黑龙江省牡丹江市名校协作体2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份黑龙江省牡丹江市名校协作体2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A. 、、三点共线B. 、、三点共线
C. 、、三点共线D. 、、三点共线
2. 在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ）
A. B. C. D.
3. 在正方形中， 分别为，的中点，则不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）

A. 1B. 2C. 4D.
6. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
10. 已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A. 若，则点为的外心（外接圆圆心）
B. 若，则动点的轨迹一定通过的重心
C. 若，，分别表示，的面积，则
D. 若，则点是的内心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则________．
13. 已知向量，，且与夹角为钝角，求实数的取值范围________．
14. 平面四边形中，，，，，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5分小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求.
16. 已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期及其对称中心；
（2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．
17. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求函数的伴随向量；
（2）记向量伴随函数为，求当且时的值.
18. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点．
（1）令，，用，表示；
（2）求线段长．
19. 已知，，分别为锐角内角的对边，，，（为外接圆的半径）.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
高一学年下学期3月份考试
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A. 、、三点共线B. 、、三点共线
C. 、、三点共线D. 、、三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线则判断即可.
【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；
对B，因，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；
对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；
对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.
故选：C
2. 在中，内角所对各边分别为，且，则角（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可.
【详解】因为，且由余弦定理得，
所以，解得，而在中，，则，故A正确.
故选：A．
3. 在正方形中， 分别为，的中点，则不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，一一判断各选项，可得答案.
【详解】由题意可得,A正确；
,故B正确；
由 , ,
可得,
故,故C错误，D正确；
故选：C
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.
【详解】由，得，则，
所以.
故选：D
5. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）

A. 1B. 2C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【详解】因为是的中点，且，
所以.
因为三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
6. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
7. 已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.
【详解】因为，又，
所以.
所以：，
所以.
故选：A
8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解.
【详解】取中点为，连接，显然，
所以
.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，必成立，A正确；
对于B，若，则反向，，B正确；
对于C，当时，，，此时未必共线，C错误.
对于D，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，D错误；
故选：AB
10. 已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案.
【详解】
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以，
所以，即，所以
，故B正确；
对于C选项，设，
由（1）得，所以，
又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点四等分点，故C错误；
对于D，，设，则，
所以，又三点共线，所以，解得，
所以为中点，所以，故D正确，
故选：ABD.
11. 点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A. 若，则点为的外心（外接圆圆心）
B. 若，则动点的轨迹一定通过的重心
C. 若，，分别表示，的面积，则
D. 若，则点是的内心
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；D选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上.
【详解】A选项，，即，故⊥，
同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误；
B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接，
则，，
则，
故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确；
C选项，如图，分别为的中点，
，
则，故，
所以，
故，C正确；
D选项，分别表示方向上的单位向量，
故，
，故⊥，
由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，
则点是的内心，D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则________．
【答案】##-1.5
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示进行计算．
【详解】由题意，．
故答案为：
13. 已知向量，，且与夹角为钝角，求实数的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.
【详解】向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）.
当时，则，解得.
当当反向共线时，，解得.
综上所得，求实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 平面四边形中，，，，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可知，由可确定点在以为直径的圆的劣弧上，进而根据圆的性质，当点在的中点时，最小，进而可得.
【详解】
因，，，故，
故，得，
又，故点在以为直径的圆的劣弧上，
由圆的性质可知，当时，在方向上的投影最小，此时最小，
过作交于，易得，故在方向上的投影最小为，
故此时.
故答案为：
四、解答题：本题共5分小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，满足，，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得；
（2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【小问1详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，
∴，
∴；
16. 已知向量，，函数．
（1）求的最小正周期及其对称中心；
（2）若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小正周期：；对称中心：
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入计算，结合三角恒等变换公式化简，即可得到的解析式，从而得到结果；
（2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.
【小问1详解】
，
的最小正周期.
令，解得，则对称中心为
【小问2详解】
由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图像与直线恰有两个交点，
令，
做出的图像与直线，如图.
由图知，当时，的图像与直线有两个交点.
17. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求函数的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式以及伴随向量的定义即可求解.
（2）根据伴随函数的定义可知，利用同角关系以及余弦的和差角公式即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
,由得，故因此
18. 如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点．
（1）令，，用，表示；
（2）求线段的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算求解；
（2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得．
【小问1详解】
∵，分别为，的中点，
∴；
【小问2详解】
设，
∵，分别为，的中点，
所以，
因三点共线，三点共线，
所以，解得，
即，
由已知与平行且相等，因此是平行四边形，
所以，是等边三角形，
所以．
19. 已知，，分别为锐角内角的对边，，，（为外接圆的半径）.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的特征得出，从而由数量积与模长关系计算可得，再构造，利用数量积公式计算并确定的夹角即可证明；
（2）由条件及数量积的运算律、辅助角公式得出，利用角的关系确定的范围结合余弦函数的单调性得出值域即可.
【小问1详解】
由，即，
所以，
即，
又，
因为，所以，
所以，
令与夹角为，则，即，
即，得证；
【小问2详解】
因，，则，即，
，
其中，，且为锐角，故，
由可得，
则，.
又由解得
因为，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以，则，
于是，
即的最小值为.