黑龙江省牡丹江市名校协作体2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120 分钟 分值：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分．
1. 已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ， ，
，则（ ）
A. 、 、 三点共线 B. 、 、 三点共线
C. 、 、 三点共线 D. 、 、 三点共线
2. 在 中，内角 所对各边分别为 ，且 ，则角 （ ）
A. B. C. D.
3. 在正方形 中， 分别为 ， 的中点，则不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作直线分别交 于点 ， ，
且 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
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6. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知平面内的向量 在向量 上的投影向量为 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作
一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知 ，P 为
弧 AC（含端点）上的一点，则 的范围为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 关于向量 ， ，下列命题中，正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ，则
10. 已知等边 的边长为 4，点 D，E 满足 ， ， 与 CD 交于点 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 点 在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A. 若 ，则点 为 的外心（外接圆圆心）
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B. 若 ，则动点 的轨迹一定通过 的重心
C. 若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则
D. 若 ，则点 是 的内心
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知向量 ， ，若 ，则 ________．
13. 已知向量 ， ，且 与 夹角为钝角，求实数 的取值范围________．
14. 平面四边形 中， ， ， ， ，则 的最小值为
________．
四、解答题：本题共 5 分小题，共 77 分，（15 题 13 分，16-17 题 15 分，18-19 题 17 分）解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ， 满足 ， ， ．
（1）求 与 的夹角的余弦值；
（2）求 .
16. 已知向量 ， ，函数 ．
（1）求 的最小正周期及其对称中心；
（2）若函数 在区间 上恰有两个零点，求实数 的取值范围．
17. 已知 O 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 伴随向量，
同时称函数 为向量 的伴随函数.
（1）设函数 ，试求函数 的伴随向量；
（2）记向量 伴随函数为 ，求当 且 时 的值.
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18. 如图，在等腰梯形 中， ， ， 分别为 ， 的中点，
与 交于点 ．
（1）令 ， ，用 ， 表示 ；
（2）求线段 长．
19. 已知 ， ， 分别为锐角 内角 的对边， ， ，
（ 为 外接圆的半径）.
（1）证明： ；
（2）求 的最小值.
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