= 8+128-12=2 5-4=- 52．
故答案为：- 52．
根据所给的式子求出8※12的值即可．
本题考查的是算术平方根，根据题意得出8※12= 8+128-12是解答此题的关键．
13.【答案】4 5
【解析】解：将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，
∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm，
∴AB= 82+42=4 5cm．
故蚂蚁沿正方体的最短路程是4 5cm．
根据“两点之间线段最短”，将点A和点B所在的各面展开，展开为矩形，AB为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离．
本题的关键是将蚂蚁所走的最短路程转化为求矩形的对角线的长．
14.【答案】 13
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BA的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
AD//BC，
∴∠FAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，
∴∠FAD=∠CAD，AD是∠FAE的角平分线，
∵DF⊥FA，DE⊥AC，
∴∠AFD=∠AED=90°，
在△DAF和△DAE中，
∠FAD=∠CAD∠AFD=∠AEDAD=AD，
∴△DAF≌△DAE (AAS)，
∴AF=AE，DF=DE，
∵CD=3，∠ACD=60°，
∴cs∠ACD=cs60°=CECD=12，即CE3=12，
∴CE=32，
∴DE= CD2-CE2=3 32，
∴DF=DE=3 32，
∵BD=7，∠F=90°，
∴BF= BD2-DF2= 72-(3 32)2=132，
设AB=AC=x，则AE=AF=x-32，
∴BF=AB+AF=x+x-32=132，解得：x=4，
∴AF=52，
∴AD= AF2+DF2= (52)2+(3 32)2= 524= 13．
故答案为： 13．
过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BA的延长线于点F，先利用全等三角形的判定证得△DAF≌△DAE (AAS)，利用三角函数值求出CE=32，利用勾股定理可得DF=DE=3 32，BF=132，设AB=AC=x，可列BF=2x-32=132，进而可得AF=52，进而利用勾股定理即可求解．
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解直角三角形，角平分线的性质，特殊的三角函数值，平行线的性质，解题的关键是综合运用所学知识，学会利用辅助线解决问题，难度较大．
15.【答案】10
【解析】解：∵a+b=8，
∴ a2+4+ b2+16
= (8-b)2+4+ b2+16
= (8-b)2+(2-0)2+ (0-b)2+(4-0)2，
如图，这个式子可以理解为在平面直角坐标系中，x轴上的点P(b,0)到B(8,2)与A(0,4)的距离之和，
作点A关于x轴的对称点C(0,-4)，连接BC，
则BC与x轴的交点即为点P，此时 a2+4+ b2+16的值最小，最小值为BC的长，
由两点之间的距离公式得：BC= (0-8)2+(-4-2)2=10，
即 a2+4+ b2+16的最小值为10，
故答案为：10．
将 a2+4+ b2+16变形为 (8-b)2+(2-0)2+ (0-b)2+(4-0)2，从而转化为点P(b,0)到B(8,2)与A(0,4)的距离，再利用几何法求最值即可得．
本题主要考查了轴对称的性质、两点之间的距离公式等知识点，把代数问题转化成几何问题是解题关键．
16.【答案】①②③④⑤
【解析】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠BFD=90°=∠AEC，AC=BC，
∴△BCF≌△CAE (AAS)，
∴BF=CE，故①正确；
由全等可得：AE=CF，BF=CE，
∴AE-CE=CF-CE=EF，
连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
∴CM=12AB=BM=AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD=∠CMD，∠BDF=∠CDM，
∴∠DBF=∠DCM，
又BM=CM，BF=CE，
∴△BFM≌OCEM (SAS)，
∴FM=EM，∠BMF=∠CME，
∵∠BMC=90°，
∴∠EMF=90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴EF= 2EM=AE-CE，故③正确，∠MEF=∠MFE=45°，
∵∠AEC=90°，
∴∠MEF=∠AEM=45°，故②正确，
设AE与CM交于点N，连接DN，
∵∠DMF=∠NME，FM=EM，∠DFM=∠DEM=∠AEM=45°，
∴△DFM≌△NEM (ASA)，
∴DF=EN，DM=MN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN= 2DM，而∠DEA=90°，
∴DE2+DF2=DN=2DM2，故④正确；
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠CAE=22.5°，∠ADE=67.5°，
∵∠DEM=45°，
∴∠EMD=67.5°，即DE=EM，
∵AE=AE，∠AED=∠AEC，∠DAE=∠CAE，
∴△ADE≌△ACE (ASA)，
∴DE=CE，
∴△MEF为等腰直角三角形，
∴EF= 2EM，
∴EFBF=EFCE=EFDE= 2EMDE= 2，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
证明△BCF≌△CAE，得到BF=CE，可判断①；再证明△BFM≌OCEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF= 2EM，可判断③，同时得到∠MEF=∠MFE=45°，可判断②；再证明△DFM≌ONEM，得到ODMN为等腰直角三角形，得到DN= 2 DM，可判断④；根据角平分线的定义可逐步推断出DE=EM，再证明△ADE≌△ACE，得到DE=CE，则有EFBF=EFCE=EFDE= 2EMDE= 2．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造全等三形．
17.【答案】解：(1)-2 27×3 6
=-6 3×3 6
=-18 3×6
=-54 2；
(2) 20+ 5 5- 13× 6-( 2-1)( 2+1)
= 4+1- 2-(2-1)
=2+1- 2-1
=2- 2．
【解析】(1)根据二次根式的乘法运算法则即可求解；
(2)根据二次根式的混合运算法则即可求解
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式=(x-2)2x-1÷(3x-1-x2-1x-1)
=(x-2)2x-1÷4-x2x-1
=(x-2)2x-1⋅x-1-(x+2)(x-2)
=-x-2x+2
=2-x2+x，
把x= 2-2 代入得：
原式=2-( 2-2)2+ 2-2
=4- 2 2
=2 2-1．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】(-4,-1)
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(-4,-1)；
(2)如图所示，点D即为所求．
(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
(2)利用勾股定理，结合网格求解即可．
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了勾股定理和勾股定理逆定理．
20.【答案】(1)证明：如图1，取BC的中点D，连接AD，

则BD=12BC，
∵∠ABC=90°，AB= 3，AC= 7，
∴BC= AC2-AB2= ( 7)2-( 3)2=2，
∴BD=12BC=1，
∴AD= AB2+BD2= ( 3)2+12=2，
∴BC=AD，
∴△ABC是“奇异三角形”；
(2)解：分两种情况：
①如图2，当腰上的中线FG=DE时，则FG=DF=20，
过F作FG⊥DE于点G，

∵DE=DF=20，
∴DG=EG=12DE=10，DH=GH=12DG=5，
∴EH=EG+GH=10+5=15，
在Rt△DFH中，由勾股定理得：FH= DF2-DH2= 202-52=5 15，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF= EH2+FH2= 152+(5 15)2=10 6；
②如图3，当底边上的中线DM=EF时，则DM⊥EF，且DM=EF=2FM，

设FM=x，DM=EF=2x，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：x2+(2x)2=202，
解得：x=4 5(负值已舍去)，
∴EF=2x=8 5；
综上所述，EF的长为10 6或8 5．
【解析】(1)取BC的中点D，连接AD，则BD=12BC，由勾股定理得BC=2，则BD=12BC=1，再由勾股定理得AD=2，则BC=AD，然后由“奇异三角形”的定义即可得出结论；
(2)分两种情况，①当腰上的中线FG=DE时，则FG=DF=20，过F作FG⊥DE于点G，由等腰三角形的性质和勾股定理求出FH、EF的长即可；②当底边上的中线DM=EF时，则DM⊥EF，且DM=EF=2FM，由勾股定理求出DM的长，即可得出结论．
本题属于三角形综合题，考查了新定义“奇异三角形”、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)猜想：若∠C为锐角时，a2+b2>c2；若∠C为钝角时，a2+b2(2)当∠C为锐角时，a2+b2>c2，证明如下：
如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD=a-x，
在直角三角形ACD中，AD2=b2-x2，
在直角三角形ABD中，AD2=c2-(a-x)2，
∴b2-x2=c2-(a-x)2，即a2+b2=c2+2ax，
∵a>0，x>0，
∴a2+b2>c2．
当∠C为钝角时，a2+b2如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，CM=y，则BM=a+y，
在直角三角形ACM中，AM2=b2-y2，
在直角三角形ABM中，AM2=c2-(a+y)2，
∴b2-y2=c2-(a+y)2，即a2+b2=c2-2ay，
∵a>0，y>0，
∴a2+b2【解析】(1)若∠C为锐角时，a2+b2>c2；若∠C为钝角时，a2+b2(2)当∠C为锐角时，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD=a-x，利用AD2=b2-x2，同时，AD2=c2-(a-x)2，即可证明；
当∠C为钝角时，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，CM=y，则BM=a+y，利用AM2=b2-y2，同时，AM2=c2-(a+y)2，即可证明．
本题考查了勾股定理在实际中的应用能力，在图形中构造出直角三角形是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)当x>0时，x+1x≥2 x×1x=2，
∴当x>0时，x+1x的最小值是2；
(2)当x<0时，x+1x=-(-x-1x)，
-x-1x≥2 (-x)×(-1x)=2，
∴-(-x-1x)≤-2，
∴当x<0时，x+1x的最大值是-2；
(3)y=x2+3x+16x=x+3+16x，
x+16x≥2 x×16x=8，
∴x+16x的最小值是8，
∴x+3+16x的最小值是11，
∴当x>0时，y=x2+3x+16x的最小值是11．
【解析】(1)根据阅读材料计算；
(2)把x+1x化为-(-x-1x)，根据阅读材料计算；
(3)把x2+3x+16x化为x+3+16x，根据阅读材料计算．
本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
23.【答案】解：【探索一】(1)同意．
理由：∵以AB为边向外作等腰直角三角形ABE，AE=AB，∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AE∠BAD=∠CAEAD=AC，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∵BE= 2AB=4 2，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
∴CE= BE2+BC2= 32+16=4 3，
∴BD=4 3；
【探索二】作∠BAE=100°，且使AE=AB，

∴∠AEB=∠ABE=40°，
∵∠CAD=100°，
∴∠BAD=∠EAC，
又∵AE=AB，AC=AD，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠AEC=10°，
∴∠BEC=∠BEA-∠AEC=40°-10°=30°，
∵∠ABD=10°，∠DBC=70°，∠ABE=40°，
∴∠EBC=120°，
∴∠BCE=30°，
∴BC=BE=4，
过点B作BF⊥EC于点F，则EF=CF，
∴BF=12BC=2，
∴CF= BC2-BF2=2 3，
∴CE=2CF=4 3，
∴BD=4 3．
【解析】【探索一】(1)根据SAS可证明△ABD≌△ACE；
(2)由全等三角形的性质得出BD=CE，由勾股定理可求出答案；
【探索二】作∠BAE=100°，且使AE=AB，证明△ABD≌△AEC(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CE，∠ABD=∠AEC=10°，求出BC=BE=4，过点B作BF⊥EC于点F，则EF=CF，得出BF=12BC=2，由勾股定理可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24.【答案】解：(1)∵A(4,m)为正比例函数y=34x的图象上一点，
∴m=34×4=3，
即m的值为3；
(2)①∵A(4,3)，
∴AB=3，OB=4，
∴OA= 32+42=5，
要使APQ≌△ABO，则必须有AP=AB=3，
如图1，当点P在线段OA上时，

∴OP=OA-AP=5-3=2，
∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t(s)，
∴OP=2t，
∴2t=2，
解得：t=1，
即当t的值为1s时，APQ≌△ABO；
当点P在OA的延长线上时，如图2，

∴OP=OA+AP=5+3=8，
∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t(s)，
∴OP=2t，
∴2t=8，
∴t=4，
即当t的值为4s时，APQ≌△ABO；
综上，t的值为4s或1s，APQ≌△ABO；
②存在这样的t，使得△POB为等腰三角形；理由如下：
当PB=OP时，点P在线段OB的垂直平分线上，如图3，

∴OD//OB，点D是OB的中点，
∴点P是OA的中点，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABO=90°，
∴OP=PB=12OA，
∵OA=5，
∴OP=PB=52，
∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t(s)，
∴OP=2t，
∴2t=52，
∴t=54=1.25，
即t的值为1.25s；
当OP=OB时，如图4，

∵OB=4，
∴OP=4，
∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t(s)，
∴OP=2t，
∴2t=4，
∴t=2，
即t的值为2s；
当BP=BO时，过点B作BH⊥AB，如图5，

∵SS△ABO=12OA⋅BH=12AB⋅OB，AB=3，OB=4，OA=5，
∴5BH=12，
∴BH=125，
∴OH= OB2-BH2= 42-(125)2=165，
∴OP=2OH=325，
∵点P从O出发以每秒2个单位的速度沿射线OA方向运动，设点P的运动时间为t(s)，
∴OP=2t，
∴2t=325，
∴t=3210=3.2，
即t的值为3.2s．
综上，t的值为1.25s或2s或3.2s．
【解析】(1)把A(4,m)代入y=34x即可得到结论；
(2)①根据勾股定理得到OA=5，根据全等三角形的性质得到则AP=AB=3.当点P在线段OA上时；当点P在线段OA的延长线上时，解方程即可得到结论；
②若PB=OP，若OP=OB，若BP=BO，解方程即可得到结论．
本题属于一次函数综合题，主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，平面直角坐标系与等腰三角形，平面直角坐标系与全等三角形，掌握平面直角坐标系与几何图形的关系是解题的关键．