黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题（Word版附解析）

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考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分．考试时
间为 120 分钟；
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单选题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知复数 ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】计算出 ，则可选出答案.
【详解】 ，
所以复数 z 在复平面内对应的点为 ，在第二象限.
故选：B
2. 已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标运算公式直接求解即可.
【详解】因为向量 ， ，
所以 ，得 .
故选：C
3. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （
）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理即可得到答案.
【详解】由正弦定理 ，得 .
故选：A.
4. 如图，已知 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．
【详解】由 ，得 ，而 ，
所以 .
故选：B
5. 已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 上的投影向量等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用数量积的运算得到 ，再利用投影向量的定义，即可求解.
【详解】因为 ， ，则 ，
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即 得到 ，
所以 在 上的投影向量是 ，
故选：C.
6. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 400 米，一艘船从河岸的 地出发，向河对岸航行．已知船在
静水中的航行速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ，船的速度与水流速度的
合速度为 ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直 B.
C. D. 该船到达对岸所需时间为 3 分钟
【答案】C
【解析】
【分析】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求 、合速度 以及渡河时间.
【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度 应斜向上游，船头方向与水
流方向不垂直，所以 A 选项错误.
设船在静水中的速度 与水流速度 的夹角为 ，因为船的实际航线垂直河岸，所以 、 与合速度 构
成直角三角形，根据三角函数关系可得 .
已知 ， ，则 ，即 ，根据诱导公式，可得
，所以 ，即 ，B 选项错误.
由 、 与合速度 构成直角三角形，根据勾股定理可得 .
将 ， 代入，可得 ，C 选项正确.
河宽 米 千米，合速度 ，可得 .
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将 换算为分钟，所以 分钟 分钟，D 选项错误.
故选：C.
7. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且 的外接圆直
径为 4，则 周长的最大值为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，求出角 ，再结合正弦定理求出边 ，最后根据三角
函数的性质求出 周长的最大值．
【详解】已知 ，由正弦定理可得 ， ， ．
将其代入已知条件可得: ．
因为 ，那么 ．
则 ，移项可得 ．
因为 ，所以 ，两边同时除以 可得 ．
又因为 ，所以 ．
已知 的外接圆直径为 ，即 ，由正弦定理可得 ．
， ．且 ．
则 的周长 ．
根据两角差的正弦公式和辅助角公式，可得：
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因为 ，所以 ．
当 ，即 时， 取得最大值 ．
此时 周长的最大值为 ．
故选：Ｂ．
8. 在 中，已知 ， ，若点 为 的外心，点 满足 ，则
（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】将 用 与 表示出来，再利用外心的性质求出 与 ，最后根据向量数量
积的运算求出 ．
【详解】已知 ，即 ．
根据向量加法的三角形法则可得 ，将 代入可得：
设 为 中点，因为点 为 的外心，则 ，即 ．
又因为 ．
由于 ，且 ，则 ．
已知 ，所以 ．
同理，设 为 中点，则 ．
因为 ，且 ，所以 ．
已知 ，所以 ．
将 代入 可得：
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故选：A．
二、多选题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 且 ，则
C. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 的充要条件
D. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 是等腰三角
形
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项零向量和任意向量平行，若 ，即便 且 ， 与 也不一定平行．
B 选项 可化为 ，这只能说明 与 垂直，不能得出 ．
C 选项正弦定理 ，大角对大边， 则 ，能推出 ；反之也成立，
所以是充要条件．
D 选项由正弦定理把 化为 ，因为 ，所以 或
，三角形可能是等腰或直角三角形．
【详解】当 时，对于任意向量 和 ，都有 且 ，但此时 与 不一定平行．所以 选项
错误．
由 可得 ，根据向量数量积的分配律，即 ．
当 时，只能说明 与 垂直或者 ， 选项错误．
在 中，根据正弦定理 （ 为 外接圆半径），可得 ，
．
若 ，则 （大角对大边），即 ，所以 ；反之，若 ，
则 ，即 ，所以 ．
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因此， 是 的充要条件， 选项正确．
已知 ，由正弦定理 ，可得 ， ，则
，即 ．
因为 ，所以 ，那么 或 ．
当 时， ， 是等腰三角形；
当 时， ， 是直角三角形．
所以仅由 不能得出 一定是等腰三角形， 选项错误．
故选：ABD．
10. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，角 的平分线
交 于 ，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于选项 A，用角平分线定理得 ，推出 ，再把 用 与 表示．对
于选项 B，用三角形面积公式 ，代入 ， ， 计算面积判断．对于选项 C，根
据 ，分别表示出三个三角形面积列方程求 ．对于选项 D，先在 用余弦定
理求 ，再求 、 ，最后在 用余弦定理求 ．
【详解】在 中， 是角 的平分线，则 ．
已知 ， ，即 ， ，所以 ，那么 ．
因为 ，所以选项 A 正确．
根据三角形面积公式 ．
已知 ， ， ，则 ，所以选项 B 错误．
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因为 ．
由 ， ， ，可得
．
即 ， ，解得 ，所以选项 C 错误．
在 中，根据余弦定理 ．
由前面计算可知 ， ， ，则
，所以 ．
在 中，再根据余弦定理求 ， ， ，
，所以 ， ．
则 ，所以选项 D 正确．
故选：AD．
11. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则下列结论正确
的是（ ）
A.
B. 若 为锐角三角形，且 ，则该三角形面积的范围为
C. 设 ，且 ，则 的最小值为
D. 若 的面积为 2， ， ， 边上的高分别为 ， ， ，且 ，则 的最大值为
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【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理和三角恒等变换得到 ，从而得到 ，求出 判
断 A，利用 为锐角三角形求出 ，再结合正弦定理和三角形面积公式表示出 ，最后
利用正切函数性质求解取值范围判断 B，将 变形为 ，两边
平方后得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用求解最值判断 C，利用三角形面积公式，得到
， ，利用余弦定理及基本不等式求出 ，从而求出 的最大
值判断 D 即可.
【详解】对于 A，由题意得 ，
由正弦定理可得 ，
而 ，
故 ，因为 且 位于分母位置，
所以 ，得到 ，
即 ，又 ，所以 ，故 A 正确，
对于 B，因为 为锐角三角形，所以 ， ，
而 ，解得 ，
由三角形面积公式得 ，
由正弦定理得 ，解得 ，
，
则 ，因为 ，所以 ，
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则 ，故 ，即 ，故 B 正确，
对于 C，因 ，即 ，
得到 ，故 ，
两边平方并化简得 ，
则 ，得到 ，
故 ， ，
得到 ，则 ，
，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值不为 ，故 C 错误，
对于 D，结合三角形面积公式得 ， ， ，
则 ，
又因为 ，所以 ，
结合余弦定理得 ，
当且仅当 时等号成立，则 ，
得到 ，故 D 正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．将答案填在答题卡相应的位置上．
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12. 设 ，在复平面内 对应的点为 ，则满足 的点 的集合形成的图形面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的模的几何意义确定点 的集合所表示的图形，再根据圆的面积公式计算该图形的面积．
【详解】根据复数模的几何意义，复数 在复平面内对应的点 到原点的距离为 ．
已知 ，这表示点 到原点的距离大于等于 且小于等于 ，所以点 的集合形成的图形是以原点
为圆心，半径 和半径 的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）．
半径为 的圆的面积 ，半径为 的圆的面积 ．
所以圆环 面积 ．
故答案为： ．
13. 已知 的三个内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 ，则 的最小角
的余弦值为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题设可得 最小，利用余弦定理可求其余弦值.
【详解】因为 ，故可设 ，
因为 ，故 最小，从而 .
故答案为： .
14. 在 中， ， ， ， ，则 面积的最大
值为______，此时 的最小值为______．
【答案】 ①. 12 ②.
【解析】
【分析】作出辅助线，利用向量线性运算得到 ，利用三角形面积公式求出最值.再建立坐
标系，得到点的坐标，运用坐标运算，结合二次函数知识求最值即可.
【详解】设点 为线段 的三等分点，因为
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，
，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 面积的最大值为 12.
由于 ， ， ，则点 为线段 的三等分点，
则 ，设 ，由 得，
，即 ，
则 ， ，得 ，
整理得到， ，则 .
则 ，
即 ， ，则 ，则 .
当 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为：12； .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ，向量 ， ．
（1）求函数 周期及其单调递增区间；
（2）当 ，求函数 的值域．
【答案】（1）最小正周期为 ，单调递增区间为 .
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换得 ，从而得到其最小正周
期和单调增区间；
（2）利用整体法得 ，从而得到其值域.
【小问 1 详解】
，
则其最小正周期为 ，
令 ，
解得 ，
则其单调递增区间 .
【小问 2 详解】
因为 ，则 ，
则其值域为 ，即 .
16. 已知向量 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）求向量 与 的夹角的余弦值．
【答案】（1） ；
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（2） .
【解析】
【分析】（1）利用向量加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示，求出 的值，再利用向量的模长公式计
算即可.
（2）根据向量数量积的定义计算向量的夹角.
【小问 1 详解】
由题意， ， ，
因为 ，所以 ，解得 .
则 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）可知， ，故 .
所以 .
故向量 与 的夹角的余弦值为 .
17. 已知 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， 为线段
中点，且 ．
（1）求 ；
（2）求 值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理得 ，再利用向量中线定理和数量积运算律即可得到答案；
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（2）首先求出 ，再利用正弦定理即可得到答案.
【小问 1 详解】
因为 ，则 ，
则 ，
因为 ，所以 .
因为 ，则 ，
即 ，
即 ，代入 ，化简得 ，解得 或 （舍去），则
.
【小问 2 详解】
因为 ，即 ，解得 .
根据正弦定理得 ，即 ，解得 .
18. 为响应习总书记关于“绿水青山就是金山银山”的生态发展理念，哈三中学生发展中心开展“播种校园
绿色，守护绿色校园”种植活动．已知教学楼下有一块扇形区域，拟对这块扇形空地 进行改造．如图
所示，平行四边形 区域为学生的休息区域，阴影区域为“绿植”区域，点 在弧 上，点 和
点 分别在线段 和线段 上，且 ， ，设 ．
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（1）当 时，求 的值；
（2）请用 表示线段 的长度，并写出学生的休息区域 的面积 关于 的函数关系式；
（3）拟在阴影区域种植一些花草，费用为 6 元 ，求总费用 关于 的函数关系式，并求其最小值．
【答案】（1）
（2） ； .
（3） ；
【解析】
【分析】（1）在 中由正弦定理求得 ，即可由数量积的定义求得结果；
（2）在 中由正弦定理用 表示 ，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函
数的性质，即可求得取得最大值时对应的 .
（3）根据扇形面积公式计算出扇形面积，进而求出阴影部分面积，得到费用函数关系式，借助三角函数性
质求最值即可.
【小问 1 详解】
根据题意，在 中， ，又 ，
故由正弦定理 可得： ，
解得 ，
故 .
【小问 2 详解】
在 中， ，
由正弦定理得 ，即 ，即 ，
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则停车场面积 ，
即 ，其中 ，
.
则 .
【小问 3 详解】
设阴影部分面积为 ， 扇形空地 面积为 ，则 .并且
.
则 .
则 ，
则 .
因为 ，所以 ，
则当 ，即 时， 取得最小值，则总费用 取得最小值.
求得 .
19. 定义：设 为坐标原点，若非零向量 ，函数 的解析式满足 ，
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则称 为 的伴随函数， 为 的伴随向量．
（1）若向量 为函数 的伴随向量，求 的坐标；
（2）若函数 为向量 的伴随函数，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
， 恰好为函数 的最大值．
（ⅰ）若 的角平分线交 于点 ， ，求 的最大值；
（ⅱ）在锐角 中，求 的范围．
【答案】（1） ;
（2）（i） ;
(ii) .
【解析】
【分析】（1）利用两角和正弦公式展开结合题意即可求解；
（2）(i)利用辅助角公式结合题意可求角 ，利用等面积法可表达出角平分线长，结合余弦定理和基本不等
式可求出最大值；
(ii)利用正弦定理边化角，再利用内角和消元，再利用和差化积和积化和差公式，再利用熟悉函数的单调性
可求出值域.
【小问 1 详解】
由已知得： ，
根据题意可知： ；
【小问 2 详解】
(i)根据题意由 可知： ，
利用辅助角公式得： ，
其中 ，
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当 时， 取到最大值 ，
所以 ，则
同理
由二倍角公式得： ，
如图，由三角形面积可得：
可得： ，
再由余弦定理得： ，
因为 ，
所以有 ，
则 ；
当且仅当 时取等号.
(ii)利用正弦定理角化边可得： ，
因为 再利用和差化积和积化和差可得：
，
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代入 则
，
当 时， 取最大值 1，
利用已知函数 在 上单调递减，可知 是单调递减函数所以可得：
，
当 时，可得： ，
此时可得 ，
由于此三角形是锐角三角形，所以根据单调递减性可得：
.
【点睛】方法点睛：(i)利用是等腰三角形时取到最大值，所以可利用基本不等式进行两次放缩证明即可；
(ii)利用边化角思想，再用内角和消元，最后化归到一个角的三角复合型函数上来，可利用函数单调性来求
值域.
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