黑龙江省牡丹江市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析

这是一份黑龙江省牡丹江市2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 分值：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1. 已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ， ， ，
则（ ）
A. 、 、 三点共线 B. 、 、 三点共线
C. 、 、 三点共线 D. 、 、 三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量 共线则 判断即可.
【详解】对 A，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点
不共线，故 A 错误；
对 B，因 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，
故 B 错误；
对 C，因为 ， ，则 ，故 、 、 三点共线，
故 C 正确；
对 D，因为 ， ，不存在实数 使
得 ，故 、 、 三点不共线，故 D 错误.
故选：C
2. 在 中，内角 所对各边分别为 ，且 ，则角 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理结合给定条件得到 ，再依据三角形中角的范围求解即可.
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【详解】因为 ，且由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，而在 中， ，则 ，故 A 正确.
故选：A．
3. 在正方形 中， 分别为 ， 的中点，则不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，一一判断各选项，可得答案.
【详解】由题意可得 ,A 正确；
,故 B 正确；
由 , ,
可得 ,
故 ,故 C 错误，D 正确；
故选：C
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出 ，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解
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.
【详解】由 ，得 ，则 ，
所以 .
故选：D
5. 如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作直线分别交 于点 ， ，
且 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算得 ，再利用三点共线结论得系数和为 1，即 ，再利用基
本不等式求出最值即可.
【详解】因为 是 的中点，且 ，
所以 .
因为 三点共线，所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
故选：A.
6. 若 ，则（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0 则 sinα +csα =0，取 ，排除 A, B；
再取α=0 则 sinβ +csβ= 2sinβ，取β ，排除 D；选 C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
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7. 已知平面内的向量 在向量 上的投影向量为 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.
【详解】因为 ，又 ，
所以 .
所以： ，
所以 .
故选：A
8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作
一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知 ，P 为
弧 AC（含端点）上的一点，则 的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算量，结合 即可求解.
【详解】取 中点为 ，连接 ，显然 ，
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所以
.
故选：A
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 关于向量 ， ，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于 A，当 时， 必成立，A 正确；
对于 B，若 ，则 反向， ，B 正确；
对于 C，当 时， ， ，此时 未必共线，C 错误.
对于 D， 只能说明 长度的大小关系，但 还有方向，无法比较大小，D 错误；
故选：AB
10. 已知等边 的边长为 4，点 D，E 满足 ， ， 与 CD 交于点 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
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【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出 为 中点， 为 上靠近点 的四等分
点，对选项进行判断，得出答案.
【详解】
对于 A 选项， ，故 A 正确；
对于 B 选项，因为 为等边三角形， ， 为中点，所以 ，
所以 ，即 ，所以
，故 B 正确；
对于 C 选项，设 ，
由（1）得 ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，解得 ，所以 为 上靠近点 四等分点，故 C 错误；
对于 D， ，设 ，则 ，
所以 ，又 三点共线，所以 ，解得 ，
所以 为 中点，所以 ，故 D 正确，
故选：ABD.
11. 点 在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A. 若 ，则点 为 的外心（外接圆圆心）
B. 若 ，则动点 的轨迹一定通过 的重心
C. 若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则
D. 若 ，则点 是 的内心
【答案】BCD
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【解析】
【分析】A 选项，计算出 ， ⊥ ，同理可得 ⊥ ， ⊥ ，则点 为 的
垂心；B 选项，作出辅助线，得到 ，故点 在中线 上，故向量一定经过 的重心；
C 选项，作出辅助线，得到 ，从而得到所以 ，故 ；
D 选项，作出辅助线，得到 ，故 ⊥ ，并得到 在 的平分线上，同理可得，
在 的平分线上.
【详解】A 选项， ，即 ，故 ⊥ ，
同理可得 ⊥ ， ⊥ ，则点 为 的垂心，A 错误；
B 选项，过点 作 ⊥ 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ， ，
则 ，
故点 在中线 上，故向量一定经过 的重心，B 正确；
C 选项，如图， 分别为 的中点，
，
则 ，故 ，
所以 ，
故 ，C 正确；
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D 选项， 分别表示 方向上的单位向量 ，
故 ，
，故 ⊥ ，
由三线合一可得， 在 的平分线上，同理可得， 在 的平分线上，
则点 是 的内心，D 正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的重心，
点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的垂心，
点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的外心，
点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的内心，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 ， ，若 ，则 ________．
【答案】 ##-1.5
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示进行计算．
【详解】由题意 ， ．
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故答案为：
13. 已知向量 ， ，且 与 夹角为钝角，求实数 的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解.
【详解】向量 ， ，且 与 的夹角为钝角，则 （且排除反向共线情况）.
当 时，则 ，解得 .
当当 反向共线时， ，解得 .
综上所得，求实数 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 平面四边形 中， ， ， ， ，则 的最小值为
________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可知 ，由 可确定点 在以 为直径的圆的劣弧上，进而根据
圆的性质，当点 在 的中点时， 最小，进而可得.
【详解】
因 ， ， ，故 ，
故 ，得 ，
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又 ，故点 在以 为直径的圆的劣弧 上，
由圆的性质可知，当 时， 在 方向上的投影最小，此时 最小，
过 作 交 于 ，易得 ，故 在 方向上的投影最小为 ，
故此时 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 分小题，共 77 分，（15 题 13 分，16-17 题 15 分，18-19 题 17 分）解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ， 满足 ， ， ．
（1）求 与 的夹角的余弦值；
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直得到 ，由数量积的定义及运算律计算可得；
（2）首先求出 ，再根据数量积的运算律求出 ，即可得解.
【小问 1 详解】
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
∴ ，
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∴ ；
16. 已知向量 ， ，函数 ．
（1）求 的最小正周期及其对称中心；
（2）若函数 在区间 上恰有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）最小正周期： ；对称中心：
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入计算，结合三角恒等变换公式化简，即可得到 的解析式，
从而得到结果；
（2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即
可求解.
【小问 1 详解】
，
的最小正周期 .
令 ，解得 ，则 对称中心为
【小问 2 详解】
由题知 在区间 上恰有两个不同的实数根，
即函数 在区间 上的图像与直线 恰有两个交点，
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令 ，
做出 的图像与直线 ，如图.
由图知，当 时， 的图像与直线 有两个交点.
17. 已知 O 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的伴随向量，
同时称函数 为向量 的伴随函数.
（1）设函数 ，试求函数 的伴随向量；
（2）记向量 的伴随函数为 ，求当 且 时 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式以及伴随向量的定义即可求解.
（2）根据伴随函数的定义可知 ，利用同角关系以及余弦的和差角公式即可求解.
【小问 1 详解】
【小问 2 详解】
,由 得
，故 因此
18. 如图，在等腰梯形 中， ， ， 分别为 ， 的中点，
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与 交于点 ．
（1）令 ， ，用 ， 表示 ；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算求解；
（2）利用 三点共线， 三点共线，求得 ，同时证明 是等边三
角形，然后把 平方可得．
【小问 1 详解】
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ；
【小问 2 详解】
设 ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，
因 三点共线， 三点共线，
所以 ，解得 ，
即 ，
由已知 与 平行且相等，因此 是平行四边形，
所以 ， 是等边三角形，
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所以 ．
19. 已知 ， ， 分别为锐角 内角 的对边， ， ，
（ 为 外接圆的半径）.
（1）证明： ；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【 分 析 】（ 1） 根 据 圆 的 特 征 得 出 ， 从 而 由 数 量 积 与 模 长 关 系 计 算 可 得
，再构造 ，利用数量积公式计算并确定
的夹角即可证明；
（2）由条件及数量积的运算律、辅助角公式得出 ，利用角的
关系确定 的范围结合余弦函数的单调性得出值域即可.
【小问 1 详解】
由 ，即 ，
所以 ，
即 ，
又 ，
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因为 ，所以 ，
所以 ，
令 与 夹角为 ，则 ，即 ，
即 ，得证；
【小问 2 详解】
因 ， ，则 ，即 ，
，
其中， ，且 为锐角，故 ，
由 可得 ，
则 ， .
又由 解得
因为 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
所以 ，则 ，
于是 ，
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即 的最小值为 .
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