2025年中考数学总复习 专题05 尺规作图（知识串讲+9大考点）(原卷版+解析版）

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知识一遍过
（一）作线段
已知：线段，作一条线段，？

作法：①用直尺画射线
②用圆规在射线上截取
∴线段AB即为所求
（二）作角
已知：
求作：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；
②作射线
③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点
④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与
⑤过作射线,为所求
（三）作角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
（四）作垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
考点一遍过
考点1：尺规作图——作线段
典例1：（2024上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
(1)延长AC至点N，使得AN＝AB；过点N作ND⊥BC，与BC的延长线交于点D（要求：尺规作图，不写作法，要保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长BA至点M，使得AM=AC，求证D,M,N三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
（1）根据要求画出图形；
（2）假设ND的延长线交BA的延长线于点M′，利用同一法证明．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）假设ND的延长线交BA的延长线于点M′．
∵ND⊥BC，
∴∠NDC=∠CAB=90°，
∵∠NCD=∠ACB，
∴∠ANM′＝∠B，
∵∠NAM′=∠BAC=90°，AN=AB，
∴△NAM′≌△BACASA，
∴AM′=AC，
∵AM=AC，
∴M，M′重合，
∴M，D，N共线．
【变式1】（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．

(1)尺规作图（保留作图痕迹）：
①作∠NAB的角平分线与PQ交于点C；
②在射线AN上找一点D，使AB=AD；
(2)连接CD，若四边形ABCD的对角线BD=6，AC=8，则四边形ABCD的面积为______，直线MN与直线PQ的距离为______．
【答案】(1)见解析
(2)24；4.8
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法作图和直接在射线AN上截取AD=AB即可；
（2）如图，连接BD，交AC于点O，过点D作DE⊥BC，可证四边形ABCD为菱形，然后由菱形的面积计算方法计算即可；
【详解】（1）解：①如图，射线AC即所求．
②如图，点D即所求．

（2）如图，连接BD，交AC于点O，过点D作DE⊥BC

∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵∠DAC=∠BAC
∴∠BCA=∠BAC
∴BC=BA=AD
∴四边形ABCD为平行四边形
∵AB=AD
∴四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，AO=CO=4,BO=DO=3
∴四边形ABCD为菱形的面积为：12⋅AC⋅BD=12×8×6=24
∴BC=OB2+OC2=32+42=5
∵DE⊥BC
∴四边形ABCD为菱形的面积为：BC⋅DE=5⋅DE=24
∴DE=245=4.8
∴直线MN与直线PQ的距离为4.8
故答案为：24；4.8
【点睛】本题考查了常见的尺规作图，菱形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积计算，熟练运用这些知识解决问题是解题的关键．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）

(1)在斜边AB上找一点D，使AD=AC；
(2)作∠BAC的平分线，交BC于点E，连结DE；
(3)在（1）、（2）的条件下，请判断△BDE的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)△BDE是直角三角形，证明见解析
【分析】（1）在AB截取AD=AC即可；
（2）利用基本作图作∠BAC的平分线；
（3）证明△ACE≌△ADE得到∠ACE=∠ADE=90°，从而得到∠BDE=90°．
【详解】（1）如图，点D即为所求的点．

（2）如图，AE即为所求；
（3）△BDE是直角三角形
∵AE平分∠BAC
∴∠CAE=∠DAE，
在△ACE和△ADE中，
∵AC=AD，∠CAE=∠DAE，AE=AE，
∴△ACE≌△ADESAS，
∴∠ACE=∠ADE=90°，
∵∠ADE+∠BDE=180°
∴∠BDE=90°
∴△BDE是直角三角形
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质．
【变式3】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a．求作△ABC，使∠A=90°，AB=AC，且分别满足下列条件：
(1)BC=a．
(2)△ABC的周长等于a．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先作线段BC=a，再作分别以点B，C为圆心，大于12BC画弧，两弧分别交于点E，F，然后作直线EF交BC于点D，再以点D为圆心，BD为半径画弧，交直线EF于点A，连接AB,AC，则△ABC即为所求；
（2）先作线段MN=a，再作线段MN的垂直平分线EF交MN于点D，再以点D为圆心， MD为半径画弧，交直线EF于点P，连接MP，再作∠PMN的平分线交直线EF于点A，然后以点A圆心，AD长为半径画弧，交MN于点B，C，连接AB,AC，则△ABC即为所求．
【详解】（1）解：如图，先作线段BC=a，再作线段BC的垂直平分线EF交BC于点D，再以点D为圆心，BD为半径画弧，交直线EF于点A，连接AB,AC，则△ABC即为所求．

理由：根据作法得：EF垂直平分线段BC，AD=BD，
∴AB=AC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°；
（2）解：如图，先作线段MN=a，再作线段MN的垂直平分线EF交MN于点D，再以点D为圆心， MD为半径画弧，交直线EF于点P，连接MP，再作∠PMN的平分线交直线EF于点A，然后以点A为圆心，AD长为半径画弧，交MN于点B，C，连接AB,AC，则△ABC即为所求．

理由：根据作法得：EF垂直平分线段BC，MD=PD，AM平分∠PMN，AD=BD=CD，AB=AC，
∴∠PDM=90°，∠AMN=12∠PMD，∠ABC=∠ACB，
∴∠PMD=∠MPD=45°，∠ABC=∠BAD=∠ACB=45°，
∴∠PMD=∠ABD，∠BAC=90°，
∴∠AMN=12∠ABD，
∵∠ABD=∠AMN+∠BAM，
∴∠AMN=∠BAM，
∴AB=BM，
同理AC=CN，
∴AB+AC+BC=BM+CN+BC=MN=a．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——画等腰三角形，熟练掌握几种基本尺规作图的方法，等腰直角三角形的判定是解题的关键．
考点2：尺规作图——作角
典例2：（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，AB边上有一点D．

(1)尺规作图：在AC上取一个点E，使得△ADE∽△ACB（尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，若AD=3 cm，AC=6 cm，BC=5 cm，求DE的长度．
【答案】(1)见解析
(2)DE=52cm
【分析】（1）利用基本作图，作∠ADE=∠ACB即可，因为由∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，可得出△ADE∽△ACB；
（2）由△ADE∽△ACB可得ADAC=DEBC，再代入数据求解即可．
【详解】（1）如图所示，点E即为所求．

（2）∵△ADE∽△ACB，
∴ADAC=DEBC
∴36=DE5，
∴DE=52cm．
【点睛】本题考查了作图-基本作图及相似三角形的判定及性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【变式1】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点．

(1)请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若ADDB=2，DE=4，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)BC=6
【分析】（1）根据要求，利用基本作图（作一个角等于已知角）∠ADE=∠B；
（2）根据∠ADE=∠B，∠A=∠A则可判断出△ADE∽△ABC利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，∠ADE即为所求；

（2）∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵ADDB=2，
∴23=4BC，
∴BC=6．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】（2023·福建泉州·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,∠A