2025年中考数学总复习 专题03 位似（知识串讲+8大考点）(原卷版+解析版）

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知识一遍过
（一）位似图形的概念
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：
①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②位似图形对应点的连线都经过同一个点；
③位似图形对应边平行．
（二）位似图形的性质
①对应角相等，对应边之比等于位似比；
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．
考点一遍过
考点1：位似图形的识别
典例1：（2023上·全国·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是（ ）
A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCO位似
C．△ABO与△CDO位似D．△AMN与△ABD位似
【答案】B
【分析】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理
根据位似三角形的概念：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，结合菱形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是线段AC、BD的中点，AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴△ABO与△CDO位似，故C不符合题意；
∵M是边AB的中点，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM∥BC，
同理可得MN∥BD，ON∥AB，
∴△AMO∽△ABC，△AMN∽△ABD，
∴△AMO与△ABC位似，△AMN与△ABD位似，故A、D不符合题意；
∵△AMN与△BCO每组对应点所在的直线没有相交于一点，
∴△AMN与△BCO不位似，故B符合题意．
故选B．
【变式1】（2023上·安徽阜阳·九年级校联考阶段练习）如图四个图中，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质分析判断得出答案．
【详解】解：图1中，△ABC与△A′B′C′成位似图形；
图2中，∵AB与A′B′不平行，AC与A′C′不平行，∴△ABC与△A′B′C′不成位似图形；
图3中，△ABC与△A′B′C′成位似图形；
图4中，△ABC与△A′B′C′成位似图形；
综上，△ABC与△A′B′C′成位似图形的有图1、图3、图4，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似中心．
【变式2】（2023·河北唐山·统考一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝13AO，OE＝13BO，OF＝13CO，得△DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A．△DEF与△ABC是位似三角形B．△OAC与△ODF是位似三角形
C．△DEF与△ABC周长的比是1：3D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
【答案】D
【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断．
【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确；
B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确；
C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确；
D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键．
【变式3】（2023·青海·统考一模）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移B．对称C．位似D．旋转
【答案】C
【分析】根据平移、对称、位似、旋转的特点进行判断，即可求解．
【详解】解：A选项，平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；
B选项，对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；
C选项，位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；
D选项，旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形平移、对称、位似、旋转的特点是解题的关键．
考点2：判断位似中心
典例2：（2024上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′位似，则位似中心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【答案】A
【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．
【详解】根据题意，得位似中心为点D，
故选A．
【变式1】（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点PB．12、点PC．2、点OD．12、点O
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理得到P′Q′=12PQ，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答．
【详解】∵点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，
∴各对应点的连线交于点O，P′Q′=12PQ
∴位似中心是点O，
∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
∴△P′Q′R′与△PQR位似比是P′Q′PQ=12
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心为（ ）

A．点MB．点NC．点QD．点P
【答案】D
【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可．
【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，

故选D．
【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键．
【变式3】（2023上·河北邯郸·九年级统考期末）把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（ ）
A．G点B．F点C．E点D．D点
【答案】B
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可．
【详解】由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，
故选：B
【点睛】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．
考点3：求位似图形的位似比
典例3：（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则AO:AA′的值为（ ）
A．1:2B．1:3C．2:3D．3:2
【答案】B
【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，即可判断，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上， AO:OA′=1:2，
∴AO:AA′=1:3，
故选：B．
【变式1】（2024上·重庆万州·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2:3．若△ABC的面积为8，则△DEF的面积是（）

A．12B．16C．18D．20
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵位似比为2:3，
∴S△ABCS△DEF=232=49，
∵△ABC的面积为8，
∴△DEF的面积18，
故选：C．
【变式2】（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，OC:CF=1:2．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF得到△BOC∽△EOF，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】∵OC∶CF=1∶2，
∴OC∶OF=1∶3
∵△ABC与△DEF是位似图形
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF
∴△BOC∽△EOF
∴BCEF=OCOF=13
∴△ABC的周长∶ △DEF的周长=1∶3
∵△ABC的周长为4
∴△DEF的周长为4×3=12
故选：C
【变式3】（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、O、D都在网格的格点上，点O是△ABO和△DCO的位似中心，AE平分∠OAB交OB于点E，DF平分∠ODC交OC于点F，则下列说法正确的是（ ）
A．5AE=2DFB．CD=2ABC．OF=3OED．∠AEO=∠DFC
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．先利用位似的性质得到△ABO∽△DCO，再证△OAE∽△ODF，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵点O是△ABO和△DCO的位似中心，
∴△ABO∽△DCO，
∴∠OAB=∠ODC，ABCD=OAOD=25，
∴2CD=5AB，选项B错误；
∵AE平分∠OAB交OB于点E，DF平分∠ODC交OC于点F，
∴∠OAE=12∠OAB,∠ODF=12∠ODC，
∴∠OAE=∠ODF，
∵∠AOE=∠DOF，
∴△OAE∽△ODF，
∴ AEDF=OAOD=OEOF=25，∠AEO=∠DFO，
∴5AE=2DF，2OF=5OE，选项A正确，选项C、D错误．
故选：A．
考点4：求位似图形的坐标
典例4：（2024上·山西晋城·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2),F(−2,−2)，若△OEF与△OE'F'关于点O位似，S△OEF:S△OE′F′=4:1，点F的对应点F'的坐标为（ ）
A．(1,1)B．(4,4)
C．(4,4)或(−4,−4)D．(1,1)或(−1,−1)
【答案】D
【分析】本题考查了坐标系中的位似坐标计算，根据位似图形面积比等于相似比的平方，确定位似比，根据坐标与位似比的关系确定坐标即可．
【详解】∵△OEF与△OE′F′关于点O位似，S△OEF:S△OE′F′=4:1，
∴OFOF′2=4
∴OFOF′=2,OFOF′=−2,
∴OF′OF=12,OF′OF=−12,
∵F(−2,−2)，
∴F′(−2×12,−2×12)或F′(−2×−12,−2×−12)
故F′(−1,−1)或F′(1,1)，
故选D．
【变式1】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图， Rt△ABC与Rt△EFG是关于y轴上一点的位似图形，若B−4,4，F2,1则位似中心的坐标为（ ）
A．0,1B．0,2C．0,3D．0,32
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键，直接利用位似图形的性质得出PCPG=2，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接BF，交CG于点P，
∵对应点B和F的坐标分别为−4,4，2,1，
∴C0,4，G0,1，CB=4，FG=2，CG=3，
由题意可得：△BCP∽△FGP，
∴CBGF=PCPG=2，
∴2GP=3−GP，
解得：GP=1，
∴位似中心到点G的距离是1，
∴位似中心的坐标为0,2，
故选：B．
【变式2】（2024上·四川成都·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−2,4、B−6,−2，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．−1,2B．−3,−1C．−3,−1或3,1D．−1,2或1,−2
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k计算．
【详解】解：∵原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标为−2×12,4×12或−2×−12,4×−12，即−1,2或1,−2，
故选：D．
【变式3】（2023上·山东青岛·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是−1,0．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长扩大到原来的2倍，设点B的对应点B′的横坐标是b，则点B的横坐标是（ ）
A．−12bB．−12b+1C．−12b−1D．−12b+3
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
以点C为坐标原点建立新的坐标系，表示出点B′的横坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：以点C为坐标原点建立新的坐标系，
∵点C的坐标是(−1,0)，
∴点B′的横坐标为：b+1，
以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，
则点B在以C为坐标原点的坐标系中的横坐标为：−b+12，
∴点B在原坐标系中的横坐标为：−b+12−1=−b+32，
故选：D．
考点5：坐标系中求位似图形相似比
典例5：（2023上·四川内江·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心是原点O，若A2,a，A′4,b，则△ABC与△A′B′C′的相似比是（ ）

A．12B．13C．14D．23
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质得出△ABC∽△A′B′C′，再由相似比等于位似比即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心是原点O，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵点A2,a，A′4,b，，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比是OAOA′=24=12，
故选：A
【点睛】此题主要考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
【变式1】（2023·云南昭通·统考二模）如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了△ABC和△A1B1C1，其中△ABC三个顶点坐标分别为A0，1，B2，2，C3，1，若△ABC和△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，则ABA1B1=（ ）

A．14B．13C．12D．32
【答案】B
【分析】利用点A1和点A的坐标特征得到位似比为1:3，即可求解．
【详解】解：由图可知A0，1，A10，3，
∵3=1×3，
∴△ABC和△A1B1C1的位似比为1:3，
∴ABA1B1=13，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
【变式2】（2023下·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为1，2，C点坐标为2，4，AB=5，则线段CD长为（ ）
A．2B．4C．25D．5
【答案】C
【分析】根据题意求出位似比，根据位似比计算即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为1，2，C点坐标为2，4，
∴线段AB与线段CD的位似比为1：2，
∵AB=5，
∴CD=25，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
【变式3】（2023下·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A(6，4)，B(2，3)，D(3，2)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）
A．8，4B．1，0.8C．1.5，2D．1，1.5
【答案】D
【分析】先求出OA、OD的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案．
【详解】解：设E点的坐标是x，y，
∵A(6，4)，D(3，2)，
∴OA=36+16=213，OD=9+4=13，
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，B(2，3)，
∴x2=13213=12，y3=13213=12，
∴x=1，y=1.5
∴E点的坐标为1，1.5，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念及性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
考点6：坐标系中位似图形周长比、面积
典例6：（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A1,0，D3,0，且△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若△ABC的面积为0.6，则△DEF的面积为（）
A．1.2B．2.4C．5.4D．6
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质得出AO,DO的长，进而得出AODO=ABDE=13，求出DE的长即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为(1,0),D点坐标为(3,0)，
∴AO=1,DO=3,
∴AODO=ABDE=13,
∴S△ABCS△DEF=19
∵S△ABC=0.6,
∴S△DEF=0.6×9=5.4.
故选：C．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出AODO= ABDE=13是解题关键．
【变式1】（2023上·陕西铜川·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为−4,2，点E的坐标为−1,1，则这两个正方形的面积之比为（ ）

A．1:2B．1:3C．1:4D．1:9
【答案】C
【分析】由点A，点E的坐标可知OF=1，OB=4，EF=1，AB=2，进而求得两个正方形的面积即可求得面积之比．
【详解】解：∵点A的坐标为−4,2，点E的坐标为−1,1，四边形ABCD和四边形EFOG均是正方形，
∴OF=1，OB=4，EF=1，AB=2，
则正方形ABCD的面积为：SABCD=AB2=4
正方形EFOG的面积为：SEFOG=EF2=1，
∴两个正方形的面积之比为1:4，
故选：C．
【点睛】本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，位似变换，理解相关图形的性质是解决问题的关键．
【变式2】（2022上·山西太原·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中正确的是（ ）
A．大鱼与小鱼的相似比是3:1
B．对应点到位似中心的距离比是2:1
C．大鱼与小鱼的面积比是4:1
D．若小鱼上一点的坐标是a，b，则在大鱼上的对应点的坐标是（−2b，−2a）
【答案】C
【分析】根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、大鱼与小鱼的相似比是2:1，选项错误，不符合题意；
B、大鱼与小鱼的对应点到位似中心的距离比是2:1，选项错误，不符合题意；
C、大鱼与小鱼的面积比是4:1，选项正确，符合题意；
D、若小鱼上一点的坐标是(a,b)，则在大鱼上的对应点的坐标是(−2a,−2b)，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
【变式3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图，以点C−1,0为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C，若点B的横坐标是−2，点B的对应点B′的横坐标是2，则△ABC与△A′B′C的周长之比为（ ）．
A．1:2B．1:3C．2:3D．2:1
【答案】B
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应线段长进而得出相似比，即可得出周长比．
【详解】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F，
∵以点C（-1，0）为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C，点B的横坐标是-2，
∴EC=1，
∵点B的对应点B'的横坐标是2，
∴CF=3，
∵BE//B'F
∴ECCF=BCCB=13，
∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：1：
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，正确得出位似比是解题的关键．
考点7：坐标系中画位似图形
典例7：（2024上·山西朔州·九年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______，点C的坐标为______．
(2)以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2:1，请在网格内画出△A1B1C1．
(3)求出△A1B1C1的面积．
【答案】(1)−2,1，−3,−2，1,−2；
(2)图形见解析；
(3)△A1B1C1的面积=24．
【分析】本题主要考查了作图—位似变换：
（1）利用点的坐标的表示方法求解；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以−2（或乘以2）得到A1、B1、C1的坐标（或A′1、B′1、C′1的坐标），然后描点即可；
（3）根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得：A−2,1，B−3,−2，C1,−2；
（2）解：如图，△A1B1C1和△A′1B′1C′1即为所作：
（3）解：△A1B1C1的面积=12×8×6=24．
【变式1】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立平面直角坐标系xy，△ABC的顶点均在格点上，在网格中按要求解答下列问题：
(1)画出△ABC向右平移6个单位长度后的图形△A1B1C1，点A1坐标是______；
(2)画出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C；
(3)画出△ABC以A为位似中心按1:2放大后的图形△AB3C3．
【答案】(1)图见解析，9,8
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，旋转与位似．
（1）根据平移的规则，画出△A1B1C1，写出点A1坐标即可；
（2）根据旋转的性质，画出△A2B2C即可；
（3）根据位似图形的性质，画出△AB3C3即可．
掌握平移，旋转和位似图形的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
由图可知：A1 9,8；
故答案为：9,8；
（2）如图，△A2B2C即为所求；
（3）如图，△AB3C3即为所求；
【变式2】（2023下·安徽·九年级校联考学业考试）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1，−2，B2，−1，C4，−3．

(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
(3)设点Pa，b为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2a,−2b
【分析】本题考查作图—位似变换，轴对称变换，坐标与图形．
（1）根据题意分别画点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1，连接即可得到△A1B1C1；
（2）相似比为2：1，即对应点到位似中心的距离比也是2：1，据此画图；
（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）点P关于x轴的对称点P1坐标为：a,−b，
P2的坐标是2a,−2b．
故答案为：2a,−2b．
【变式3】（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A,B,C的对应点依次为A′,B′,C′，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P；
(2)写出点P的坐标为____________，△ABC与△A′B′C′的面积比为____________，S△ABC=____________；
(3)请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件：
①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为12；
②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧．
【答案】(1)见解析
(2)(4,5)；1:4；32；
(3)见解析
【分析】（1）连接AA′、BB′，交于点P，即可得到结论；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；求出边长为1和2的正方形的对角线，得到BC与B′C′的长，求出BC与B′C′的比值，根据△ABC与△A′B′C′相似，由面积比等于相似比的平方即可求出面积之比，根据正方形的面积减去三个三角形的面积求得S△ABC．
（3）根据位似的性质画出△A″B″C″，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示；点P即为所画的位似中心，
（2）如图所示：位似中心P的坐标是4，5．
由勾股定理得，BC=12+12=2，B′C′=22+22=22,
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴S△ABCS△A′B′C′=BCB′C′2=2222=14，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4．
S△ABC=12×2×2−12×1×2−12×1×2−12×1×1=32故答案为：(4,5)；1:4；32；．
（3）解：如图所示，△A″B″C″即为所求，
【点睛】此题考查了位似中心的确定，勾股定理，位似的性质，画位似图形，网格中求三角形的面积．正确运用面积比等于位似比的平方是解答本题的关键．
考点8：坐标系中确定位似中心
典例8：（2023上·山东青岛·九年级胶州市初级实验中学校考阶段练习）如图，正方形OABC和正方形DEFG是位似图形（其中点O，A，B，C的对应点分别是点D，E，F，G），点B的坐标为1,1，点F的坐标为4,2，则这两个正方形的位似中心的坐标是（ ）
A．−2,0B．2,0C．−4,2D．4,2
【答案】A
【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接FB并延长与x轴交于点P，根据位似变换的性质，点P即为位似中心，然后设OP=x，表示出PA、PE，再根据△PAB和△PEF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出x，再根据点P在x轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键．
【详解】解：如图，连接FB并延长与x轴交于点P，则点P即为位似中心，设OP=x，
∵点B的坐标为1,1，点F的坐标为4,2，
又∵正方形OABC和正方形DEFG的边AB、EF都与x轴垂直，
∴PA=x+1，PE=x+4，AB=1，EF=2，∠PAB=∠PEF=90°，
又∵∠BPA=∠FPE，
∴△PAB∽△PEF，
∴PAPE=ABEF，即x+1x+4=12，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解且符合题意，
∵点P在x轴负半轴上，
∴点P−2,0．
故选：A．
【变式1】（2022·河北唐山·统考一模）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D2，2，点G0，1，则它们位似中心的坐标是（ ）
A．(−2，0)B．(−1，0)C．(0，0)D．(−3，0)
【答案】A
【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解．
【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，
∵点D与点G是一对对应点，
则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，
设直线DG解析式为；y=kx+b ，
将D2，2，G0，1代入得：
2k+b=2b=1 ，
解得：k=12b=1 ，
∴直线DG解析式为y=12x+1 ，
令y=0，可得：x=−2 ，
∴M(−2，0)
即位似中心的坐标是(−2，0)．
故选A．
【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是解题的关键．
【变式2】（2023上·河南平顶山·九年级统考期末）如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是（ ）
A．（0，2）B．（0，2.5）C．（0，3）D．（0，4）
【答案】A
【分析】连接CF交y轴于P，根据题意求出DG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标．
【详解】解：如图，连接CF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点C，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），
∴点D的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），
∴DG=3，
∵CD∥GF，
∴GPPD=GFCD=12，
∴GP=1，PD=2，
∴点P的坐标为（0，2），
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．
【变式3】（2024上·福建宁德·九年级统考期末）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A．1,−1B．−1,−1C．0,0D．0,−1
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为(0,−1)．
故选：D．