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2025年中考数学总复习 专题04 全等三角形(分层训练)(原卷版+解析版)
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这是一份2025年中考数学总复习 专题04 全等三角形(分层训练)(原卷版+解析版),文件包含专题04全等三角形分层训练原卷版docx、专题04全等三角形分层训练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共70页, 欢迎下载使用。
【基础训练】
一、单选题
1.(2022·云南红河·统考二模)数学课上陈老师要求学生利用尺规作图,作一个已知角的角平分线,并保留作图痕迹.学生小敏的作法是:如图,∠AOB是已知角,以O为圆心,任意长为半径作弧,与OA、OB分别交于N、M;再分别以N、M为圆心,大于12MN的长为半径作弧,交于点C;作射线OC;则射线OC是∠AOB的角平分线.小敏作图的依据是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
【答案】D
【分析】根据SSS证明三角形全等,可得结论.
【详解】解:由作图可知OM=ON,MC=NC,
又∵OC=OC,
∴△OMC≌△ONC,(SSS)
∴∠MOC=∠NOC,
∴OC平分∠AOB,
故选:D.
【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
2.(2023上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC平分线,DE⊥AB,垂足为E,若CD=10,则DE的长度为( )
A.10B.6C.4D.2
【答案】A
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.
【详解】解:∵AD是△ABC的角平分线,∠C=90°,DE⊥AB,CD=10,
∴DE=CD=10,
故选:A.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
3.(2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)小明在做一道数学题时,看到这样的条件“如图,在△ABC中,AD=BD=3,AE平分∠CAD,DE垂直AB,”他马上得到了如下结论并说明了理由,他发现的结论和理由正确的是( )
A.他发现CE=DE,理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
B.他发现CE=DE,理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C.他发现AE=BE,理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
D.他发现AE=BE,理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】由角平分线的性质可判断A,由线段垂直平分线的性质可判断B,C,D,从而可得结论.
【详解】解:由AE平分∠CAD,DE垂直AB,得不到CE=DE,
所以理由是角平分线上的点到角两边的距离相等错误,故A判断错误;
由题干中没有AE是CD的垂直平分线,所以得不到CE=DE,
所以理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等错误,故B判断错误;
∵AD=BD=3,DE垂直AB,
∴AE=BE,理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;故C错误,D正确.
故选:D.
【点睛】本题考查的是角平分线的性质,垂直平分线的性质,掌握以上知识是解题的关键.
4.(2023·河北石家庄·校考二模)如图,证明矩形的对角线相等.
已知:四边形ABCD是矩形.
求证:AC=BD.以下是排乱的证明过程:
①∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,
②∵四边形ABCD是矩形,
③∵BC=CB,
④∴AC=BD,
⑤∴ΔABC≅ΔDCB
证明步骤正确的顺序是( )
A.③①②⑤④B.②①③⑤④C.②⑤③①④D.③⑤②①④
【答案】B
【分析】根据SAS定理证明三角形全等,进而得出对应边相等.
【详解】解:∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD、∠ABC=∠DCB
∵BC=CB
∴ΔABC≌ΔDCB
∴AC=DB
所以正确顺序为②①③⑤④.
故选:B.
【点睛】本题考查了全等三角形的证明,矩形的性质.理清证明过程是排序的关键.
5.(2023·安徽·九年级专题练习)如图所示,点D在∠BAC的角平线上,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连结EF,BC⊥AD于点D,则下列结论中①DE=DF;②AE=AF;③∠ABD=∠ACD;④∠EDB=∠FDC,其中正确的序号是( )
A.②B.①②C.①②③D.①②③④
【答案】D
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再利用“HL” 证明Rt△ADE和Rt△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,全等三角形对应角相等可得∠ADE=∠ADF,根据垂直的定义可得∠ADB=∠ADC=90°,然后求出∠EDB=∠FDC,再根据等角的余角相等可得∠ABD=∠ACD.
【详解】∵点D在∠BAC的角平分线上,
DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,故①正确;
在Rt△ADE和Rt△ADF中,{AD=ADDE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,∠ADE=∠ADF,故②正确;
∵BC⊥AD,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠ADB−∠ADE=∠ADC−∠ADF,即∠EDB=∠FDC,故④正确;
∵∠ABD+∠EDB=90°,∠ACD+∠FDC=90°,
∴∠ABD=∠ACD,故③正确;
综上所述,正确的是①②③④.
故选D.
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,等角的余角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.
6.(2023上·江苏·八年级校考周测)如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于F,∠B=30°,∠AED=110°,∠DAC=10°,则∠DFB的度数为 ( )
A.40°B.50°C.55°D.60°
【答案】B
【分析】利用互补的关系求出∠ACF,再利用8字模型及全等性质解题即可.
【详解】解:∵△ABC ≌ △ADE,
∴∠AED=∠ACB=110°,∠D=∠B=30°,
∴∠ACF=180°−110°=70°,
由三角形内角和为180°可知:∠DAC+∠ACF=∠D+∠DFB,
∴∠DFB=70°+10°−30°=50°
故选:B.
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质,能够利用全等的性质求出角度是解题关键.
7.(2022·重庆·统考中考真题)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )
A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°
【答案】C
【分析】先利用正方形的性质得到AD=AB,∠DAF=∠B=∠ADC=90°,∠BAC=45°,利用角平分线的定义求得∠BAE,再证得△ABE≌△DAFSAS,利用全等三角形的性质求得∠ADF=∠BAE=22.5°,最后利用∠CDF=∠ADC−∠ADF即可求解.
【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAF=∠B=∠ADC=90°,∠BAC=45°,
∵AE平分∠BAC交BC于点E,
∴∠BAE=12∠BAC=22.5°,
在△ABE和△DAF中,
AD=AB∠DAF=∠BBE=AF ,
∴△ABE≌△DAFSAS,
∴∠ADF=∠BAE=22.5° ,
∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=90°−22.5°=67.5°,
故选:C
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
8.(2022·吉林长春·统考一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AC、AB于点M、N;②分别以M、N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则BC的长为( )
A.1B.2C.1+2D.2+22
【答案】C
【分析】由题目作图知,AD是∠CAB的平分线,过点D作DH⊥AB,则CD=DH=1,进而求解.
【详解】解:过点D作DH⊥AB,则DH=1,
由题目作图知,AD是∠CAB的平分线,
则CD=DH=1,
∵△ABC为等腰直角三角形,故∠B=45°,
则△DHB为等腰直角三角形,故BD=2HD=2,
则BC=CD+BD=1+2,
故选:C.
【点睛】本题考查的是作图-复杂作图,角平分线的性质,等腰直角三角形的性质,解决本题的关键是掌握基本作图方法.
9.(2023上·山东·八年级校联考阶段练习)如图,任意画一个∠A=60°的ΔABC,再分别作ΔABC的两条角平分线BE和CD,BE和CD相交于点P,连接AP,有以下结论:①∠BPC=120°;②AP平分∠BAC;③AP=PC;④BD+CE=BC;⑤SΔPBD+SΔPCE=SΔPBC,其中结论正确的是( )
A.①②④⑤B.②③⑤C.①②⑤D.①②③④
【答案】A
【分析】由题意易得∠ABC+∠ACB=120°,∠ABE=∠CBE,∠ACD=∠BCD,进而可判断①,由三角形的角平分线交于一点,故可判断②,对于④先在BC上截取BF=BD,连接PF,然后根据三角形全等可求证,由④及根据等面积法可求证.
【详解】解:∵ ∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∵分别作ΔABC的两条角平分线BE和CD,BE和CD相交于点P,
∴∠ABE=∠CBE,∠ACD=∠BCD,
∴ ∠BPC=180°−∠PBC+∠PCB=180°−12∠ABC+∠ACB=120°,故①正确;
过点P分别作PM⊥AC,PN⊥AB,PH⊥BC,分别交AC、AB、BC与点M、N、H,在BC上截取BF=BD,连接PF,如图所示:
∴PM=PH=PN,
∴AP平分∠BAC,故②正确;
∵BP=BP,
∴△BDP≌△BFP(SAS),
∵∠DPB=∠EPC=∠PBC+∠PCB=60°,
∴∠DPB=∠BPF=∠FPC=∠EPC =60°,
∵PC=PC,
∴△FPC≌△EPC(ASA),
∴EC=FC,
∴ BD+CE=BC,SΔPBD+SΔPCE=SΔPBC,
故④⑤正确,③错误;
故选A.
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质,熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质是解题的关键.
10.(2023·湖南娄底·校考一模)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF,有下列5个结论:①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP;⑤EF的最小值等于12BD.其中正确结论的个数是( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】C
【分析】延长FP交AB于点N,延长AP交EF于点M,只需要证明△ANP≌△FPE得到AP=EF,∠PFE=∠BAP即可判断①④;根据三角形的内角和定理即可判断②;根据P的任意性可以判断③;根据AP=EF,当AP最小时,EF有最小值,即可判断⑤;
【详解】解:延长FP交AB于点N,延长AP交EF于点M.
∵四边形ABCD是正方形.
∴∠ABP=∠CBD,∠ABC=90°,AB=BC,
又∵NP⊥AB,PE⊥BC,
∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°,PN=PE,
∴四边形BNPE是正方形,∠ANP=∠EPF=90°,四边形BCFN是矩形,
∴NP=EP=BE,BC=NF,
∴AN=PF,
在△ANP与△FPE中,
NP=EP∠ANP=∠EPFAN=PF,
∴△ANP≌△FPE(SAS),
∴AP=EF,∠PFE=∠BAP(故①④正确);
在△APN与△FPM中,∠APN=∠FPM,∠NAP=∠PFM,
∴∠PMF=∠ANP=90°,
∴AP⊥EF,(故②正确);
∵P是BD上任意一点,因而△APD是等腰三角形不一定成立,(故③错误);
∵AP=EF,
∴当AP⊥BD时,AP有最小值即EF有最小值,
∵AB=AD,AP⊥BD,
∴此时P为BD的中点,
又∵∠BAD=90°,
∴AP=12BD,即EF的最小值为12BD(故⑤正确)
故正确的是:①②④⑤.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质,三角形内角和定理,等腰直角三角形的性质,正确证明△ANP≌△FPE,以及理解P的任意性是解决本题的关键.
11.(2023上·重庆·八年级万州外国语学校天子湖校区校联考阶段练习)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于点D,过点C作CG⊥AB于点G,交AD于点E,过点D作DF⊥AB于点F.下列结论:
①∠B=∠ACG;
②CE=DF;
③∠CED=∠CDE;
④S△AEC:S△AEG=AC:AG.
上述结论中正确的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【答案】A
【分析】由CG⊥AB于点G得到∠CAB+∠ACG=90°,然后由∠C=90°得到∠CAB+∠B=90°,从而得到∠B=∠ACG,①正确;由AD平分∠BAC得到∠CAD=∠BAD,从而得到∠CDE=90°﹣∠CAD,由CG⊥AB得到∠AEG=90°﹣∠BAD,从而得到∠AEG=∠CDE,然后结合对顶角相等得到∠CED=∠CDE,③正确;然后得到CE=CD,再由AD平分∠BAC,∠C=90°,DF⊥AB得到CD=DF,即可得到CE=DF,②正确;过点E作EH⊥AC于点H,则EH=EG,然后得到S△AEC=12AC⋅EH=12AC⋅EG,S△AEG=12AG•EG,从而得到S△AEC:S△AEG=AC:AG,④正确.
【详解】解:∵CG⊥AB,
∴∠CGA=90°,
∴∠CAB+∠ACG=90°,
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠B=90°,
∴∠B=∠ACG,故①正确;
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∵∠C=90°,∠CGA=90°,
∴∠CDE=90°﹣∠CAD,∠AEG=90°﹣∠BAD,
∴∠AEG=∠CDE,
∴∠CED=∠CDE,故③正确;
∴CE=CD,
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DF⊥AB,
∴CD=DF,
∴CE=DF,故②正确;
如图,过点E作EH⊥AC于点H,则EH=EG,
∴S△AEC=12AC⋅EH=12AC⋅EG,
∵S△AEG=12AG•EG,
∴S△AEC:S△AEG=AC:AG,故④正确;
∴正确的个数是4个,
故选:A.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质,解题的关键是熟知直角三角形的两个锐角互余.
12.(2022下·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=9,则DE的长为( )
A.3B.4C.4.5D.5
【答案】A
【分析】由角平分线和线段垂直平分线性质可求出∠B=30°,DE=DC,继而推出DC=13BC=3,即可得到答案.
【详解】∵ DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,∠BED=90°,
∴∠B=∠DAE,
∵AD 平分∠CAB,
∴∠DAC=∠DAE.
∵ ∠C=90°,
∴∠B+∠BAC=90°=3∠B,
∴∠B=30°,
∴DE=12BD,
∵AD 平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC,
∴DE=DC.
∵BC=9,
∴DC=13BC=3,
∴DE=3.
故选:A.
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质,熟练掌握知识点是解题的关键.
13.(2022·广东广州·校考二模)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,连接BD,作∠CBD的平分线交CD于点E,则CE的长度为( )
A.43B.2C.3D.4
【答案】A
【分析】作EH⊥BD于H,证得△EBH≌△EBC,可知BC=BH=4,EC=EH,设EC=EH=x,则在Rt△DEH中,DE2=DH2+EH2,即(3﹣x)2=12+x2,将方程即可求得CE.
【详解】解:作EH⊥BD于H,如图所示,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3,BC=AD=4,∠C=90°,
∴BD=BC2+CD2=5,
∵BE平分∠CBD,
∴∠EBC=∠EBH,
在△EBH和△EBC中,
{∠EHB=∠C=90°∠EBH=∠EBCBE=BE,
∴△EBH≌△EBC,
∴BC=BH=4,EC=EH,设EC=EH=x,
在Rt△DEH中,
∵DE2=DH2+EH2,
∴(3﹣x)2=12+x2,
∴x=43,
∴CE=43,
故选:A.
【点睛】本题主要考查的是勾股定理求边长,三角形全等判定与性质,矩形的性质,做出合适的辅助线,列出对应的方程是解题的关键.
14.(2023·安徽·校联考二模)如图,点E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF,BE相交于G,则AGGF的值为( )
A.23B.35C.22D.54
【答案】A
【分析】设正方形的边长为2a,则BF=BE=AE=a,AF=5a 然后说明△ABF≌△DAE得到∠BFA=∠AED,进一步证明△AEG∽△AFB,然后求得AG和GF的长,最后求AGGF的值即可.
【详解】解:设正方形的边长为2a,则BF=BE=AE=a,AF=5a
∵正方形ABCD,
∴∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB
在△ABF和△DAE中
{AD=AB∠ABC=∠DAEBF=AE
∴△ABF≌△DAE(SAS)
∴∠BFA=∠AED
在△AEG和△AFB中,
∠AED=∠AFB, ∠BAF=∠BAF,
∴△AEG∽△AFB
∴AEAF=AGAB,即a5a=AG2a,则AG=255a
∴GF=AF-AG=5a−255a=355a
∴AGGF=25a535a5=23.
故选A.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判断与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点,灵活应用相关知识点成为解答本题的关键.
15.(2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考二模)如图,在正方形ABCD中,F是BC边上一点,连接AF,以AF为斜边作等腰直角△AEF.有下列四个结论:①∠CAF=∠DAE;②点E在线段BD上;③当∠AEC=135°时,CE平分∠ACD;④若点F在BC上以一定的速度由B向C运动,则点F的运动速度是点E运动速度的2倍.其中正确的结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得:∠FAE=∠DAC=45°,从而可判定①;由△CAF∽△DAE可得∠ADE=∠CDE=45°,由正方形的性质可证明△ADE≌△CDE,可得AE=CE,即有∠EAC=∠ECA,再由∠AEC=135°可得∠EAC=∠ECA=22.5°,从而CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD,即可判定③;连接BD交AC于点O,由∠ADE=∠CDE=45°知,点E的运动轨迹为线段OD,而点F的运动轨迹为线段BC,即可判断②,由BC=2OD知,点F的运动速度是点E的运动速度的2倍,即可判断④,因而可确定答案.
【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,
∴AD=CD,∠ADC=90°,∠DAC=∠DCA=∠ACB=45°,
∵△AEF是等腰直角三角形,
∴∠FAE=∠DAC=45°,
∵∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=∠DAC=45°,
∴∠CAF=∠DAE,
故①正确;
∵△AEF、△DAC都是等腰直角三角形,
∴AC=2AD,AF=2AE,
∴ACAD=AFAE=2,
∵∠CAF=∠DAE,
∴△CAF∽△DAE,
∴∠ADE=∠ACB=45°,即点E在线段BD上,
故②正确;
∵∠ADC=90°,
∴∠ADE=∠CDE=45°,
在△ADE和△CDE中,
AD=CD∠ADE=∠CDEDE=DE,
∴△ADE≌△CDESAS,
∴AE=CE,
∴∠EAC=∠ECA,
∵∠AEC=135°,
∴ ∠EAC=∠ECA=12180°−∠AEC=22.5°,
∵∠DAC=∠DCA=45°=2∠EAC=2∠ECA,
∴CE、AE分别平分∠ACD、∠CAD,
故③正确;
如图,连接BD交AC于点O,
∵∠ADE=∠CDE=45°,
当点F与点B重合时,点E与点O重合;当点F与点C重合时,点E与点D重合,
∴点E的运动轨迹为线段OD,而点F的运动轨迹为线段BC,
∵ BC=CD=2OD,且点F与点E的运动时间相同,
∴ vF=2vE,
故④错误;
故选:C.
【点睛】本题是一个综合性较强的题目,考查了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,点的运动路径的确定等知识,熟练运用这些知识是正确解答本题的关键.确定点E的运动路径是本题的难点所在.
二、填空题
16.(2022上·山东青岛·九年级校考期末)如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,F为AB的中点,DF的延长线与CB的延长线交于点H,CE与DH相交于点G.若CG=45,则BG的长为 .
【答案】10
【分析】根据正方形的性质可求出△ADF≌△DCE(SAS),△AFD≌△BFH(ASA),则有点B为CH的中点,BG是CH的中线,再证△ADF∽△GHC,根据三角形相似的性质可求出CH的长,由此即可求解.
【详解】解:∵正方形ABCD中,E为AD的中点,F为AB的中点,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AF=BF=AE=DE,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴∠AFD=∠CED,
∵∠ADF+∠AFD=90°,
∴∠ADF+∠CED=90°,即CE⊥DH,
∵F为AB的中点,即AF=BF,∠AFD=∠BFH,∠A=∠ABH=90°,
∴△AFD≌△BFH(ASA),
∴BH=AD=BC,
∴点B为CH的中点,
在Rt△AFD,Rt△CGH中,BG是CH的中线,
∴BG=BH=BC,
∵CE⊥DH,即∠CGH=∠A=90°,∠H=∠ADF,
∴△ADF∽△GHC,且CG=45,AF=12AD,
∴ADAF=GHGC,即2AFAF=GH45,
∴GH=85,
∴CH=CG2+GH2=452+852=20,
∵BG=12CH,
∴BG=12×20=10,
故答案为:10.
【点睛】本题主要考查正方形的性质,三角形的全等的判定和性质,三角形的相似的判定和性质,直角三角形的勾股定理,掌握正方形的性质,三角形全等,相似的判定和性质,勾股定理是解题的关键.
17.(2023上·福建福州·八年级校考期中)如图,若△ABC≌△EFC,且CF=3cm,则BC= .
【答案】3cm
【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可.
【详解】∵△ABC≌△EFC,
∴BC=CF,
∵CF=3cm,
∴BC=CF=3cm,
故答案为:3cm.
【点睛】此题考查了全等三角形的性质,熟记全等三角形的性质是解题的关键.
18.(2023·山东济宁·校考一模)如图,在△ABC中,点A的坐标为−1,1,点B的坐标为3,1,点C的坐标为−2,3,如果要使以A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等(点D不与点C重合),那么点D的坐标是 .
【答案】−2,−1或4,3或4,−1
【分析】根据题意画出图形,根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案.
【详解】解:如图所示:
∵点A的坐标为−1,1,点B的坐标为3,1,点C的坐标为−2,3,
∴D1的坐标是(-2,-1),D2的坐标是(4,-1),D3的坐标是(4,3),
故答案为:−2,−1或4,3或4,−1.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定,解题的关键是正确画出图形,此题难度不大.
19.(2022·云南临沧·统考一模)如图,在四边形AOBC中,∠A=∠B=90∘,BC=AC.有以下四个结论:①∠AOC=∠BOC,②∠ACO=∠BCO,③OC=2AC,④OA=OB,其中一定正确的结论有 .(填序号)
【答案】①②④
【分析】根据直角三角形的全等判定证明△COA≌△COB,再利用全等的性质进行判断即可.
【详解】解:由题意得,在Rt△COA和Rt△COB中
AC=BCCO=CO,
∴△COA≌△COB(HL),
∴∠COA=∠COB,∠ACO=∠BCO,OA=OB,
所以①②④正确,
当∠AOC=30°时,才有OC=2AC.
故答案为:①②④.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质,本题解题关键是证出△COA≌△COB.
20.(2023上·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图,已知∠MOS=∠NOS,PA⊥OM,垂足是A,如果AP=5cm,那么点P到ON的距离等于 cm.
【答案】5
【分析】过点P作PB⊥ON于点B,根据角平分线的性质求解即可.
【详解】如图,过点P作PB⊥ON于点B,
∵∠MOS=∠NOS,PA⊥OM,
∴BP=AP=5cm
∴点P到ON的距离等于5
故答案为:5
【点睛】本题考查了角平分线的性质,掌握角平分线的性质(角平分线上的点到角两边的距离相等)是解题的关键.
21.(2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习)如图,在Rt△ADC中,∠C=90°,B在CD的延长线上,连接AB,点E在AC上,连接DE,AD平分∠BAC,CE=2AE,DB=DE,CD=3,则AC的长为 .
【答案】6
【分析】如图,过D作DF⊥AB于F,证明DF=CD=3,Rt△EDC≌Rt△BDFHL,可得BF=CE,设AE=x,则CE=2x=BF,由勾股定理可得:AC=AF=3x,证明△BFD∽△BCA,可得BD=5,由BF2+DF2=BD2可得:2x2=52−32=16,从而可得答案.
【详解】解:如图,过D作DF⊥AB于F,
∵∠C=90°,AD平分∠BAC,CD=3,
∴DF=CD=3,
∵DB=DE,
∴Rt△EDC≌Rt△BDFHL,
∴BF=CE,
设AE=x,则CE=2x=BF,
∵CD=DF, AD=AD,
∴由勾股定理可得:AC=AF=3x,
∴AB=5x,
∵∠B=∠B,∠BFD=∠ACB=90°,
∴△BFD∽△BCA,
∴DFAC=BDAB=BFBC,
∴BD5x=33x,
∴BD=5,
∴由BF2+DF2=BD2可得:2x2=52−32=16,
解得:x=2,
∴AC=3x=6.
故答案为:6.
【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质,角平分线的性质定理,勾股定理的应用,相似三角形的判定与性质,作出合适的辅助线构建全等三角形与相似三角形是解本题的关键.
22.(2023上·四川成都·八年级校考期中)如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴上,B点坐标为1,2,将△ABC 沿AC翻折,使B点落在D点位置,AD交y轴于点E,则D点坐标为 .
【答案】−35,65
【分析】过D作DF⊥AF于F,根据折叠可以证明△CDE≌△AOE,然后利用全等三角形的性质得到OE=DE,OA=CD=1,设OE=x,那么CE=2-x,DE=x,利用勾股定理即可求出OE的长度,在△CDE中利用面积法可求得OF的长,再利用勾股定理求出DF的长,也就求出了D的坐标.
【详解】作DF⊥x轴于F点,
由折叠的性质可知CD=CB=OA,AB=AD,∠CDE=∠B=90°,
在△CDE与△AOE中,∠CED=∠AEO∠CDE=∠AOE=90°CD=AO,
∴△CDE≌△AOEAAS,
∴AE=CE,OE=DE,
∵B(1,2),
∴OA=CB=CD=1,AB=CO=AD=2,
设OE=x,则AE=2−x,
在Rt△AOE中,由勾股定理得:AE2=OE2+OA2,
∴(2−x)2=x2+12,
解得:x=34,
∴OE=DE=34,AE=CE=54,
∴S△CDE=12CD⋅DE=12CE⋅OF,
∴OF=CD⋅DECE=1×3454=35,
∴AF=OF+OA=35+1=85,
在Rt△ADF中,AD2=AF2+DF2,即22=(85)2+DF2,
解得:DF=65,
∴D−35,65.
【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题,坐标与图形的性质,解题的关键是把握折叠的隐含条件,利用隐含条件得到全等三角形,然后利用它们的性质即可解决问题.
23.(2022·河南洛阳·统考二模)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E为对角线AC上的动点,以DE为边作正方形DEFG,点H是CD上一点,DH=23CD,连接GH,则GH的最小值为 .
【答案】2
【分析】连接CG,证明△ADE≌△CDGSAS,推出∠DCG=∠DAE=45°,推出点G的运动轨迹是射线CG,根据垂线段最短可知,当GH⊥CG时,GH的值最小.
【详解】连接CG,
∵四边形ABCD是正方形,四边形DEFG是正方形,
∴ DA=DC,DE=DG,∠ADC=∠EDG=90°,∠DAC=45°,
∴ ∠ADE=∠CDG,
∴ △ADE≌△CDGSAS,
∴ ∠DCG=∠DAE=45°,
∴点G的运动轨迹是射线CG,
根据垂线段最短可知,当GH⊥CG,GH的值最小,
∵ DH=23CD=4,
∴ CH=CD−DH=2,
∴最小值=CH⋅sin45°=2.
故答案为:2.
【点睛】此题考查正方形的性质,关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答.
24.(2023·江苏宿迁·统考二模)如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若DP=2,则正方形的边长为 .
【答案】6
【分析】连接AP,根据正方形的性质可得AB=BC=AD,∠B=∠C=∠D=90°,再由翻折的性质可得AB=AF,BE=EF,∠AFE=∠B=90°,从而可证Rt△AFP≅Rt△ADP,即可得DP=FP,设BE=x,则EC=x,EP=x+2,PC=2x−2,利用勾股定理可得x=3,即可求出结果.
【详解】解:连接AP,∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=AD,∠B=∠C=∠D=90°,
∵点E是BC的中点,,
∴BE=EC,
由翻折的性质可得:AB=AF,BE=EF,∠AFE=∠B=90°,
∴AD=AF,∠D=∠AFP=90°,
在Rt△AFP和Rt△ADP中,
AP=APAF=AD,
∴Rt△AFP≅Rt△ADPHL,
∴DP=FP,
设BE=x,则EC=x,BC=DC=2BE=2x,EP=x+2,PC=2x−2,
在Rt△PCE中,PC2+EC2=EP2,
∴2x−22+x2=x+22,
解得:x=0(舍)或x=3,
∴BC=2×3=6,
故答案为:6.
【点睛】本题考查正方形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及解一元二次方程,综合运用相关知识是解题的关键.
25.(2022·江苏盐城·校考一模)如图,在ΔABC中,∠ACB=45°,AB=4,点E、F分别在边BC、AB上,点E为边BC的中点,AB=3AF,连接AE、CF相交于点P,则ΔABP面积最大值为 .
【答案】1+2
【分析】作AH∥BC交CF的延长线于点H,则△AHF∼△BCF,得AHBC=AFBF=12,所以AH=12BC=EC,再证明△APH≅△EPC,则AP=PE=12AE,所以SΔABP=12SΔABE=14SΔABC,可知当SΔABC最大时,则SΔABP最大;作△ABC的外接圆⊙O,作CG⊥AB于点G,OD⊥AB于点D,OI⊥CG于点I,连接OC,可证明当点I与点O重合,即C、O、D三点在同一条直线上时,CG最大,此时S△ABC最大;当点C在DO的延长线上,连接OA、OB,则∠AOB=2∠ACB=90°,由勾股定理求得OC=OA=22,而OD=AD=BD=12AB=2,所以CD=2+22,即可求得S△ABC最大=4+42,SΔABP最大=1+2.
【详解】解:如图1,作AH∥BC交CF的延长线于点H,则△AHF∼△BCF,
∵AB=3AF,EC=EB=12BC,
∴ AHBC=AFBF=12,
∴AH=12BC,
∴AH=EC,
∵∠H=∠PCE,∠APH=∠EPC,
∴△APH≅△EPC(AAS),
∴AP=PE=12AE,
∴SΔABP=12SΔABE,
∵SΔABE=12SΔABC,
∴SΔABP=14SΔABC,
∴当SΔABC最大时,则SΔABP最大;
作△ABC的外接圆⊙O,作CG⊥AB于点G,OD⊥AB于点D,OI⊥CG于点I,连接OC,
∵∠ODG=∠OIG=∠IGD=90°,
∴四边形OIGD是矩形,
∴IG=OD,
∵IC≤OC,
∴IC+IG≤OC+OD,
即CG≤OC+OD,
∴当点I与点O重合,即C、O、D三点在同一条直线上时,CG最大,此时SΔABC最大;
如图2,△ABC的外接圆⊙O,OD⊥AB于点D,点C在DO的延长线上,连接OA、OB,
∵∠ACB=45°,
∴∠AOB=2∠ACB=90°,
∵OA2+OB2=AB2,OA=OB,AB=4,
∴2OA2=42,
∴OC=OA=22,
∵AD=BD,
∴OD=AD=BD=12AB=2,
∴CD=2+22,
∴SΔABC最大=12×4×2+22=4+42,
∴SΔABP最大=14×4+42=1+2,
∴ΔABP面积最大值为1+2,
故答案为:1+2.
【点睛】此题重点考查三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
三、解答题
26.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图,在△ABC中(ABBC.点D在边BC上,CD=3BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为17,求△ACF与△BDE的面积之和.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)174
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质,三角形面积的计算,三角形外角的性质,余角的性质,解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法,ASA,ASA,SSS,SAS,HL.
(1)根据AAS证明三角形全等即可;
(2)证明△ABE≌△CAFASA,得出BE=AF,CF=AE,即可得出结论;
(3)根据△ABC的面积为17,CD=3BD,得出△ABD的面积是:14×17=174,由△ABE≌△CAF,得出S△ABE=S△ACF,根据S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=174,即可求出结果.
【详解】证明:(1)∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,
∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°,
∴∠ABD=∠CAF,
在△ABD和△CAF中,
∠ADB=∠CFA∠ABD=∠CAFAB=AC,
∴△ABD≌△CFAAAS;
(2)∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,
在△ABE和△CAF中,
∠ABE=∠CAFAB=AC∠BAE=∠ACF,
∴△ABE≌△CAFASA;
∴BE=AF,CF=AE,
∴EF=BE−CF;
(3)∵△ABC的面积为17,CD=3BD,
∴△ABD的面积是:14×17=174,
根据解析(2)同理可证△ABE≌△CAF,
∴S△ABE=S△ACF,
∴S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=174.
40.(2024上·湖南永州·八年级统考期末)【概念呈现】:在平面内,如果两个三角形有一条边相等,我们将这两条相等的边拼在一起组成一个四边形,若其中有一个三角形是等腰直角三角形,则把这个四边形叫做“等腰直角四边形”,把这条相等的边叫做这个四边形的“等腰直角线”;若其中一个三角形是等腰直角三角形,另一个三角形是等腰三角形,则把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”,把这条相等的边叫做这个四边形的“真等腰直角线”.
(1)【概念理解】:如图①,若AD=BD=CD,∠C=45°,则四边形ABCD______(填“是”或“否”)真等腰直角四边形;
(2)【深度理解】:如图②,四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形,且∠BDC=90°,∠ADE=90°,BD>AD>AB,对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线,试猜想AC与BE的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)【拓展提高】:阅读材料:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2,这就是著名的勾股定理.如图③,已知:四边形ABCD是等腰直角四边形,对角线BD是这个四边形的等腰直角线,且BD是其中等腰直角三角形的一条直角边,AD=1,AB=2,∠BAD=45°,求AC的长.
【答案】(1)是
(2)AC=BE,AC⊥BE,理由见解析
(3)AC=6或3
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理,熟练掌握以上知识点并灵活运用,添加适当的辅助线是解此题的关键.
(1)由三角形内角和定理得出∠BDC=90°,从而得出△BCD是等腰直角三角形,结合△ABD是等腰三角形,即可得出答案;
(2)由题意得DA=DE,DB=DC,证明△EDB≌△ADCSAS得出AC=BE,∠EBD=∠ACD,结合∠NMB=∠CMD得出∠BNM=∠CDM=90°,即可得解;
(3)由题意知:△BDC是等腰直角三角形,且BD为直角边,再分两种情况:①当∠BDC=90°时;当∠DBC=90°时;分别画出图形,求解即可得出答案.
【详解】(1)解:∵BD=CD,∠C=45°,
∴∠CBD=∠C=45°,
∴∠BDC=180°−∠C−∠CBD=90°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∵AD=BD,
∴△ABD是等腰三角形,
∴四边形ABCD是真等腰直角四边形,
故答案为:是;
(2)解:数量关系是AC=BE,位置关系是AC⊥BE,
理由如下:
,
图②
由题意得DA=DE,DB=DC,
∵∠ADE=∠BDC=90°,
∴∠ADE+∠ADB=∠BDC+∠ADB,即∠EDB=∠ADC,
∴△EDB≌△ADCSAS,
∴AC=BE,∠EBD=∠ACD,
∵∠NMB=∠CMD,
∴∠BNM=∠CDM=90°,
∴AC⊥BE,
综上,AC=BE,AC⊥BE;
(3)解:由题意知:△BDC是等腰直角三角形,且BD为直角边,
①当∠BDC=90°时,如图,作DE⊥AD,DE=AD,连接AE,BE,
由(2)同理得△ADC≌△EDBSAS,
∴AC=BE,
∵AD=1,△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=2,∠EAD=45°,
∵∠DAB=45°,
∴∠EAB=90°,
由勾股定理得BE=AE2+AB2=22+22=6,
∴AC=BE=6;
②当∠DBC=90°时,如图,同理可得,AC=DE=3,
综上:AC=6或3.
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