（人教版）数学八年级下册期中复习练习专题1.3平行四边形的性质与判定精讲精练（8大易错题型）（2份，原卷版+解析版）

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【知识梳理】
1.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
2.平行四边形的判定 ：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC
∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB=DC，AD=BC
∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC
∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB
∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言：∵OA=OC，OB=OD
∴四边行ABCD是平行四边形．
3.三角形的中位线：
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，
【典例剖析】
【考点1】平行四边形边和角的性质
【例1】平行四边形的周长为24cm，相邻两边的差为2cm，则平行四边形的各边长为（ ）
A．4cm，4cm，8cm，8cm
B．5cm，5cm，7cm，7cm
C．5.5cm，5.5cm，6.5cm，6.5cm
D．3cm，3cm，9cm，9cm
【变式训练】
1．（2022春·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解，
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，，，
，故D正确；
平分，
，
，
，故C错误；
，
，故A正确；
，
，故B正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）如图所示，在平行四边形中，M是的中点，，，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由是平行四边形，得到，，然后由等腰三角形的性质可得，，得到，即可用勾股定理求得的长
【详解】∵在平行四边形中，M是的中点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即为直角三角形，
∵，，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键
3．（2023春·八年级课时练习）如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明，得出，，设，，求出，，由平行四边形的对角相等得出方程，求出，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到和之间的关系．
【考点2】平行四边形的对角线
【例2】如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．21B．24C．27D．18
【分析】先由ASA证明△AOE≌△COF，得OE＝OF，AE＝CF，再求得AB+BC＝15，由平行四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为30，
∴AB+BC30＝15，
∴四边形ABFE的周长＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝15+6＝21，
故选：A．
【变式训练】
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，交于点．若，的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）
A．16B．32C．36D．40
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得，，，证是的中位线，则，，求出，则，即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
是的中位线，
，，
的周长等于10，
，
，
，
的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出是解题的关键．
5．（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交于点，连接，若平行四边形的周长为30，则的周长为（ ）
A．15B．23C．25D．30
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质，得到点是中点，根据垂直平分线的性质得到，根据四边形周长求出，然后转换求解即可．
【详解】在平行四边形中，对角线、相交于点，
∴即点是中点，
∵，
∴
∵平行四边形的周长为，
的周长：
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质；灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
6．（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】点为的中点，
，
又，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
即，
，故①正确；
在平行四边形中，，，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，点为的中点，
，
平行四边形是菱形；
，故③正确，
在中，，
，故②正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，
，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
【考点3】平行四边形的判定方法
【例3】在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三点，若点D与A，B，C三点构成平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A．（0，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得到D点坐标的三种情况：①当AB∥CD，AD∥BC时；②当AB∥CD，AC∥BD时；③当AD∥BC，AC∥BD时；分别求出D的坐标即可．
【解析】如图所示
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∴可以分以下三种情况分别求出D点的坐标：如图所示：
①当AB∥CD，AD∥BC时，D点的坐标为（2，1）；
②当AB∥CD，AC∥BD时，D点的坐标为（0，﹣1）；
③当AD∥BC，AC∥BD时，D点的坐标为（﹣2，1）．
故选：C．
【变式训练】
7．（2023春·八年级单元测试）如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
8．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）在中，点D，E分别是，上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件后，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故A不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故B不符合题意；
C．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故C符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
9．（2022春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在中，点，分别在，边上，若要使四边形是平行四边形，可以添加的条件是（ ）．
①；②；③；④
A．①或②B．②或③C．③或④D．①或③
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和判定即可解决问题．
【详解】解：①添加，不符合平行四边形的判定定理，故①不符合题意；
②添加，不符合平行四边形的判定定理，故②不符合题意；
③四边形是平行四边形，
∴，，
，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；故③符合题意；
④∵四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；故符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法，需要熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
【考点4】三角形的中位线
【例4】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】连接DN，根据三角形中位线定理得到EFDN，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EFDN，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时DN10，
∴EF长度的最大值为：10＝5，
故选：D．
【变式训练】
10．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】首先利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵E、F、G、H分别是的中点，
∴，，
∴四边形EFGH的周长，
又∵，
∴四边形的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
11．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，中，D、E分别、的中点，平分，交于点F，若，则的长是（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】D
【分析】首先根据条件、分别是、的中点可得，再求出，根据等角对等边可得到．
【详解】解：中，、分别是、的中点，
，，
，
平分，
，
，
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是证明，可得到．
12．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形中，与不平行，，分别是、的中点，，，则的长可能是( )
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】连接，取的中点，连接、，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得出，即可得出结果
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、，
点，分别是、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
由三角形的三边关系，，
，
，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系；根据不等关系考虑作辅助线，构造成以为一边的三角形是解题的关键．
【考点5】两平行线间的距离
【例5】如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据两平行直线之间的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等，找出与△ABD等底等高的三角形即可．
【解析】∵AB∥DC，
∴△ABC与△ABD的面积相等，
∵AE∥BD，
∴△BED与△ABD的面积相等，
∵ED∥BC找不到与△ABD等底等高的三角形，
∴和△ABD的面积相等的三角形有△ABC、△BDE，共2个．
故选：B．
点评：本题主要考查了平行线间的距离相等，等底等高的三角形面积相等的性质，找出等底等高的三角形是解题的关键．
【变式训练】
13．（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为______．
【答案】
【分析】作，在中根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：作，则，
又∵，
，
，
，
，
，
，
∴与之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离和勾股定理，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离，掌握平行线之间距离的定义并能用勾股定理计算时解题的关键．
14．（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，在四边形中，，平分，过点作交于点，于点．若，则的长为_______．
【答案】
【分析】过点A作，交延长线于点M，根据题意可知，，可求，再利用平行线间距离处处相等，可得．
【详解】解：过点A作，交延长线于点M，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴根据平行线间的距离处处相等可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质和平行线的性质，作恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．
15．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，，，且的面积为12，则底边上高的长度为______．
【答案】4
【分析】先利用的面积求出其边上的高，再利用平行线间距离处处相等，得到C到的距离为4．
【详解】解：如下图，过A作于E，
∵的面积为12，，
∴，
∴，
过C作于F，
∵，
∴，
∴点C到的距离是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线间的距离处处相等．
【考点6】有关平行四边形性质的综合问题
【例6】如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC边的中点，DF∥AE，DF与BC的延长线交于点F，AE，DC的延长线交于点G，连接FG，若AD＝3，AG＝2，FG＝2．
（1）求线段EC的长；
（2）试判断直线AG与FG的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）证得△ABE≌△GCE后得到AE＝GE，从而得到GEAG＝1；
（2）利用勾股定理的逆定理判定垂直即可；
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠BAE＝∠CGE，∠ABE＝∠GCE（两直线平行，内错角相等）
又∵E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
∴ECBCAD；
（2）∵AD∥BC，AG∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF＝3，
∵BE＝CE，
∴BE＝CF＝EC，
∵∠EGC＝∠CDF，∠ECD＝∠DCF，EC＝CF，
∴△ECG≌△FCD，
∴DF＝EG＝AEAG2＝1，
在△EGF，
又∵EF2＝32＝9，
∴GE2+FG2＝EF2，
∴∠EGF＝90°（勾股定理的逆定理），
∴FG⊥AG．
【变式6.3】（2020春•丽水期末）如图，在▱ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M．
（1）若CD＝2，求DM的长；
（2）若M是AD的中点，连接BM，求证：BM平分∠ABC．
【分析】（1）依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到DM＝DC；
（2）延长BA，CM，交于点E，依据△CDM≌△EAM，即可得到EM＝CM，再根据BE＝BC，即可得出BM平分∠ABC．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCM＝∠DMC，
∵CM平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠DCM，
∴∠DMC＝∠DCM，
∴DM＝DC＝2；
（2）如图，延长BA，CM，交于点E，则∠AME＝∠DMC，
∵BE∥CD，
∴∠D＝∠EAM，∠E＝∠DCM，
∵M是AD的中点，
∴DM＝AM，
∴△CDM≌△EAM（ASA），
∴EM＝CM，
∵CM平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠DCM，
∴∠E＝∠BCM，
∴BE＝BC，
∴BM平分∠ABC．
解法二：由（1）可得，CD＝MD，
∵M是AD的中点，
∴DM＝AM，
又∵AB＝CD，
∴AB＝AM，
∴∠ABM＝∠AMB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AMB，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴BM平分∠ABC．
【变式训练】
16．（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点E
(1)求证：；
(2)若点E是的中点，，求的度数
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形和平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，即可得出；
（2）由平行四边形和平行线的性质得出，利用（1）中结论通过等量代换得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而可得的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等，准确识图，熟练掌握平行四边形对边平行且相等、对角相等的性质是解题的关键．
17．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别是和的角平分线，已知．
(1)求线段的长；
(2)延长 ，交的延长线于点．
请在答卷上补全图形；
若，求的周长．
【答案】(1)
(2)见解析；36
【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，，进而得出的长；
（2）根据题意直接补全图形即可；依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，再根据平分，即可得出，，依据勾股定理得出的长，进而得到．
【详解】（1）解：在中，，
，
，
，
平分，
，
，
，
同理可得，，
，
；
（2）解：如图所示：
，
，
又 ，
，
，
又 平分，
，
中，，
，
的周长为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．
18．（2022春·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，已知在中，对角线，，平分交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)设，连接交于点，画出图形，并求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，利用等量代换可得，根据等角对等边可得；
（2）首先根据30°角算出，再根据勾股定理可得长，然后再根据平行四边形的性质可得，，再利用勾股定理可得的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2），，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
【考点7】有关平行四边形判定的综合问题
【例7】如图，AD、BF相交于点O，点E、C在BF上，BE＝FC，AC＝DE，AB＝DF，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【分析】连接AF、BD，证△ABC≌△DFE（SSS），得AB＝DF，∠ABF＝∠DFE，则AB∥DF，即可得出结论．
【解析】证明：连接AF、BD，如图所示：
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝FE．
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴AB＝DF，∠ABF＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【变式训练】
19．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考阶段练习）如图，以的三边为边，分别作等边，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，则，然后由即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质得，然后再证明，同（1）可证可得，然后根据两组对边分别相等的四边形是平行线四边形即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
同（1）得：，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键．
20．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，已知垂直平分，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质得出，进而即可得证；
（2）证明根据是菱形，根据菱形的性质分析，设则，勾股定理求得 ，进而勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，
，
如图，设交于点，
设则

即
解得： ，即 ，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据全等三角形的判定和平行四边形的判定分析．
21．（2023春·八年级单元测试）如图在四边形中，，，M是的中点P是边上的一动点P与B，C不重合），连接并延长交的延长线于Q．
(1)试说明不管点P在何位置，四边形始终是平行四边形；
(2)当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形是平行四边形？并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)当时，四边形是平行四边形，理由见解析．
【分析】（1）由可证，可得，即可得结论；
（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．
【详解】（1）∵，
∴
∵M是的中点，
∴，
∵
∴．
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴不管点P在何位置，四边形始终是平行四边形；
（2）当四边形是平行四边形时，，
∵，
∴，
∴．
∴当时，四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．
【考点8】平行四边形的综合问题
【例8】已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
（2）在（1）的条件下，若AB＝4cm，求△PCD的面积．
（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）易证∠DPC＝∠DCP，得DP＝CD，又CD＝CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD＝4，△PCD三边上的高相等，且等于2，由三角形面积公式即可得出答案；
（3）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，6﹣0.5t＝6﹣2t，解得t＝0，不合题意舍去；
②当3＜t≤6时，6﹣0.5t＝2t﹣6，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，6﹣0.5t＝18﹣2t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，6﹣0.5t＝2t﹣18，解得t＝9.6．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝CD，
∵CD＝CP，
∴CP＝CD＝DP，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠B＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∵△PDC是等边三角形，
∴△PCD三边上的高相等，且等于，
∴S△PCD24＝4（cm2）；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴PD∥BC，
若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t，
∴6﹣0.5t＝6﹣2t，
解得：t＝0（不合题意舍去）；
②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6，
∴6﹣0.5t＝2t﹣6，
解得：t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t，
∴6﹣0.5t＝18﹣2t，
解得：t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18，
∴6﹣0.5t＝2t﹣18，
解得：t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【变式训练】
22．（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点F在边AB上，．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）延长交于点，证明，根据全等三角形的性质可得到，再利用三角形的中位线定理证明，再由可证出结论；
（2）先证明，再证明，可得到．
【详解】（1）证明：延长交于点，
∵，
∴，
在和中，
∴（）．
∴．
∵
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵D、E分别是、的中点，
∴．
∵，
∴，
∴
∴
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明，再利用三角形中位线定理证明是解决问题的关键．
23．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图在平面直角坐标系中，，，轴且，点从点出发，以1个单位长度的速度向点运动；点从点同时出发，以2个单位长度的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)当恰好垂直平分时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形，分别求解即可．
（3）利用线段垂直平分线的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴
（2）①当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴
②当四边形是等腰梯形时，，
此时，
∵，
∴，
∴，
∴
综上，或
（3）∵，
∴．
当垂直平分时，则，
∴，
解得
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形，线段垂直平分线的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题．
24．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）平行四边形中，，点E在边上，连接．
(1)如图1，交于点G，若平分，且，，请求出四边形的面积；
(2)如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于H，连接，求证：．
(3)如图3，线段在线段上运动，点R在边上，连接．若平分，，，，．请直接写出线段的和的最小值以及此时的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)；
【分析】（1）过点G作于点K，根据平行四边形的性质可得，再由，，可得，然后根据直角三角形和等腰三角形的性质可求出的长，然后根据，即可求解；
（2）过点A作于点A，交延长线于点J，根据，可得点A，B，F，H四点共圆，可得到是等腰直角三角形，再证明，可得，即可；
（3）取的中点M，的中点N，连接，则，由（1）可得，可得到，从而得到，可证得四边形是平行四边形，可得，由（1）可得，再由，可得，可证得，可得到，从而得到，进而得到当点N，Q，C三点共线时，的值最小，此时的值最小，最小值为，过点C作于点S，由（1）可得，，从而得到，再由直角三角形的性质求出的长，可得的和的最小值，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点G作于点K，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴
；
（2）解：如图，过点A作于点A，交延长线于点J，
∵，，，
∴，，
∴点A，B，F，H四点共圆，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）解：如图，取的中点M，的中点N，连接，则，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点N，Q，C三点共线时，的值最小，此时的值最小，最小值为，
如图，过点C作于点S，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
由（1）得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理等知识是解题的关键，是中考的压轴题．