2025年中考数学总复习 专题03 分式（知识串讲+9大考点）(原卷版+解析版）

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知识一遍过
（一）分式的基本概念
（1）分式：形如eq \f(A,B)（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．
（2）与分式有关的结论
①分式eq \f(A,B)无意义的条件是B＝0．
②分式eq \f(A,B)有意义的条件是B≠0．
③分式eq \f(A,B)值为0的条件是A＝0且B≠0．
（二）分式的基本性质
（1）分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
eq \f(A,B)＝eq \f(A·M,B·M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M)（其中M是不等于零的整式）．
（2）由基本性质可推理出变号法则为：； .
（三）约分与通分
（1）约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．
（2）通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（四）分式的运算
分式的乘除
①乘法法则：
②除法法则：
③分式的乘方：
分式的加减
①同分母分式的加减：
；
②异分母分式的加法：
整数负指数幂：
0指数幂：
（五）分式化简求值
（1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
（2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
考点一遍过
考点1：分式的定义
典例1：（22·23下·长春·期中）代数式1x，x2，2xyx+y，2x−y3中，属于分式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式1】（22·23上·怀化·阶段练习）在4y2y，y4，6x+y，x+y2x，2xyπ中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2】（20·21下·兰州·期中）在1x，x−y4，x3−y2，x+ym，2aa，x−1π中，是分式的有（ ）．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式3】（22·23下·巴中·期中）代数式−32x，x−y5，−x+y2，7y23x ，2a2b，−9π中，是分式的有（ ）个
A．1个B．2个C．3D．4个
考点2：分式有意义条件
典例2：（23·24上·海淀·期中）若分式x2−4x−2的值为0，则x的值为（ ）
A．±2B．−2C．0D．2
【变式1】（23·24上·成都·阶段练习）在函数y=x+2x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥−2且x≠0B．x>−2且x≠0C．x>0D．x≤−2
【变式2】（23·24上·淄博·阶段练习）若分式x+3xx−1有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x≠3D．x≠0或x≠1
【变式3】（22·23下·沈阳·期中）若分式x−1x+1无意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≠−1C．x=−1D．x>−1
考点3：分式的值
典例3：（22·23上·全国·单元测试）若1m+1n=2，则代数式5m−2mn+5n−m−n的值为（ ）
A．−4B．−3C．3D．4
【变式1】（23·24上·苏州·阶段练习）若a2=b3=c5，则a+b+ca=（ ）
A．103B．2C．5D．12
【变式2】（22·23下·衡阳·期中）若分式a−3a2+1的值为正，则a的取值范围是（ ）
A．a≠−1B．a≠0C．a>3D．a0，ab>0B．如a，b异号，则aba>cC．c>b=aD．c>a>b
【变式3】（22·23上·许昌·期末）计算π−20−2−1正确的结果是（ ）
A．12B．−12C．−2D．2
考点9：分式的运算——化简求值
典例9：（23·24上·常德·期中）先化简，再求值：x2+2xy+y2x2−1⋅x−1x2−y2其中x=2，y=1
【变式1】（23·24上·厦门·期中）先化简，再求值：4x+2−1÷x2−4x+4x2+2x，其中x=2+2．
【变式2】（23·24上·重庆·期中）先化简，再求值：2a−2−6a2−2a÷a2−6a+9a−2，其中a满足2a2−6a+3=0．
【变式3】（23·24上·哈尔滨·期中）先化简，再求代数式(1x−1−x−3x2−2x+1)÷2x−1的值，其中x=2sin60°+tan45°．
【便是4】（23·24上·泰州·阶段练习）先化简再求值：x−2x2+2x−x−1x2+4x+4÷x−4x+2，其中x2−3x−4=0
【变式5】（23·24上·泰安·阶段练习）求值
(1)先化简，再求值：2x+1−2x−3x2−1÷1x+1，其中x=3．
(2)化简求值：3x+1−x+1÷x2−4x+4x+1，其中x从0、2、−1中任意取一个数求值．
【变式6】（23·24上·泰州·阶段练习）先化简，再求值：3x−1−x−1÷x−2x2−2x+1，其中x满足方程x2+x−5=0
【变式7】（23·24上·石家庄·阶段练习）下面是小白同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：3x+4x2−1−2x−1÷x+2x2−2x+1
=[3x+4(x+1)(x−1)−2x−1]÷x+2(x−1)2…………………………………………第一步
=[3x+4(x+1)(x−1)−2(x+1)(x+1)(x−1)]÷x+2(x−1)2………………………………第二步
=3x+4−2x+2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2…………………………………………………第三步
=x+6x+1×x−1x+2…………………………………………………………………………第四步
=x2+5x−6x2+3x+2…………………………………………………………………第五步
任务：
(1)填空：
①上面的化简步骤中，第______ 步是进行分式的通分，通分的依据是______ ．
②第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ．
(2)请写出正确的化简过程．
(3)当x=2时，求该分式的值．